Subgroups — #6815205

Order 512.

1790 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 410 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3365	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#39746	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#33241	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#31238	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#31212	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#29826	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#28637	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#26821	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#25840	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#25633	C₂	1	2	yes	maximal
11	C₈×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#21276	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂×#559	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#557	C₂²	1	2	yes	—
15	#3365	—	2	16	no	—
16	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#488	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#475	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#478	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#464	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
27	#2858	C₂²	1	2	yes	—
28	#2694	—	2	8	no	—
29	#2658	—	2	2	no	—
30	#2548	C₂²	1	2	yes	—
31	#2547	—	2	2	no	—
32	#2546	C₂²	1	2	yes	—
33	#2545	—	2	2	no	—
34	#2454	C₂²	1	8	yes	—
35	#2448	C₂²	1	8	yes	—
36	#2326	—	2	2	no	—
37	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#2295	C₂²	1	2	yes	—
39	#2067	C₂²	1	8	yes	—
40	#2065	C₂²	1	8	yes	—
41	#2059	C₂²	1	8	yes	—
42	#2055	C₂²	1	8	yes	—
43	#2012	C₂²	1	8	yes	—
44	#1988	C₂²	1	2	yes	—
45	#1984	C₂²	1	2	yes	—
46	#1982	C₂²	1	2	yes	—
47	#1970	C₂²	1	4	yes	—
48	#1970	C₂²	1	4	yes	—
49	#1969	C₂²	1	2	yes	—
50	#1942	C₂²	1	2	yes	—
51	#1939	C₂²	1	4	yes	—
52	#1934	C₂²	1	8	yes	—
53	#1933	C₂²	1	4	yes	—
54	#1879	C₂²	1	8	yes	—
55	#1863	C₂²	1	8	yes	—
56	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
57	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
58	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
59	C₄×#103	C₂²	1	2	yes	—
60	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
64	#559	—	2	8	no	—
65	#559	—	4	4	no	—
66	#557	—	2	8	no	—
67	#557	—	4	4	no	—
68	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×#125	—	2	4	no	—
74	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×#124	—	2	2	no	—
76	C₂×#124	—	2	2	no	—
77	C₂×#124	—	2	2	no	—
78	C₂×#124	—	2	2	no	—
79	C₂×#124	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×#123	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
87	#500	—	4	2	no	—
88	#493	—	4	2	no	—
89	#488	—	2	16	no	—
90	#486	—	2	8	no	—
91	#478	—	2	16	no	—
92	#475	—	2	8	no	—
93	#464	—	2	16	no	—
94	#460	—	2	8	no	—
95	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
96	C₄×Q₁₆	D₄	1	8	yes	—
97	C₄×SD₁₆	—	2	16	no	—
98	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×#103	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
112	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	#399	—	2	8	no	—
118	#399	—	2	8	no	—
119	#398	—	2	4	no	—
120	#397	—	2	8	no	—
121	#396	—	2	8	no	—
122	#394	—	2	4	no	—
123	#391	—	2	2	no	—
124	#391	D₄	1	2	yes	—
125	#391	C₂³	1	4	yes	—
126	#390	—	2	2	no	—
127	#390	—	2	4	no	—
128	#390	C₂³	1	8	yes	—
129	#390	C₂³	1	8	yes	—
130	#389	D₄	1	4	yes	—
131	#389	C₂³	1	8	yes	—
132	#389	C₂³	1	4	yes	—
133	#388	—	2	8	no	—
134	#388	—	2	8	no	—
135	#387	—	2	4	no	—
136	#385	—	2	8	no	—
137	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
138	#380	—	2	8	no	—
139	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
141	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
142	#376	—	2	2	no	—
143	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
144	#340	C₂³	1	8	yes	—
145	#340	C₂³	1	4	yes	—
146	#340	C₂³	1	2	yes	—
147	#336	C₂³	1	8	yes	—
148	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
149	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
151	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
152	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
154	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
156	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
158	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
159	C₂×D₈	—	2	8	no	—
160	C₂×D₈	—	4	4	no	—
161	C₂×D₈	—	4	4	no	—
162	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
166	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
167	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
169	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
170	C₄⋊Q₈	—	8	4	no	—
171	#127	—	2	4	no	—
172	#127	—	2	4	no	—
173	#125	—	2	8	no	—
174	#125	—	4	4	no	—
175	#125	—	4	16	no	—
176	#124	—	2	8	no	—
177	#124	—	4	4	no	—
178	#124	—	4	8	no	—
179	#124	—	4	8	no	—
180	#124	—	8	4	no	—
181	#124	—	8	4	no	—
182	#123	—	4	16	no	—
183	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
184	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
185	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
186	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
187	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
188	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
189	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
190	C₄×D₄	—	2	8	no	—
191	C₄×D₄	—	4	4	no	—
192	C₄×D₄	—	4	8	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
204	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
205	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
206	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
214	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
216	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
221	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
222	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
223	#107	—	4	2	no	—
224	#107	—	4	4	no	—
225	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
226	#106	—	2	8	no	—
227	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
228	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
229	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
230	#103	—	2	8	no	—
231	#103	—	2	8	no	—
232	#103	C₂×D₄	1	8	yes	—
233	#102	—	2	8	no	—
234	#102	—	2	8	no	—
235	#102	—	2	8	no	—
236	#102	—	4	8	no	—
237	C₄×C₈	—	2	8	no	—
238	C₄×C₈	—	2	4	no	—
239	C₄×C₈	—	2	2	no	—
240	C₄×C₈	—	4	2	no	—
241	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
242	#95	—	2	4	no	—
243	#95	—	2	4	no	—
244	#95	—	2	4	no	—
245	#95	—	2	2	no	—
246	#95	—	2	8	no	—
247	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
248	C₂⁴	—	2	4	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
250	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
251	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
252	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
253	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
254	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
255	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
256	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
257	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
258	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
259	C₂×D₄	—	2	4	no	—
260	C₂×D₄	—	2	4	no	—
261	C₂×D₄	—	2	8	no	—
262	C₂×D₄	—	2	8	no	—
263	C₂×D₄	—	4	4	no	—
264	C₂×D₄	—	4	4	no	—
265	C₂×D₄	—	4	4	no	—
266	C₂×D₄	—	4	4	no	—
267	C₂×D₄	—	8	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
273	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
281	Q₁₆	—	4	4	no	—
282	SD₁₆	—	4	16	no	—
283	D₈	—	8	8	no	—
284	C₂×C₈	—	2	2	no	—
285	C₂×C₈	—	2	2	no	—
286	C₂×C₈	—	2	2	no	—
287	C₂×C₈	—	2	2	no	—
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	—	2	8	no	—
290	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
291	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
292	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
293	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
308	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
309	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
317	C₄²	—	2	8	no	—
318	C₄²	—	2	2	no	—
319	C₄²	—	2	4	no	—
320	C₄²	—	2	4	no	—
321	C₄²	—	2	2	no	—
322	C₄²	—	2	2	no	—
323	C₄²	—	4	2	no	—
324	C₄²	—	4	8	no	—
325	C₄²	—	4	4	no	—
326	C₄²	#135	1	4	yes	—
327	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
328	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
329	C₂³	—	4	8	no	—
330	C₂³	—	4	4	no	—
331	C₂³	—	4	8	no	—
332	C₂³	—	4	4	no	—
333	C₂³	—	4	4	no	—
334	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
335	Q₈	—	2	4	no	—
336	Q₈	—	2	4	no	—
337	Q₈	—	4	8	no	—
338	Q₈	—	4	4	no	—
339	Q₈	—	8	8	no	—
340	D₄	—	4	4	no	—
341	D₄	—	4	4	no	—
342	D₄	—	4	8	no	—
343	D₄	—	8	8	no	—
344	D₄	—	16	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	8	no	—
350	C₂×C₄	—	2	4	no	—
351	C₂×C₄	—	2	4	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	2	4	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	4	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	4	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	16	8	no	—
367	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
370	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
376	C₈	—	2	2	no	—
377	C₈	—	2	2	no	—
378	C₈	—	2	4	no	—
379	C₈	—	4	4	no	—
380	C₂²	—	8	4	no	—
381	C₂²	—	8	8	no	—
382	C₂²	—	8	4	no	—
383	C₂²	—	8	8	no	—
384	C₂²	—	8	4	no	—
385	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	#3497	1	2	yes	—
387	C₂²	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	#3584	1	2	yes	—
390	C₄	—	2	4	no	—
391	C₄	—	2	2	no	—
392	C₄	—	4	4	no	—
393	C₄	—	4	4	no	—
394	C₄	—	4	4	no	—
395	C₄	—	4	2	no	—
396	C₄	—	4	4	no	—
397	C₄	—	8	4	no	—
398	C₄	—	8	4	no	—
399	C₄	#3287	1	4	yes	—
400	C₄	#3449	1	1	yes	characteristic
401	C₄	#3499	1	1	yes	characteristic
402	C₄	#3561	1	2	yes	—
403	C₂	—	16	4	no	—
404	C₂	#39356	1	1	yes	characteristic
405	C₂	C₂×#3287	1	1	yes	characteristic
406	C₂	#61088	1	1	yes	characteristic
407	C₂	#62361	1	2	yes	—
408	C₂	#62384	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#493	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3365	C₂	semidirect
2. #39746	C₂	semidirect
4. #31238	C₂	semidirect
5. #31212	C₂	semidirect
6. #29826	C₂	semidirect
7. #28637	C₂	semidirect
8. #26821	C₂	semidirect
9. #25840	C₂	semidirect
11. C₈×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
12. #21276	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3365	2
#39746	2
#33241	2
#31238	2
#31212	2
#29826	2
#28637	2
#26821	2
#25840	2
#25633	2
C₈×C₄⋊Q₈	2
#21276	2