Subgroups — #7196661

Order 512.

2320 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 396 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3334	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#59815	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#30701	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#28201	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28140	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#26126	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#24116	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#23798	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#22260	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#22247	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#550	—	2	2	no	—
12	C₂×#547	C₂²	1	4	yes	—
13	#3334	—	2	16	no	—
14	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#480	C₂²	1	8	yes	—
16	C₂×#474	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#466	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×#107	C₂²	1	4	yes	—
22	#2682	—	2	4	no	—
23	#2541	C₂²	1	4	yes	—
24	#2538	—	2	2	no	—
25	#2537	C₂²	1	4	yes	—
26	#2445	—	2	4	no	—
27	#2416	C₂²	1	8	yes	—
28	#2407	—	2	4	no	—
29	D₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
30	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#2093	C₂²	1	4	yes	—
34	#2083	C₂²	1	4	yes	—
35	#2075	C₂²	1	4	yes	—
36	#2041	C₂²	1	4	yes	—
37	#2033	C₂²	1	8	yes	—
38	#2011	C₂²	1	4	yes	—
39	#1999	C₂²	1	8	yes	—
40	#1999	C₂²	1	4	yes	—
41	#1990	C₂²	1	2	yes	—
42	#1954	C₂²	1	2	yes	—
43	#1925	C₂²	1	8	yes	—
44	#1918	C₂²	1	8	yes	—
45	#1893	C₂²	1	8	yes	—
46	#1874	C₂²	1	8	yes	—
47	#1869	C₂²	1	8	yes	—
48	#1852	C₂²	1	8	yes	—
49	#1834	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	#1831	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	#1802	C₂²	1	4	yes	—
52	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×#41	—	2	4	no	—
54	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
57	#550	—	4	16	no	—
58	#547	—	2	16	no	—
59	#547	—	4	8	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#127	—	2	4	no	—
62	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#123	—	2	8	no	—
65	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
66	C₂×#121	—	2	4	no	—
67	C₂×#121	—	2	8	no	—
68	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
69	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
70	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
78	#500	D₄	1	8	yes	complemented
79	#480	—	2	32	no	—
80	#474	—	2	16	no	—
81	#466	—	2	16	no	—
82	C₄×D₈	—	2	8	no	—
83	C₄×D₈	—	4	4	no	—
84	C₈×D₄	—	2	8	no	—
85	C₂×#107	—	2	16	no	—
86	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
93	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	#396	—	2	8	no	—
100	#394	—	2	8	no	—
101	#394	—	2	8	no	—
102	#392	—	2	8	no	—
103	#391	—	2	2	no	—
104	#390	—	2	4	no	—
105	#390	—	2	2	no	—
106	#390	—	2	2	no	—
107	#390	D₄	1	2	yes	—
108	#390	D₄	1	4	yes	—
109	#390	C₂³	1	4	yes	—
110	#389	—	2	4	no	—
111	#389	—	2	2	no	—
112	#389	C₂³	1	4	yes	—
113	#386	—	2	8	no	—
114	#385	—	2	8	no	—
115	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
116	#384	C₂³	1	2	yes	—
117	#384	C₂³	1	2	yes	—
118	#380	—	2	4	no	—
119	#380	C₂³	1	8	yes	—
120	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
121	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
122	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
123	#340	C₂³	1	8	yes	—
124	#340	C₂³	1	4	yes	—
125	#340	C₂³	1	8	yes	—
126	#336	C₂³	1	4	yes	—
127	#336	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×#41	—	4	16	no	—
129	C₂×#41	—	4	16	no	—
130	C₂×#41	—	8	8	no	—
131	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
133	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
139	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
140	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
141	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
142	C₂×D₈	—	2	4	no	—
143	C₂×D₈	—	4	4	no	—
144	C₂×D₈	—	4	4	no	—
145	C₂×D₈	—	4	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
147	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
148	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
152	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
153	#127	—	4	4	no	—
154	#127	—	4	16	no	—
155	#127	D₈	1	8	yes	complemented
156	#123	—	4	32	no	—
157	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
158	#121	—	2	16	no	—
159	#121	—	4	8	no	—
160	#121	—	4	16	no	—
161	#121	—	4	32	no	—
162	#121	—	4	8	no	—
163	#121	—	4	8	no	—
164	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
165	C₄×D₄	—	2	4	no	—
166	C₄×D₄	—	2	8	no	—
167	C₄×D₄	—	2	4	no	—
168	C₄×D₄	—	2	8	no	—
169	C₄×D₄	—	4	8	no	—
170	C₄×D₄	—	4	16	no	—
171	C₄×D₄	—	4	8	no	—
172	C₄×D₄	—	8	4	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
185	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
186	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
195	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
201	#107	—	2	4	no	—
202	#107	—	2	16	no	—
203	#107	—	4	2	no	—
204	#107	C₂×D₄	1	16	yes	—
205	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
206	#102	—	2	8	no	—
207	#102	—	2	16	no	—
208	#102	—	4	8	no	—
209	#102	—	4	4	no	—
210	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
211	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
212	C₄×C₈	—	2	2	no	—
213	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
214	#95	—	2	4	no	—
215	#95	—	2	4	no	—
216	#95	—	2	8	no	—
217	C₂⁴	—	2	4	no	—
218	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
219	#41	—	8	64	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
223	C₂×D₄	—	2	4	no	—
224	C₂×D₄	—	2	4	no	—
225	C₂×D₄	—	2	4	no	—
226	C₂×D₄	—	2	4	no	—
227	C₂×D₄	—	2	4	no	—
228	C₂×D₄	—	2	4	no	—
229	C₂×D₄	—	2	4	no	—
230	C₂×D₄	—	2	4	no	—
231	C₂×D₄	—	4	4	no	—
232	C₂×D₄	—	4	4	no	—
233	C₂×D₄	—	4	16	no	—
234	C₂×D₄	—	4	4	no	—
235	C₂×D₄	—	4	4	no	—
236	C₂×D₄	—	4	4	no	—
237	C₂×D₄	—	4	16	no	—
238	C₂×D₄	—	4	16	no	—
239	C₂×D₄	—	4	4	no	—
240	C₂×D₄	—	8	2	no	—
241	C₂×D₄	—	8	2	no	—
242	C₂×D₄	—	8	8	no	—
243	C₂×D₄	—	8	8	no	—
244	C₂×D₄	—	8	8	no	—
245	C₂×D₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
246	C₂×D₄	C₂×D₈	1	16	yes	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
259	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
266	D₈	—	4	8	no	—
267	D₈	—	4	8	no	—
268	C₂×C₈	—	2	4	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	2	2	no	—
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	8	no	—
273	C₂×C₈	—	4	16	no	—
274	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
275	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
288	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
297	C₄²	—	2	2	no	—
298	C₄²	—	2	4	no	—
299	C₄²	—	4	2	no	—
300	C₄²	—	4	8	no	—
301	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
302	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
303	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
304	C₂³	—	2	8	no	—
305	C₂³	—	2	4	no	—
306	C₂³	—	2	8	no	—
307	C₂³	—	2	4	no	—
308	C₂³	—	4	4	no	—
309	C₂³	—	4	4	no	—
310	C₂³	—	4	4	no	—
311	C₂³	—	4	4	no	—
312	C₂³	—	4	4	no	—
313	C₂³	—	4	4	no	—
314	C₂³	—	4	4	no	—
315	C₂³	C₂²×D₈	1	8	yes	—
316	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
317	Q₈	—	4	16	no	—
318	D₄	—	2	16	no	—
319	D₄	—	4	16	no	—
320	D₄	—	4	4	no	—
321	D₄	—	4	4	no	—
322	D₄	—	4	4	no	—
323	D₄	—	4	4	no	—
324	D₄	—	8	8	no	—
325	D₄	—	8	32	no	—
326	D₄	—	8	8	no	—
327	D₄	—	16	16	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	8	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	8	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	8	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	8	32	no	—
349	C₂×C₄	—	8	16	no	—
350	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
353	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#585	1	4	yes	—
358	C₈	—	2	4	no	—
359	C₈	—	4	4	no	—
360	C₈	—	4	2	no	—
361	C₂²	—	2	8	no	—
362	C₂²	—	2	16	no	—
363	C₂²	—	4	4	no	—
364	C₂²	—	4	8	no	—
365	C₂²	—	4	4	no	—
366	C₂²	—	8	4	no	—
367	C₂²	—	8	4	no	—
368	C₂²	—	8	4	no	—
369	C₂²	—	8	4	no	—
370	C₂²	—	8	4	no	—
371	C₂²	—	8	4	no	—
372	C₂²	—	8	4	no	—
373	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	#3485	1	2	yes	—
375	C₂²	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	#3586	1	2	yes	—
378	C₄	—	2	2	no	—
379	C₄	—	2	4	no	—
380	C₄	—	4	4	no	—
381	C₄	—	4	8	no	—
382	C₄	—	4	2	no	—
383	C₄	—	8	4	no	—
384	C₄	—	8	4	no	—
385	C₄	D₄×D₈	1	4	yes	—
386	C₄	#3487	1	2	yes	—
387	C₄	#3539	1	2	yes	—
388	C₂	—	4	8	no	—
389	C₂	—	16	4	no	—
390	C₂	#45387	1	1	yes	characteristic
391	C₂	C₂×D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#61081	1	1	yes	characteristic
393	C₂	#61694	1	2	yes	—
394	C₂	#61807	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#127 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3334	C₂	semidirect
2. #59815	C₂	semidirect
3. #30701	C₂	semidirect
4. #28201	C₂	semidirect
5. #28140	C₂	semidirect
6. #26126	C₂	semidirect
7. #24116	C₂	semidirect
8. #23798	C₂	semidirect
9. #22260	C₂	semidirect
10. #22247	C₂	semidirect
78. #500	D₄	semidirect
155. #127	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3334	2
#59815	2
#30701	2
#28201	2
#28140	2
#26126	2
#24116	2
#23798	2
#22260	2
#22247	2