Subgroups — #7196662

Order 512.

1868 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 359 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3338	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#59823	C₂	1	2	yes	maximal
3	#30707	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#28206	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28142	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#26132	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#24122	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#23801	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#22260	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#22248	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#554	C₂²	1	4	yes	—
12	#3338	—	2	16	no	—
13	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#484	C₂²	1	8	yes	—
15	C₂×#477	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#467	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×#107	C₂²	1	4	yes	—
21	#2732	—	2	4	no	—
22	#2552	—	2	2	no	—
23	#2542	C₂²	1	4	yes	—
24	#2538	—	2	4	no	—
25	#2538	C₂²	1	4	yes	—
26	#2454	—	2	4	no	—
27	#2417	C₂²	1	8	yes	—
28	#2366	—	2	2	no	—
29	D₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
30	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#2095	C₂²	1	4	yes	—
34	#2083	C₂²	1	4	yes	—
35	#2076	C₂²	1	4	yes	—
36	#2043	C₂²	1	4	yes	—
37	#2036	C₂²	1	8	yes	—
38	#2016	C₂²	1	4	yes	—
39	#2001	C₂²	1	8	yes	—
40	#2001	C₂²	1	4	yes	—
41	#1990	C₂²	1	2	yes	—
42	#1954	C₂²	1	2	yes	—
43	#1928	C₂²	1	8	yes	—
44	#1921	C₂²	1	8	yes	—
45	#1892	C₂²	1	8	yes	—
46	#1872	C₂²	1	8	yes	—
47	#1869	C₂²	1	8	yes	—
48	#1852	C₂²	1	8	yes	—
49	#1834	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	#1831	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	#1803	C₂²	1	4	yes	—
52	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
56	#554	—	2	16	no	—
57	#554	—	4	8	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#125	—	2	4	no	—
62	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
63	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
64	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
72	#500	D₄	1	8	yes	complemented
73	#484	—	2	32	no	—
74	#477	—	2	16	no	—
75	#467	—	2	16	no	—
76	C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
77	C₄×Q₁₆	—	4	4	no	—
78	C₈×D₄	—	2	8	no	—
79	C₂×#107	—	2	16	no	—
80	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
86	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
88	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	#399	—	2	8	no	—
94	#398	—	2	8	no	—
95	#396	—	2	8	no	—
96	#396	—	2	8	no	—
97	#391	—	2	2	no	—
98	#391	C₂³	1	4	yes	—
99	#390	—	2	4	no	—
100	#390	—	2	4	no	—
101	#390	D₄	1	2	yes	—
102	#390	D₄	1	4	yes	—
103	#389	—	2	4	no	—
104	#389	—	2	4	no	—
105	#389	—	2	2	no	—
106	#389	—	2	2	no	—
107	#389	—	2	2	no	—
108	#389	C₂³	1	4	yes	—
109	#386	—	2	8	no	—
110	#385	—	2	8	no	—
111	#384	—	2	4	no	—
112	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
113	#384	C₂³	1	2	yes	—
114	#384	C₂³	1	2	yes	—
115	#380	—	2	8	no	—
116	#380	C₂³	1	8	yes	—
117	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
119	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
121	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	#340	C₂³	1	8	yes	—
123	#340	C₂³	1	4	yes	—
124	#340	C₂³	1	8	yes	—
125	#336	C₂³	1	4	yes	—
126	#336	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
129	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
131	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
133	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
134	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
135	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
136	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
138	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
139	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
144	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
145	#127	Q₁₆	1	8	yes	complemented
146	#125	—	4	16	no	—
147	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
148	C₂²⋊Q₈	—	4	32	no	—
149	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
150	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
152	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
153	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
154	C₄×Q₈	—	8	4	no	—
155	C₄×D₄	—	2	4	no	—
156	C₄×D₄	—	2	4	no	—
157	C₄×D₄	—	4	8	no	—
158	C₄×D₄	—	4	16	no	—
159	C₄×D₄	—	8	8	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
184	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
191	#107	—	2	4	no	—
192	#107	—	2	16	no	—
193	#107	—	4	2	no	—
194	#107	C₂×D₄	1	16	yes	—
195	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
196	#103	—	2	8	no	—
197	#103	—	2	16	no	—
198	#103	—	4	8	no	—
199	#103	—	4	4	no	—
200	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
201	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
202	C₄×C₈	—	2	2	no	—
203	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
204	#95	—	2	4	no	—
205	#95	—	2	4	no	—
206	#95	—	2	4	no	—
207	#95	—	2	4	no	—
208	#95	—	2	8	no	—
209	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
210	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
217	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
219	C₂×D₄	—	2	4	no	—
220	C₂×D₄	—	2	4	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	—	4	4	no	—
223	C₂×D₄	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
224	C₂×D₄	C₂×Q₁₆	1	16	yes	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
234	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
242	Q₁₆	—	4	8	no	—
243	Q₁₆	—	4	8	no	—
244	C₂×C₈	—	2	4	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	8	no	—
249	C₂×C₈	—	4	16	no	—
250	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
251	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
269	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
275	C₄²	—	2	2	no	—
276	C₄²	—	2	4	no	—
277	C₄²	—	4	2	no	—
278	C₄²	—	4	8	no	—
279	C₄²	—	4	8	no	—
280	C₄²	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
281	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
282	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
283	C₂³	—	2	8	no	—
284	C₂³	—	2	4	no	—
285	C₂³	—	2	8	no	—
286	C₂³	—	2	4	no	—
287	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	8	yes	—
288	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
289	Q₈	—	4	4	no	—
290	Q₈	—	4	4	no	—
291	Q₈	—	4	4	no	—
292	Q₈	—	4	4	no	—
293	Q₈	—	8	8	no	—
294	D₄	—	2	16	no	—
295	D₄	—	4	16	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	8	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	16	16	no	—
320	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#585	1	4	yes	—
328	C₈	—	2	4	no	—
329	C₈	—	4	4	no	—
330	C₈	—	4	2	no	—
331	C₂²	—	2	16	no	—
332	C₂²	—	2	8	no	—
333	C₂²	—	4	4	no	—
334	C₂²	—	4	8	no	—
335	C₂²	—	4	4	no	—
336	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#3485	1	2	yes	—
338	C₂²	C₂³×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	#3585	1	2	yes	—
341	C₄	—	2	4	no	—
342	C₄	—	2	2	no	—
343	C₄	—	4	4	no	—
344	C₄	—	4	2	no	—
345	C₄	—	4	8	no	—
346	C₄	—	8	4	no	—
347	C₄	—	8	4	no	—
348	C₄	—	8	4	no	—
349	C₄	D₄×Q₁₆	1	4	yes	—
350	C₄	#3487	1	2	yes	—
351	C₄	#3539	1	2	yes	—
352	C₂	—	4	8	no	—
353	C₂	#45387	1	1	yes	characteristic
354	C₂	C₂×D₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#61079	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#61698	1	2	yes	—
357	C₂	#61810	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#127	D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#127 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3338	C₂	semidirect
3. #30707	C₂	semidirect
4. #28206	C₂	semidirect
5. #28142	C₂	semidirect
6. #26132	C₂	semidirect
7. #24122	C₂	semidirect
8. #23801	C₂	semidirect
10. #22248	C₂	semidirect
72. #500	D₄	semidirect
145. #127	Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3338	2
#59823	2
#30707	2
#28206	2
#28142	2
#26132	2
#24122	2
#23801	2
#22260	2
#22248	2