Subgroups — #6815223

Order 512.

1972 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 433 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3366	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#38952	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#33241	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#31238	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#31208	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#29825	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#28645	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#26843	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#25839	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#25631	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#21712	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#21275	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂×#554	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#550	C₂²	1	2	yes	—
15	#3366	—	2	16	no	—
16	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#490	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#478	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#476	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#459	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#446	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#442	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2858	C₂²	1	2	yes	—
28	#2672	—	2	8	no	—
29	#2620	—	2	2	no	—
30	#2567	C₂²	1	2	yes	—
31	#2548	C₂²	1	2	yes	—
32	#2501	—	2	2	no	—
33	#2454	C₂²	1	8	yes	—
34	#2445	C₂²	1	8	yes	—
35	#2432	—	2	2	no	—
36	#2311	—	2	2	no	—
37	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#2293	C₂²	1	2	yes	—
39	#2067	C₂²	1	8	yes	—
40	#2065	C₂²	1	8	yes	—
41	#2059	C₂²	1	8	yes	—
42	#2054	C₂²	1	8	yes	—
43	#2011	C₂²	1	8	yes	—
44	#1987	C₂²	1	2	yes	—
45	#1984	C₂²	1	2	yes	—
46	#1982	C₂²	1	2	yes	—
47	#1970	C₂²	1	4	yes	—
48	#1970	C₂²	1	2	yes	—
49	#1970	C₂²	1	4	yes	—
50	#1942	C₂²	1	2	yes	—
51	#1939	C₂²	1	4	yes	—
52	#1936	C₂²	1	8	yes	—
53	#1934	C₂²	1	4	yes	—
54	#1879	C₂²	1	8	yes	—
55	#1862	C₂²	1	8	yes	—
56	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
57	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
58	#1770	C₂²	1	4	yes	—
59	C₄×#102	C₂²	1	2	yes	—
60	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×#41	—	2	2	no	—
62	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#554	—	2	8	no	—
66	#554	—	4	4	no	—
67	#550	—	2	8	no	—
68	#550	—	4	4	no	—
69	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×#124	—	2	2	no	—
75	C₂×#124	—	2	4	no	—
76	C₂×#123	—	2	8	no	—
77	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
79	C₂×#121	—	2	2	no	—
80	C₂×#121	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×#117	—	2	2	no	—
86	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	#500	—	4	2	no	—
88	#493	—	4	2	no	—
89	#490	—	2	16	no	—
90	#486	—	2	8	no	—
91	#478	—	2	16	no	—
92	#476	—	2	8	no	—
93	#459	—	2	16	no	—
94	#459	—	2	8	no	—
95	#446	—	2	8	no	—
96	#442	—	2	16	no	—
97	C₄×D₈	D₄	1	8	yes	—
98	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
111	C₂×#102	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	#399	—	2	8	no	—
118	#396	—	2	8	no	—
119	#395	—	2	4	no	—
120	#394	—	2	4	no	—
121	#394	—	2	8	no	—
122	#394	—	2	8	no	—
123	#391	—	2	2	no	—
124	#391	D₄	1	2	yes	—
125	#390	—	2	2	no	—
126	#390	—	2	2	no	—
127	#390	—	2	2	no	—
128	#390	C₂³	1	4	yes	—
129	#390	C₂³	1	8	yes	—
130	#390	C₂³	1	8	yes	—
131	#389	D₄	1	4	yes	—
132	#389	C₂³	1	8	yes	—
133	#389	C₂³	1	4	yes	—
134	#388	—	2	4	no	—
135	#386	—	2	8	no	—
136	#385	—	2	8	no	—
137	#384	—	2	2	no	—
138	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
139	#380	—	2	8	no	—
140	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
141	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
142	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
144	#340	C₂³	1	8	yes	—
145	#340	C₂³	1	4	yes	—
146	#340	C₂³	1	2	yes	—
147	#336	C₂³	1	8	yes	—
148	C₂×#41	—	4	8	no	—
149	C₂×#41	—	4	8	no	—
150	C₂×#41	—	8	4	no	—
151	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
152	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
154	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
155	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
156	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
158	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
159	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×D₈	—	2	8	no	—
163	C₂×D₈	—	2	8	no	—
164	C₂×D₈	—	4	2	no	—
165	C₂×D₈	—	4	8	no	—
166	C₂×D₈	—	4	4	no	—
167	C₂×D₈	—	4	4	no	—
168	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
170	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
173	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
174	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
175	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
176	#127	—	2	8	no	—
177	#127	—	2	4	no	—
178	#127	—	2	4	no	—
179	#127	—	4	4	no	—
180	#125	—	2	8	no	—
181	#125	—	4	4	no	—
182	#124	—	8	8	no	—
183	#124	—	8	4	no	—
184	#123	—	8	16	no	—
185	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
186	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
187	#121	—	4	16	no	—
188	#121	—	4	8	no	—
189	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
190	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
191	C₄×D₄	—	2	8	no	—
192	C₄×D₄	—	2	8	no	—
193	C₄×D₄	—	2	4	no	—
194	C₄×D₄	—	4	4	no	—
195	C₄×D₄	—	4	4	no	—
196	C₄×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
197	#117	—	8	4	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
206	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
207	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
208	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
209	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
210	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
219	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
220	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
221	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
225	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
226	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
227	#107	—	4	2	no	—
228	#107	—	4	4	no	—
229	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
230	#106	—	2	8	no	—
231	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
232	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
233	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
234	#102	—	2	8	no	—
235	#102	—	2	8	no	—
236	#102	—	2	8	no	—
237	#102	—	2	8	no	—
238	#102	—	2	8	no	—
239	#102	—	4	8	no	—
240	#102	C₂×D₄	1	8	yes	—
241	#97	—	2	8	no	—
242	C₄×C₈	—	2	4	no	—
243	C₄×C₈	—	2	2	no	—
244	C₄×C₈	—	4	2	no	—
245	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
246	#95	—	2	4	no	—
247	#95	—	2	2	no	—
248	#95	—	2	8	no	—
249	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
250	C₂⁴	—	2	2	no	—
251	C₂⁴	—	2	4	no	—
252	#41	—	8	32	no	—
253	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
254	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
255	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
256	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
257	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
258	C₂×D₄	—	2	4	no	—
259	C₂×D₄	—	2	2	no	—
260	C₂×D₄	—	2	4	no	—
261	C₂×D₄	—	2	4	no	—
262	C₂×D₄	—	2	8	no	—
263	C₂×D₄	—	2	4	no	—
264	C₂×D₄	—	2	8	no	—
265	C₂×D₄	—	4	8	no	—
266	C₂×D₄	—	4	8	no	—
267	C₂×D₄	—	4	8	no	—
268	C₂×D₄	—	4	4	no	—
269	C₂×D₄	—	4	4	no	—
270	C₂×D₄	—	4	4	no	—
271	C₂×D₄	—	4	4	no	—
272	C₂×D₄	—	8	4	no	—
273	C₂×D₄	—	8	8	no	—
274	C₂×D₄	—	8	4	no	—
275	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
276	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
281	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
282	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
283	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
286	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
287	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
290	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
294	D₈	—	4	4	no	—
295	D₈	—	4	16	no	—
296	D₈	—	8	8	no	—
297	C₂×C₈	—	2	2	no	—
298	C₂×C₈	—	2	2	no	—
299	C₂×C₈	—	2	2	no	—
300	C₂×C₈	—	2	2	no	—
301	C₂×C₈	—	2	4	no	—
302	C₂×C₈	—	2	8	no	—
303	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
304	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
305	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
306	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
308	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
309	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
313	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
318	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
319	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
320	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
321	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
325	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
330	C₄²	—	2	2	no	—
331	C₄²	—	2	2	no	—
332	C₄²	—	2	4	no	—
333	C₄²	—	2	4	no	—
334	C₄²	—	2	4	no	—
335	C₄²	—	2	2	no	—
336	C₄²	—	2	2	no	—
337	C₄²	—	4	4	no	—
338	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
339	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
340	C₂³	—	2	4	no	—
341	C₂³	—	4	4	no	—
342	C₂³	—	4	2	no	—
343	C₂³	—	4	4	no	—
344	C₂³	—	4	2	no	—
345	C₂³	—	4	4	no	—
346	C₂³	—	4	8	no	—
347	C₂³	—	4	4	no	—
348	C₂³	—	4	8	no	—
349	C₂³	—	4	4	no	—
350	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
351	Q₈	—	4	8	no	—
352	Q₈	—	16	4	no	—
353	D₄	—	2	4	no	—
354	D₄	—	2	4	no	—
355	D₄	—	4	4	no	—
356	D₄	—	4	4	no	—
357	D₄	—	4	4	no	—
358	D₄	—	4	8	no	—
359	D₄	—	8	16	no	—
360	D₄	—	8	8	no	—
361	D₄	—	16	4	no	—
362	D₄	—	16	8	no	—
363	C₂×C₄	—	2	2	no	—
364	C₂×C₄	—	2	2	no	—
365	C₂×C₄	—	2	2	no	—
366	C₂×C₄	—	2	4	no	—
367	C₂×C₄	—	2	4	no	—
368	C₂×C₄	—	2	4	no	—
369	C₂×C₄	—	2	2	no	—
370	C₂×C₄	—	2	4	no	—
371	C₂×C₄	—	2	2	no	—
372	C₂×C₄	—	2	2	no	—
373	C₂×C₄	—	2	4	no	—
374	C₂×C₄	—	2	8	no	—
375	C₂×C₄	—	4	2	no	—
376	C₂×C₄	—	4	2	no	—
377	C₂×C₄	—	4	16	no	—
378	C₂×C₄	—	4	4	no	—
379	C₂×C₄	—	4	4	no	—
380	C₂×C₄	—	4	4	no	—
381	C₂×C₄	—	4	4	no	—
382	C₂×C₄	—	4	8	no	—
383	C₂×C₄	—	8	16	no	—
384	C₂×C₄	—	16	8	no	—
385	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
389	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
391	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
394	C₈	—	2	2	no	—
395	C₈	—	2	2	no	—
396	C₈	—	2	4	no	—
397	C₈	—	4	4	no	—
398	C₂²	—	4	4	no	—
399	C₂²	—	4	4	no	—
400	C₂²	—	4	4	no	—
401	C₂²	—	8	4	no	—
402	C₂²	—	8	4	no	—
403	C₂²	—	8	4	no	—
404	C₂²	—	8	8	no	—
405	C₂²	—	8	4	no	—
406	C₂²	—	8	8	no	—
407	C₂²	—	8	4	no	—
408	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
409	C₂²	#3497	1	2	yes	—
410	C₂²	C₂×#575	1	1	yes	characteristic
411	C₂²	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
412	C₂²	C₂×#576	1	2	yes	—
413	C₄	—	2	4	no	—
414	C₄	—	2	2	no	—
415	C₄	—	4	4	no	—
416	C₄	—	4	4	no	—
417	C₄	—	4	4	no	—
418	C₄	—	4	2	no	—
419	C₄	—	8	4	no	—
420	C₄	—	8	4	no	—
421	C₄	#3273	1	4	yes	—
422	C₄	#3449	1	1	yes	characteristic
423	C₄	#3499	1	1	yes	characteristic
424	C₄	#3561	1	2	yes	—
425	C₂	—	8	4	no	—
426	C₂	—	16	4	no	—
427	C₂	#39356	1	1	yes	characteristic
428	C₂	C₂×#3273	1	1	yes	characteristic
429	C₂	#61089	1	1	yes	characteristic
430	C₂	#62368	1	2	yes	—
431	C₂	#62373	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3366	C₂	semidirect
2. #38952	C₂	semidirect
3. #33241	C₂	semidirect
4. #31238	C₂	semidirect
5. #31208	C₂	semidirect
6. #29825	C₂	semidirect
7. #28645	C₂	semidirect
8. #26843	C₂	semidirect
9. #25839	C₂	semidirect
10. #25631	C₂	semidirect
11. #21712	C₂	semidirect
12. #21275	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3366	2
#38952	2
#33241	2
#31238	2
#31208	2
#29825	2
#28645	2
#26843	2
#25839	2
#25631	2
#21712	2
#21275	2