Subgroups — #7196664

Order 512.

1984 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 387 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3341	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#59822	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#30714	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#28202	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28140	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#26137	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#24117	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#23798	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#22260	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#22248	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#555	C₂²	1	4	yes	—
12	#3341	—	2	16	no	—
13	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#482	C₂²	1	8	yes	—
15	C₂×#476	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#466	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	—
21	#2733	—	2	4	no	—
22	#2548	—	2	4	no	—
23	#2541	—	2	2	no	—
24	#2541	C₂²	1	4	yes	—
25	#2537	C₂²	1	4	yes	—
26	#2414	—	2	4	no	—
27	#2414	C₂²	1	8	yes	—
28	#2354	—	2	2	no	—
29	#2354	C₂²	1	4	yes	—
30	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#2093	C₂²	1	4	yes	—
34	#2084	C₂²	1	4	yes	—
35	#2075	C₂²	1	4	yes	—
36	#2041	C₂²	1	4	yes	—
37	#2034	C₂²	1	8	yes	—
38	#2011	C₂²	1	4	yes	—
39	#1999	C₂²	1	8	yes	—
40	#1999	C₂²	1	4	yes	—
41	#1990	C₂²	1	2	yes	—
42	#1954	C₂²	1	2	yes	—
43	#1926	C₂²	1	8	yes	—
44	#1921	C₂²	1	8	yes	—
45	#1893	C₂²	1	8	yes	—
46	#1875	C₂²	1	8	yes	—
47	#1869	C₂²	1	8	yes	—
48	#1854	C₂²	1	8	yes	—
49	#1834	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	#1831	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	#1802	C₂²	1	4	yes	—
52	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
56	#555	—	2	16	no	—
57	#555	—	4	8	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#127	—	2	4	no	—
60	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#124	—	2	8	no	—
63	C₂×#121	—	2	4	no	—
64	C₂×#121	—	2	4	no	—
65	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
66	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
67	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂×#117	—	2	4	no	—
74	C₂×#117	C₂³	1	8	yes	—
75	#500	D₄	1	8	yes	complemented
76	#482	—	2	32	no	—
77	#476	—	2	16	no	—
78	#466	—	2	16	no	—
79	C₄×D₈	—	2	8	no	—
80	C₄×D₈	—	4	4	no	—
81	C₈×D₄	—	2	8	no	—
82	#427	—	2	16	no	—
83	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
90	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	#394	—	2	8	no	—
97	#394	—	2	8	no	—
98	#392	—	2	8	no	—
99	#392	—	2	8	no	—
100	#391	—	2	2	no	—
101	#390	—	2	4	no	—
102	#390	—	2	4	no	—
103	#390	—	2	8	no	—
104	#390	—	2	2	no	—
105	#390	—	2	2	no	—
106	#390	D₄	1	2	yes	—
107	#390	D₄	1	4	yes	—
108	#390	C₂³	1	4	yes	—
109	#389	—	2	2	no	—
110	#389	C₂³	1	4	yes	—
111	#388	—	2	8	no	—
112	#388	—	2	8	no	—
113	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
114	#384	C₂³	1	2	yes	—
115	#384	C₂³	1	2	yes	—
116	#380	—	2	4	no	—
117	#380	C₂³	1	8	yes	—
118	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
121	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	#340	C₂³	1	8	yes	—
123	#340	C₂³	1	4	yes	—
124	#340	C₂³	1	8	yes	—
125	#336	C₂³	1	4	yes	—
126	#336	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
135	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
136	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
137	C₂×D₈	—	2	4	no	—
138	C₂×D₈	—	4	4	no	—
139	C₂×D₈	—	4	4	no	—
140	C₂×D₈	—	4	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
142	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
143	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
147	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
148	#127	—	2	4	no	—
149	#127	—	4	4	no	—
150	#127	—	8	8	no	—
151	#124	—	4	32	no	—
152	#121	—	2	16	no	—
153	#121	—	4	8	no	—
154	#121	—	4	16	no	—
155	#121	—	4	8	no	—
156	#121	—	4	8	no	—
157	#121	—	8	8	no	—
158	C₄×Q₈	—	8	4	no	—
159	C₄×D₄	—	2	4	no	—
160	C₄×D₄	—	2	8	no	—
161	C₄×D₄	—	2	4	no	—
162	C₄×D₄	—	2	8	no	—
163	C₄×D₄	—	4	8	no	—
164	C₄×D₄	—	4	8	no	—
165	C₄×D₄	—	8	4	no	—
166	#117	—	2	16	no	—
167	#117	—	4	8	no	—
168	#117	—	4	16	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
189	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
196	#107	—	2	4	no	—
197	#107	—	4	2	no	—
198	#107	C₂×D₄	1	16	yes	—
199	#106	—	2	16	no	—
200	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
201	#102	—	2	8	no	—
202	#102	—	2	16	no	—
203	#102	—	4	8	no	—
204	#102	—	4	4	no	—
205	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
206	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
207	C₄×C₈	—	2	2	no	—
208	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
209	#95	—	2	8	no	—
210	#95	—	2	4	no	—
211	#95	—	2	4	no	—
212	C₂⁴	—	2	4	no	—
213	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
214	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
215	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	2	4	no	—
219	C₂×D₄	—	2	8	no	—
220	C₂×D₄	—	2	4	no	—
221	C₂×D₄	—	2	4	no	—
222	C₂×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂×D₄	—	2	4	no	—
224	C₂×D₄	—	2	4	no	—
225	C₂×D₄	—	2	4	no	—
226	C₂×D₄	—	2	4	no	—
227	C₂×D₄	—	4	4	no	—
228	C₂×D₄	—	4	4	no	—
229	C₂×D₄	—	4	4	no	—
230	C₂×D₄	—	4	4	no	—
231	C₂×D₄	—	4	4	no	—
232	C₂×D₄	—	4	16	no	—
233	C₂×D₄	—	4	4	no	—
234	C₂×D₄	—	8	2	no	—
235	C₂×D₄	—	8	2	no	—
236	C₂×D₄	—	8	8	no	—
237	C₂×D₄	—	8	8	no	—
238	C₂×D₄	—	8	8	no	—
239	C₂×D₄	—	8	8	no	—
240	C₂×D₄	—	8	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
257	D₈	—	4	8	no	—
258	D₈	—	4	8	no	—
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	—	2	8	no	—
264	C₂×C₈	—	4	16	no	—
265	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
266	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
278	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
288	C₄²	—	2	2	no	—
289	C₄²	—	2	4	no	—
290	C₄²	—	4	2	no	—
291	C₄²	—	4	16	no	—
292	C₄²	—	4	8	no	—
293	C₄²	#135	1	4	yes	—
294	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
295	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
296	C₂³	—	2	8	no	—
297	C₂³	—	2	4	no	—
298	C₂³	—	2	8	no	—
299	C₂³	—	2	4	no	—
300	C₂³	—	2	4	no	—
301	C₂³	—	4	4	no	—
302	C₂³	—	4	4	no	—
303	C₂³	—	4	4	no	—
304	C₂³	—	4	4	no	—
305	C₂³	—	4	4	no	—
306	C₂³	—	4	4	no	—
307	C₂³	—	4	4	no	—
308	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
309	Q₈	—	8	8	no	—
310	D₄	—	4	4	no	—
311	D₄	—	4	4	no	—
312	D₄	—	4	4	no	—
313	D₄	—	4	4	no	—
314	D₄	—	4	8	no	—
315	D₄	—	8	8	no	—
316	D₄	—	8	8	no	—
317	D₄	—	8	8	no	—
318	D₄	—	16	16	no	—
319	D₄	—	16	16	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	8	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	8	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	8	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	8	16	no	—
341	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	#585	1	4	yes	—
349	C₈	—	2	4	no	—
350	C₈	—	4	4	no	—
351	C₈	—	4	2	no	—
352	C₂²	—	4	8	no	—
353	C₂²	—	4	4	no	—
354	C₂²	—	4	8	no	—
355	C₂²	—	4	4	no	—
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	—	8	4	no	—
358	C₂²	—	8	4	no	—
359	C₂²	—	8	4	no	—
360	C₂²	—	8	4	no	—
361	C₂²	—	8	4	no	—
362	C₂²	—	8	4	no	—
363	C₂²	—	8	4	no	—
364	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	#3485	1	2	yes	—
366	C₂²	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#3585	1	2	yes	—
369	C₄	—	2	4	no	—
370	C₄	—	2	2	no	—
371	C₄	—	4	4	no	—
372	C₄	—	4	2	no	—
373	C₄	—	4	8	no	—
374	C₄	—	8	4	no	—
375	C₄	—	8	4	no	—
376	C₄	#3287	1	4	yes	—
377	C₄	#3487	1	2	yes	—
378	C₄	#3539	1	2	yes	—
379	C₂	—	8	4	no	—
380	C₂	—	16	4	no	—
381	C₂	#45387	1	1	yes	characteristic
382	C₂	C₂×#3287	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#61079	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#61700	1	2	yes	—
385	C₂	#61802	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#127 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3341	C₂	semidirect
2. #59822	C₂	semidirect
3. #30714	C₂	semidirect
4. #28202	C₂	semidirect
5. #28140	C₂	semidirect
6. #26137	C₂	semidirect
7. #24117	C₂	semidirect
8. #23798	C₂	semidirect
9. #22260	C₂	semidirect
10. #22248	C₂	semidirect
75. #500	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3341	2
#59822	2
#30714	2
#28202	2
#28140	2
#26137	2
#24117	2
#23798	2
#22260	2
#22248	2