Subgroups — #6815307

Order 512.

1744 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 443 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3231	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#36151	C₂	1	2	yes	maximal
3	#33255	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#31249	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#31205	C₂	1	4	yes	maximal
6	#29844	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#28656	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#26809	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#25812	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#25600	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#21727	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#21265	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
15	#3231	—	2	16	no	—
16	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#498	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#498	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#485	C₂²	1	8	yes	—
23	C₂×#479	C₂²	1	8	yes	—
24	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
25	#2862	C₂²	1	2	yes	—
26	#2857	C₂²	1	2	yes	—
27	#2857	C₂²	1	2	yes	—
28	#2536	—	2	2	no	—
29	#2489	—	2	2	no	—
30	#2489	C₂²	1	4	yes	—
31	#2453	—	2	2	no	—
32	#2453	C₂²	1	4	yes	—
33	#2421	—	2	2	no	—
34	#2421	—	2	2	no	—
35	#2415	—	2	2	no	—
36	#2415	C₂²	1	4	yes	—
37	#2362	—	2	2	no	—
38	#2362	C₂²	1	4	yes	—
39	#2351	—	2	2	no	—
40	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
41	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#2068	C₂²	1	8	yes	—
43	#2068	C₂²	1	8	yes	—
44	#2059	C₂²	1	8	yes	—
45	#2036	C₂²	1	8	yes	—
46	#2001	C₂²	1	8	yes	—
47	#1990	C₂²	1	2	yes	—
48	#1990	C₂²	1	2	yes	—
49	#1971	C₂²	1	4	yes	—
50	#1971	C₂²	1	4	yes	—
51	#1956	C₂²	1	2	yes	—
52	#1955	C₂²	1	2	yes	—
53	#1944	C₂²	1	4	yes	—
54	#1940	C₂²	1	2	yes	—
55	#1928	C₂²	1	8	yes	—
56	#1924	C₂²	1	4	yes	—
57	#1878	C₂²	1	8	yes	—
58	#1854	C₂²	1	8	yes	—
59	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	#1776	C₂²	1	4	yes	—
61	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
62	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
63	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
65	#533	—	2	8	no	—
66	#533	—	2	8	no	—
67	#533	—	4	4	no	—
68	#533	—	4	4	no	—
69	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#125	—	2	2	no	—
73	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×#117	—	2	2	no	—
88	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
90	#500	—	2	8	no	—
91	#498	—	4	2	no	—
92	#498	D₄	1	8	yes	complemented
93	#494	—	4	2	no	—
94	#487	—	2	8	no	—
95	#487	—	2	8	no	—
96	#485	—	2	32	no	—
97	#479	—	2	32	no	—
98	#431	—	2	8	no	—
99	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
100	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
106	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
107	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	#400	—	2	4	no	—
116	#400	—	2	4	no	—
117	#398	—	2	4	no	—
118	#397	—	2	4	no	—
119	#397	—	2	4	no	—
120	#394	—	2	4	no	—
121	#391	—	2	2	no	—
122	#391	—	2	2	no	—
123	#391	—	2	2	no	—
124	#391	—	2	2	no	—
125	#391	C₂³	1	4	yes	—
126	#391	C₂³	1	4	yes	—
127	#391	C₂³	1	4	yes	—
128	#389	—	2	4	no	—
129	#389	—	2	4	no	—
130	#389	—	2	2	no	—
131	#389	—	2	2	no	—
132	#389	—	2	2	no	—
133	#389	—	2	2	no	—
134	#389	C₂³	1	4	yes	—
135	#389	C₂³	1	4	yes	—
136	#388	—	2	4	no	—
137	#388	—	2	4	no	—
138	#388	—	2	4	no	—
139	#388	—	2	4	no	—
140	#387	—	2	4	no	—
141	#387	—	2	4	no	—
142	#384	C₂³	1	2	yes	—
143	#382	—	2	2	no	—
144	#382	—	2	2	no	—
145	#382	—	2	4	no	—
146	#380	—	2	2	no	—
147	#380	—	2	2	no	—
148	#380	—	2	2	no	—
149	#380	C₂³	1	4	yes	—
150	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
153	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
154	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
155	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
156	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
157	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
158	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
159	#340	C₂³	1	8	yes	—
160	#340	C₂³	1	8	yes	—
161	#336	C₂³	1	4	yes	—
162	#336	C₂³	1	2	yes	—
163	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
164	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
165	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
166	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
170	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
171	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
172	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
173	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
174	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
175	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
176	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
177	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
178	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
179	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
180	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
181	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
182	#125	—	2	8	no	—
183	#125	—	4	4	no	—
184	#125	—	4	8	no	—
185	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
186	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
187	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
188	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
189	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
190	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
191	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
192	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
193	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
194	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
195	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
196	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
197	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
198	C₄×D₄	—	4	4	no	—
199	C₄×D₄	—	4	2	no	—
200	#117	—	2	8	no	—
201	#117	—	4	4	no	—
202	#117	—	4	8	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
216	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
217	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
219	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
220	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
221	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
223	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
226	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
227	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
228	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
229	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
230	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
231	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
232	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
233	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
234	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
235	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
236	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
237	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
239	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
241	#107	—	2	16	no	—
242	#107	—	4	4	no	—
243	#106	—	4	4	no	—
244	#106	C₂×D₄	1	16	yes	—
245	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
246	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
247	#103	—	2	16	no	—
248	#103	—	2	16	no	—
249	#103	—	4	8	no	—
250	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
251	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
252	#97	—	2	4	no	—
253	#97	—	4	2	no	—
254	C₄×C₈	—	2	4	no	—
255	C₄×C₈	—	2	2	no	—
256	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
257	#95	—	2	4	no	—
258	#95	—	2	4	no	—
259	#95	—	2	4	no	—
260	#95	—	2	4	no	—
261	#95	—	2	4	no	—
262	#95	—	2	4	no	—
263	#95	—	2	4	no	—
264	#95	—	2	4	no	—
265	#95	—	2	4	no	—
266	#95	—	2	4	no	—
267	#95	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
268	#95	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
269	#95	C₂×D₄	1	2	yes	—
270	#95	C₂×D₄	1	2	yes	—
271	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
272	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
273	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
274	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
275	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
276	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
277	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
278	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
279	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
280	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
281	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
282	C₂×D₄	—	4	1	no	—
283	C₂×D₄	—	4	2	no	—
284	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
300	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
301	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
302	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
303	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
304	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
305	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
306	Q₁₆	—	8	8	no	—
307	C₂×C₈	—	2	2	no	—
308	C₂×C₈	—	2	2	no	—
309	C₂×C₈	—	2	2	no	—
310	C₂×C₈	—	2	2	no	—
311	C₂×C₈	—	2	4	no	—
312	C₂×C₈	—	2	4	no	—
313	C₂×C₈	—	2	4	no	—
314	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
315	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
316	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
317	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
318	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
319	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
320	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
321	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
322	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
323	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
324	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
325	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
326	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
327	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
328	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
329	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
330	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
331	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
332	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
333	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
334	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
335	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
336	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
337	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
338	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
339	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
340	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
341	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
342	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
343	C₄²	—	2	4	no	—
344	C₄²	—	2	4	no	—
345	C₄²	—	2	4	no	—
346	C₄²	—	2	4	no	—
347	C₄²	—	2	2	no	—
348	C₄²	—	2	2	no	—
349	C₄²	—	2	2	no	—
350	C₄²	—	2	2	no	—
351	C₄²	—	4	8	no	—
352	C₄²	—	4	8	no	—
353	C₄²	—	4	8	no	—
354	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
355	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
356	C₂³	—	2	2	no	—
357	C₂³	—	2	2	no	—
358	C₂³	—	2	2	no	—
359	C₂³	—	2	2	no	—
360	C₂³	—	2	2	no	—
361	C₂³	—	2	2	no	—
362	C₂³	—	2	2	no	—
363	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
364	Q₈	—	4	16	no	—
365	Q₈	—	4	8	no	—
366	Q₈	—	4	8	no	—
367	Q₈	—	8	8	no	—
368	D₄	—	4	4	no	—
369	C₂×C₄	—	2	1	no	—
370	C₂×C₄	—	2	1	no	—
371	C₂×C₄	—	2	2	no	—
372	C₂×C₄	—	2	2	no	—
373	C₂×C₄	—	2	2	no	—
374	C₂×C₄	—	2	2	no	—
375	C₂×C₄	—	2	8	no	—
376	C₂×C₄	—	2	2	no	—
377	C₂×C₄	—	2	2	no	—
378	C₂×C₄	—	2	2	no	—
379	C₂×C₄	—	2	2	no	—
380	C₂×C₄	—	2	2	no	—
381	C₂×C₄	—	2	2	no	—
382	C₂×C₄	—	2	2	no	—
383	C₂×C₄	—	2	2	no	—
384	C₂×C₄	—	2	2	no	—
385	C₂×C₄	—	2	2	no	—
386	C₂×C₄	—	4	4	no	—
387	C₂×C₄	—	4	4	no	—
388	C₂×C₄	—	4	4	no	—
389	C₂×C₄	—	4	8	no	—
390	C₂×C₄	—	4	8	no	—
391	C₂×C₄	—	4	4	no	—
392	C₂×C₄	—	4	4	no	—
393	C₂×C₄	—	4	4	no	—
394	C₂×C₄	—	4	4	no	—
395	C₂×C₄	—	4	4	no	—
396	C₂×C₄	—	4	4	no	—
397	C₂×C₄	—	4	4	no	—
398	C₂×C₄	—	4	4	no	—
399	C₂×C₄	—	4	4	no	—
400	C₂×C₄	—	4	4	no	—
401	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
402	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
403	C₂×C₄	#578	1	4	yes	—
404	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
405	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
406	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
407	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
408	C₈	—	2	4	no	—
409	C₈	—	2	4	no	—
410	C₈	—	4	4	no	—
411	C₂²	—	4	2	no	—
412	C₂²	—	4	2	no	—
413	C₂²	—	4	2	no	—
414	C₂²	—	4	2	no	—
415	C₂²	—	4	2	no	—
416	C₂²	—	4	2	no	—
417	C₂²	—	4	2	no	—
418	C₂²	#3449	1	1	yes	characteristic
419	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
420	C₂²	#3499	1	1	yes	characteristic
421	C₂²	C₂×#575	1	2	yes	—
422	C₂²	C₂×#578	1	2	yes	—
423	C₄	—	4	2	no	—
424	C₄	—	4	1	no	—
425	C₄	—	4	1	no	—
426	C₄	—	4	2	no	—
427	C₄	—	4	2	no	—
428	C₄	—	4	8	no	—
429	C₄	—	4	2	no	—
430	C₄	—	8	4	no	—
431	C₄	—	8	4	no	—
432	C₄	—	8	4	no	—
433	C₄	#3269	1	8	yes	—
434	C₄	#3497	1	2	yes	—
435	C₄	#3561	1	2	yes	—
436	C₂	—	8	2	no	—
437	C₂	#39356	1	1	yes	characteristic
438	C₂	#60972	1	1	yes	characteristic
439	C₂	#61013	1	1	yes	characteristic
440	C₂	C₂×#3269	1	2	yes	—
441	C₂	#62482	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×D₄	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3231	C₂	semidirect
3. #33255	C₂	semidirect
4. #31249	C₂	semidirect
6. #29844	C₂	semidirect
7. #28656	C₂	semidirect
8. #26809	C₂	semidirect
9. #25812	C₂	semidirect
10. #25600	C₂	semidirect
11. #21727	C₂	semidirect
92. #498	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3231	2
#36151	2
#33255	2
#31249	2
#31205	2
#29844	2
#28656	2
#26809	2
#25812	2
#25600	2
#21727	2
#21265	2