Subgroups — #6819851

Order 512.

1740 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 370 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#39378	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#33258	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#31770	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#29994	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28227	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#27661	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#24965	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#24780	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	D₄×#107	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₈×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#21275	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#540	—	2	2	no	—
13	C₂×#466	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×#107	C₂²	1	4	yes	—
18	#2859	C₂²	1	2	yes	—
19	#2701	—	2	8	no	—
20	#2629	—	2	2	no	—
21	#2537	C₂²	1	4	yes	—
22	#2486	C₂²	1	8	yes	—
23	#2420	—	2	4	no	—
24	#2416	C₂²	1	8	yes	—
25	D₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
26	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2293	C₂²	1	2	yes	—
28	#2086	C₂²	1	8	yes	—
29	#2075	C₂²	1	8	yes	—
30	#2067	C₂²	1	8	yes	—
31	#2033	C₂²	1	8	yes	—
32	#2033	C₂²	1	8	yes	—
33	#1970	C₂²	1	2	yes	—
34	#1954	C₂²	1	4	yes	—
35	#1954	C₂²	1	2	yes	—
36	#1947	C₂²	1	4	yes	—
37	#1942	C₂²	1	2	yes	—
38	#1942	C₂²	1	4	yes	—
39	#1942	C₂²	1	4	yes	—
40	#1934	C₂²	1	4	yes	—
41	#1874	C₂²	1	8	yes	—
42	#1852	C₂²	1	8	yes	—
43	#1845	C₂²	1	2	yes	—
44	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1834	C₂²	1	2	yes	—
46	#1823	C₂²	1	8	yes	—
47	#1808	C₂²	1	4	yes	—
48	#1808	C₂²	1	4	yes	—
49	#1802	C₂²	1	4	yes	—
50	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₄×#102	C₂²	1	2	yes	—
52	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
55	#540	—	4	16	no	—
56	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#125	—	2	2	no	—
58	C₂×#123	—	2	8	no	—
59	C₂×#121	—	2	8	no	—
60	C₂×#121	—	2	4	no	—
61	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
62	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂×#117	—	2	2	no	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
68	#466	—	4	8	no	—
69	C₄×D₈	—	2	4	no	—
70	C₈×D₄	—	2	8	no	—
71	C₈×D₄	—	4	8	no	—
72	C₂×#107	—	4	8	no	—
73	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
77	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×#102	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	#398	—	2	8	no	—
91	#397	—	2	8	no	—
92	#396	—	2	8	no	—
93	#394	—	2	8	no	—
94	#394	—	2	8	no	—
95	#390	D₄	1	2	yes	—
96	#390	D₄	1	4	yes	—
97	#390	C₂³	1	4	yes	—
98	#389	—	2	4	no	—
99	#389	—	2	4	no	—
100	#389	C₂³	1	8	yes	—
101	#389	C₂³	1	4	yes	—
102	#388	—	2	4	no	—
103	#386	—	2	8	no	—
104	#385	—	2	8	no	—
105	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
106	#384	C₂³	1	4	yes	—
107	#382	—	2	2	no	—
108	#381	—	2	8	no	—
109	#380	—	2	4	no	—
110	#380	C₂³	1	8	yes	—
111	#380	C₂³	1	8	yes	—
112	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	#340	C₂³	1	8	yes	—
116	#340	C₂³	1	8	yes	—
117	#340	C₂³	1	4	yes	—
118	#340	C₂³	1	8	yes	—
119	#340	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
121	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
123	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
124	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
127	C₂×D₈	—	2	2	no	—
128	C₂×D₈	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
132	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
136	#127	D₈	1	8	yes	complemented
137	#125	—	4	8	no	—
138	#123	—	4	32	no	—
139	#121	—	4	32	no	—
140	#121	—	4	16	no	—
141	#121	—	4	8	no	—
142	#121	—	4	8	no	—
143	C₄×D₄	—	2	4	no	—
144	C₄×D₄	—	2	4	no	—
145	C₄×D₄	—	2	4	no	—
146	C₄×D₄	—	2	4	no	—
147	C₄×D₄	—	4	4	no	—
148	C₄×D₄	—	4	4	no	—
149	C₄×D₄	—	4	16	no	—
150	#117	—	4	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
178	#107	—	2	2	no	—
179	#107	—	2	4	no	—
180	#107	—	2	8	no	—
181	#107	—	4	8	no	—
182	#107	—	4	4	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
184	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
185	#102	—	2	4	no	—
186	#102	—	4	4	no	—
187	#102	—	4	8	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
189	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
190	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
191	C₄×C₈	—	2	4	no	—
192	C₄×C₈	—	2	2	no	—
193	C₄×C₈	—	4	2	no	—
194	C₄×C₈	#41	1	4	yes	—
195	#95	—	2	4	no	—
196	#95	—	2	2	no	—
197	#95	—	2	8	no	—
198	#95	—	2	8	no	—
199	#95	—	2	8	no	—
200	C₂⁴	—	2	2	no	—
201	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
202	C₂×D₄	—	2	4	no	—
203	C₂×D₄	—	2	4	no	—
204	C₂×D₄	—	2	2	no	—
205	C₂×D₄	—	2	4	no	—
206	C₂×D₄	—	2	2	no	—
207	C₂×D₄	—	2	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	4	no	—
210	C₂×D₄	—	4	16	no	—
211	C₂×D₄	—	8	8	no	—
212	C₂×D₄	—	8	8	no	—
213	C₂×D₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
214	C₂×D₄	C₂×D₈	1	16	yes	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
236	D₈	—	4	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	4	16	no	—
245	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
246	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
248	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
259	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
270	C₄²	—	2	2	no	—
271	C₄²	—	2	2	no	—
272	C₄²	—	2	2	no	—
273	C₄²	—	4	2	no	—
274	C₄²	—	4	4	no	—
275	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
276	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
277	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
278	C₂³	—	2	4	no	—
279	C₂³	—	2	4	no	—
280	C₂³	—	2	4	no	—
281	C₂³	—	2	4	no	—
282	C₂³	—	2	4	no	—
283	C₂³	—	2	4	no	—
284	C₂³	—	4	4	no	—
285	C₂³	—	4	2	no	—
286	C₂³	—	4	4	no	—
287	C₂³	—	4	2	no	—
288	C₂³	—	4	2	no	—
289	C₂³	C₂²×D₈	1	8	yes	—
290	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
291	D₄	—	2	16	no	—
292	D₄	—	4	16	no	—
293	D₄	—	4	2	no	—
294	D₄	—	4	2	no	—
295	D₄	—	4	4	no	—
296	D₄	—	16	16	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	8	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	8	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	8	8	no	—
320	C₂×C₄	—	16	16	no	—
321	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
330	C₈	—	2	2	no	—
331	C₈	—	4	4	no	—
332	C₈	—	4	2	no	—
333	C₈	#540	1	4	yes	complemented
334	C₂²	—	2	8	no	—
335	C₂²	—	2	8	no	—
336	C₂²	—	2	8	no	—
337	C₂²	—	4	4	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	4	4	no	—
340	C₂²	—	4	4	no	—
341	C₂²	—	8	4	no	—
342	C₂²	—	8	2	no	—
343	C₂²	—	8	2	no	—
344	C₂²	—	8	4	no	—
345	C₂²	—	8	2	no	—
346	C₂²	C₂×#547	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#3496	1	2	yes	—
348	C₂²	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#3584	1	2	yes	—
351	C₄	—	2	4	no	—
352	C₄	—	2	2	no	—
353	C₄	—	4	2	no	—
354	C₄	—	4	4	no	—
355	C₄	—	8	4	no	—
356	C₄	—	8	8	no	—
357	C₄	—	8	2	no	—
358	C₄	#3334	1	4	yes	—
359	C₄	C₂×#540	1	1	yes	characteristic
360	C₄	#3512	1	1	yes	characteristic
361	C₄	#3547	1	2	yes	—
362	C₂	—	4	8	no	—
363	C₂	—	16	2	no	—
364	C₂	#39378	1	1	yes	characteristic
365	C₂	C₂×#3334	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#61289	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#62245	1	2	yes	—
368	C₂	#62325	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#127 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #39378	C₂	semidirect
2. #33258	C₂	semidirect
3. #31770	C₂	semidirect
4. #29994	C₂	semidirect
5. #28227	C₂	semidirect
6. #27661	C₂	semidirect
7. #24965	C₂	semidirect
8. #24780	C₂	semidirect
9. D₄×#107	C₂	semidirect
10. C₈×#127	C₂	semidirect
11. #21275	C₂	semidirect
136. #127	D₈	semidirect
333. C₈	#540	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#39378	2
#33258	2
#31770	2
#29994	2
#28227	2
#27661	2
#24965	2
#24780	2
D₄×#107	2
C₈×#127	2
#21275	2