Subgroups — #6819044

Order 512.

1732 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#39378	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#33258	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#32458	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#31188	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#29994	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#28140	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#25232	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#25010	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#22705	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₈×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#21275	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#540	—	2	2	no	—
13	C₂×#480	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	—
17	#2859	C₂²	1	2	yes	—
18	#2701	—	2	8	no	—
19	#2629	—	2	2	no	—
20	#2537	C₂²	1	4	yes	—
21	#2486	C₂²	1	8	yes	—
22	#2420	—	2	4	no	—
23	#2416	C₂²	1	8	yes	—
24	D₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
25	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2293	C₂²	1	2	yes	—
27	#2086	C₂²	1	8	yes	—
28	#2075	C₂²	1	8	yes	—
29	#2075	C₂²	1	4	yes	—
30	#2067	C₂²	1	8	yes	—
31	#2033	C₂²	1	8	yes	—
32	#1999	C₂²	1	4	yes	—
33	#1970	C₂²	1	2	yes	—
34	#1954	C₂²	1	2	yes	—
35	#1954	C₂²	1	4	yes	—
36	#1947	C₂²	1	4	yes	—
37	#1942	C₂²	1	2	yes	—
38	#1942	C₂²	1	4	yes	—
39	#1942	C₂²	1	4	yes	—
40	#1934	C₂²	1	4	yes	—
41	#1893	C₂²	1	8	yes	—
42	#1852	C₂²	1	8	yes	—
43	#1852	C₂²	1	8	yes	—
44	#1845	C₂²	1	2	yes	—
45	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1834	C₂²	1	2	yes	—
47	#1808	C₂²	1	4	yes	—
48	#1802	C₂²	1	4	yes	—
49	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	C₄×#102	C₂²	1	2	yes	—
51	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
52	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
55	#540	—	4	16	no	—
56	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#125	—	2	2	no	—
58	C₂×#123	—	2	8	no	—
59	C₂×#121	—	2	8	no	—
60	C₂×#121	—	2	4	no	—
61	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
62	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂×#117	—	2	2	no	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
68	#480	—	4	16	no	—
69	C₄×D₈	—	2	4	no	—
70	C₈×D₄	—	2	8	no	—
71	C₈×D₄	—	4	8	no	—
72	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
75	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×#102	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#398	—	2	8	no	—
89	#397	—	2	8	no	—
90	#396	—	2	8	no	—
91	#394	—	2	8	no	—
92	#394	—	2	8	no	—
93	#390	D₄	1	2	yes	—
94	#390	D₄	1	4	yes	—
95	#390	C₂³	1	4	yes	—
96	#389	—	2	4	no	—
97	#389	—	2	4	no	—
98	#389	C₂³	1	8	yes	—
99	#389	C₂³	1	4	yes	—
100	#388	—	2	4	no	—
101	#386	—	2	8	no	—
102	#385	—	2	8	no	—
103	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
104	#384	C₂³	1	4	yes	—
105	#382	—	2	2	no	—
106	#381	—	2	8	no	—
107	#380	—	2	4	no	—
108	#380	C₂³	1	8	yes	—
109	#380	C₂³	1	8	yes	—
110	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
111	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	#340	C₂³	1	8	yes	—
114	#340	C₂³	1	2	yes	—
115	#340	C₂³	1	4	yes	—
116	#340	C₂³	1	8	yes	—
117	#340	C₂³	1	4	yes	—
118	#340	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
120	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
122	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
126	C₂×D₈	—	2	2	no	—
127	C₂×D₈	—	4	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
129	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
130	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
134	#127	D₈	1	8	yes	complemented
135	#125	—	4	8	no	—
136	#123	—	4	32	no	—
137	#121	—	4	32	no	—
138	#121	—	4	16	no	—
139	#121	—	4	8	no	—
140	#121	—	4	8	no	—
141	C₄×D₄	—	2	4	no	—
142	C₄×D₄	—	2	4	no	—
143	C₄×D₄	—	2	4	no	—
144	C₄×D₄	—	2	4	no	—
145	C₄×D₄	—	4	4	no	—
146	C₄×D₄	—	4	4	no	—
147	C₄×D₄	—	4	16	no	—
148	#117	—	4	8	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
175	#107	—	2	2	no	—
176	#107	—	2	8	no	—
177	#107	—	4	2	no	—
178	#107	—	4	4	no	—
179	#107	—	4	8	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
181	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
182	#102	—	2	4	no	—
183	#102	—	2	8	no	—
184	#102	—	4	8	no	—
185	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
186	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
187	C₄×C₈	—	2	4	no	—
188	C₄×C₈	—	2	2	no	—
189	C₄×C₈	—	4	2	no	—
190	C₄×C₈	#41	1	4	yes	—
191	#95	—	2	4	no	—
192	#95	—	2	2	no	—
193	#95	—	2	8	no	—
194	#95	—	2	8	no	—
195	#95	—	2	8	no	—
196	C₂⁴	—	2	2	no	—
197	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
198	C₂×D₄	—	2	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	2	2	no	—
201	C₂×D₄	—	2	4	no	—
202	C₂×D₄	—	2	2	no	—
203	C₂×D₄	—	2	4	no	—
204	C₂×D₄	—	4	4	no	—
205	C₂×D₄	—	4	4	no	—
206	C₂×D₄	—	4	16	no	—
207	C₂×D₄	—	8	8	no	—
208	C₂×D₄	—	8	8	no	—
209	C₂×D₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
210	C₂×D₄	C₂×D₈	1	16	yes	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
230	D₈	—	4	4	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	2	no	—
234	C₂×C₈	—	2	2	no	—
235	C₂×C₈	—	2	4	no	—
236	C₂×C₈	—	2	8	no	—
237	C₂×C₈	—	8	8	no	—
238	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
239	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
240	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
252	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
262	C₄²	—	2	2	no	—
263	C₄²	—	2	2	no	—
264	C₄²	—	2	2	no	—
265	C₄²	—	4	2	no	—
266	C₄²	—	4	4	no	—
267	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
268	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
269	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
270	C₂³	—	2	8	no	—
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	2	8	no	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	4	4	no	—
275	C₂³	—	4	2	no	—
276	C₂³	—	4	4	no	—
277	C₂³	—	4	2	no	—
278	C₂³	—	4	2	no	—
279	C₂³	C₂²×D₈	1	8	yes	—
280	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
281	D₄	—	2	16	no	—
282	D₄	—	4	16	no	—
283	D₄	—	4	2	no	—
284	D₄	—	4	2	no	—
285	D₄	—	4	4	no	—
286	D₄	—	16	16	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	8	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	8	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	8	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	8	no	—
306	C₂×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	—	8	8	no	—
308	C₂×C₄	—	16	16	no	—
309	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
318	C₈	—	2	2	no	—
319	C₈	—	2	2	no	—
320	C₈	—	2	4	no	—
321	C₈	—	4	4	no	—
322	C₂²	—	2	16	no	—
323	C₂²	—	2	8	no	—
324	C₂²	—	4	4	no	—
325	C₂²	—	4	8	no	—
326	C₂²	—	4	4	no	—
327	C₂²	—	8	4	no	—
328	C₂²	—	8	2	no	—
329	C₂²	—	8	2	no	—
330	C₂²	—	8	4	no	—
331	C₂²	—	8	2	no	—
332	C₂²	C₂×#547	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#3496	1	2	yes	—
334	C₂²	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#3584	1	2	yes	—
337	C₄	—	2	4	no	—
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	4	2	no	—
340	C₄	—	4	4	no	—
341	C₄	—	8	4	no	—
342	C₄	—	8	8	no	—
343	C₄	—	8	2	no	—
344	C₄	#3334	1	4	yes	—
345	C₄	#3455	1	1	yes	characteristic
346	C₄	#3508	1	1	yes	characteristic
347	C₄	#3559	1	2	yes	—
348	C₂	—	4	8	no	—
349	C₂	—	16	2	no	—
350	C₂	#39372	1	1	yes	characteristic
351	C₂	C₂×#3334	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#61290	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#62245	1	2	yes	—
354	C₂	#62341	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#127 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #39378	C₂	semidirect
2. #33258	C₂	semidirect
3. #32458	C₂	semidirect
4. #31188	C₂	semidirect
5. #29994	C₂	semidirect
6. #28140	C₂	semidirect
7. #25232	C₂	semidirect
8. #25010	C₂	semidirect
9. #22705	C₂	semidirect
10. C₈×#127	C₂	semidirect
11. #21275	C₂	semidirect
134. #127	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#39378	2
#33258	2
#32458	2
#31188	2
#29994	2
#28140	2
#25232	2
#25010	2
#22705	2
C₈×#127	2
#21275	2