Subgroups — #7196726

Order 512.

2380 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 406 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3391	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#59815	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#30733	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#28185	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28156	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#26158	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#24184	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#23798	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#22269	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#22238	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#550	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#547	—	2	2	no	—
13	#3391	—	2	16	no	—
14	C₂×#493	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#459	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×#459	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
22	#2682	—	2	4	no	—
23	#2541	C₂²	1	4	yes	—
24	#2538	C₂²	1	4	yes	—
25	#2537	—	2	2	no	—
26	#2445	C₂²	1	8	yes	—
27	#2416	—	2	4	no	—
28	#2407	—	2	4	no	—
29	D₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
30	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
33	#2093	C₂²	1	4	yes	—
34	#2086	C₂²	1	4	yes	—
35	#2071	C₂²	1	4	yes	—
36	#2054	C₂²	1	4	yes	—
37	#2041	C₂²	1	8	yes	—
38	#2011	C₂²	1	8	yes	—
39	#2011	C₂²	1	4	yes	—
40	#2011	C₂²	1	4	yes	—
41	#1984	C₂²	1	2	yes	—
42	#1957	C₂²	1	2	yes	—
43	#1934	C₂²	1	8	yes	—
44	#1916	C₂²	1	8	yes	—
45	#1879	C₂²	1	8	yes	—
46	#1879	C₂²	1	8	yes	—
47	#1879	C₂²	1	8	yes	—
48	#1862	C₂²	1	8	yes	—
49	#1834	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	#1831	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	#1802	C₂²	1	4	yes	—
52	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×#41	—	2	4	no	—
54	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×D₈	C₂³	1	8	yes	—
56	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
58	#550	—	2	16	no	—
59	#550	—	4	8	no	—
60	#547	—	4	16	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#127	C₂³	1	8	yes	—
63	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#123	—	2	8	no	—
66	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
67	C₂×#121	—	2	4	no	—
68	C₂×#121	—	2	8	no	—
69	C₂×#121	—	2	4	no	—
70	C₂×#121	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	—
78	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
80	#493	—	2	16	no	—
81	#493	D₄	1	8	yes	complemented
82	#459	—	2	32	no	—
83	#459	—	2	16	no	—
84	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
85	C₄×D₈	—	2	16	no	—
86	C₄×D₈	—	2	8	no	—
87	C₄×D₈	—	4	4	no	—
88	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
93	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
95	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	#396	—	2	8	no	—
101	#394	—	2	8	no	—
102	#394	—	2	8	no	—
103	#392	—	2	8	no	—
104	#391	D₄	1	2	yes	—
105	#390	—	2	2	no	—
106	#390	—	2	2	no	—
107	#390	—	2	2	no	—
108	#390	—	2	2	no	—
109	#390	C₂³	1	4	yes	—
110	#390	C₂³	1	4	yes	—
111	#390	C₂³	1	8	yes	—
112	#389	D₄	1	4	yes	—
113	#389	C₂³	1	8	yes	—
114	#386	—	2	8	no	—
115	#385	—	2	8	no	—
116	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
117	#384	C₂³	1	2	yes	—
118	#384	C₂³	1	2	yes	—
119	#380	—	2	4	no	—
120	#380	—	2	4	no	—
121	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
122	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
123	#340	C₂³	1	4	yes	—
124	#340	C₂³	1	8	yes	—
125	#336	C₂³	1	4	yes	—
126	#336	C₂³	1	4	yes	—
127	#336	C₂³	1	8	yes	—
128	C₂×#41	—	4	16	no	—
129	C₂×#41	—	4	16	no	—
130	C₂×#41	—	8	8	no	—
131	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
133	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
136	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
137	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
138	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
139	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
140	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
141	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
142	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
143	C₂×D₈	—	2	16	no	—
144	C₂×D₈	—	2	4	no	—
145	C₂×D₈	—	4	8	no	—
146	C₂×D₈	—	4	4	no	—
147	C₂×D₈	—	4	4	no	—
148	C₂×D₈	—	4	2	no	—
149	C₂×D₈	—	4	8	no	—
150	C₂×D₈	—	4	8	no	—
151	C₂×D₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
155	C₄⋊Q₈	D₈	1	8	yes	complemented
156	#127	—	2	16	no	—
157	#127	—	2	4	no	—
158	#127	—	4	4	no	—
159	#127	—	4	8	no	—
160	#127	C₂×D₄	1	8	yes	—
161	#123	—	4	32	no	—
162	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
163	#121	—	4	16	no	—
164	#121	—	4	32	no	—
165	#121	—	4	16	no	—
166	#121	—	8	8	no	—
167	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
168	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
169	C₄×D₄	—	2	16	no	—
170	C₄×D₄	—	2	8	no	—
171	C₄×D₄	—	2	8	no	—
172	C₄×D₄	—	4	8	no	—
173	C₄×D₄	—	4	8	no	—
174	C₄×D₄	—	4	8	no	—
175	C₄×D₄	—	4	8	no	—
176	C₄×D₄	—	8	4	no	—
177	C₄×D₄	—	8	4	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
186	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
187	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
189	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
204	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
205	#107	—	2	4	no	—
206	#107	—	4	2	no	—
207	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
208	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
209	#102	—	2	16	no	—
210	#102	—	2	8	no	—
211	#102	—	4	8	no	—
212	#102	—	4	8	no	—
213	#102	—	4	4	no	—
214	C₄×C₈	—	2	8	no	—
215	C₄×C₈	—	2	2	no	—
216	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
217	#95	—	2	8	no	—
218	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
219	C₂⁴	—	2	4	no	—
220	C₂⁴	—	2	4	no	—
221	#41	—	8	64	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
224	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	8	yes	—
225	C₂×D₄	—	2	8	no	—
226	C₂×D₄	—	2	8	no	—
227	C₂×D₄	—	2	4	no	—
228	C₂×D₄	—	2	4	no	—
229	C₂×D₄	—	2	4	no	—
230	C₂×D₄	—	2	8	no	—
231	C₂×D₄	—	2	8	no	—
232	C₂×D₄	—	2	4	no	—
233	C₂×D₄	—	2	4	no	—
234	C₂×D₄	—	2	4	no	—
235	C₂×D₄	—	2	4	no	—
236	C₂×D₄	—	4	16	no	—
237	C₂×D₄	—	4	4	no	—
238	C₂×D₄	—	4	4	no	—
239	C₂×D₄	—	4	4	no	—
240	C₂×D₄	—	4	16	no	—
241	C₂×D₄	—	4	4	no	—
242	C₂×D₄	—	4	4	no	—
243	C₂×D₄	—	4	16	no	—
244	C₂×D₄	—	4	4	no	—
245	C₂×D₄	—	8	2	no	—
246	C₂×D₄	—	8	2	no	—
247	C₂×D₄	—	8	2	no	—
248	C₂×D₄	—	8	2	no	—
249	C₂×D₄	—	8	8	no	—
250	C₂×D₄	—	8	8	no	—
251	C₂×D₄	—	8	8	no	—
252	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
263	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
271	D₈	—	4	16	no	—
272	D₈	—	4	8	no	—
273	D₈	—	4	8	no	—
274	D₈	—	8	16	no	—
275	C₂×C₈	—	2	4	no	—
276	C₂×C₈	—	2	4	no	—
277	C₂×C₈	—	2	2	no	—
278	C₂×C₈	—	2	4	no	—
279	C₂×C₈	—	2	8	no	—
280	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
281	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
292	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	16	yes	—
293	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
302	C₄²	—	2	2	no	—
303	C₄²	—	2	4	no	—
304	C₄²	—	2	4	no	—
305	C₄²	—	2	4	no	—
306	C₄²	—	4	2	no	—
307	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
308	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
309	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
310	C₂³	—	2	8	no	—
311	C₂³	—	4	4	no	—
312	C₂³	—	4	4	no	—
313	C₂³	—	4	4	no	—
314	C₂³	—	4	4	no	—
315	C₂³	—	4	4	no	—
316	C₂³	—	4	4	no	—
317	C₂³	—	4	4	no	—
318	C₂³	—	4	4	no	—
319	C₂³	—	4	4	no	—
320	C₂³	—	4	4	no	—
321	C₂³	—	4	4	no	—
322	C₂³	—	4	4	no	—
323	C₂³	—	4	4	no	—
324	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
325	Q₈	—	2	16	no	—
326	D₄	—	2	16	no	—
327	D₄	—	4	4	no	—
328	D₄	—	4	4	no	—
329	D₄	—	4	16	no	—
330	D₄	—	4	8	no	—
331	D₄	—	4	4	no	—
332	D₄	—	4	4	no	—
333	D₄	—	8	8	no	—
334	D₄	—	8	32	no	—
335	D₄	—	8	8	no	—
336	D₄	—	8	8	no	—
337	D₄	—	16	16	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	8	no	—
345	C₂×C₄	—	2	4	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	8	32	no	—
355	C₂×C₄	—	8	16	no	—
356	C₂×C₄	—	8	16	no	—
357	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
360	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	8	yes	—
361	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	#585	1	4	yes	—
366	C₈	—	2	4	no	—
367	C₈	—	4	4	no	—
368	C₈	—	4	2	no	—
369	C₂²	—	4	8	no	—
370	C₂²	—	4	8	no	—
371	C₂²	—	4	8	no	—
372	C₂²	—	8	4	no	—
373	C₂²	—	8	4	no	—
374	C₂²	—	8	4	no	—
375	C₂²	—	8	4	no	—
376	C₂²	—	8	4	no	—
377	C₂²	—	8	4	no	—
378	C₂²	—	8	4	no	—
379	C₂²	—	8	4	no	—
380	C₂²	—	8	4	no	—
381	C₂²	—	8	4	no	—
382	C₂²	—	8	4	no	—
383	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	#3487	1	2	yes	—
385	C₂²	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	#3585	1	2	yes	—
388	C₄	—	2	8	no	—
389	C₄	—	2	2	no	—
390	C₄	—	2	4	no	—
391	C₄	—	4	4	no	—
392	C₄	—	4	2	no	—
393	C₄	—	8	4	no	—
394	C₄	—	8	4	no	—
395	C₄	D₄×D₈	1	4	yes	—
396	C₄	#3485	1	2	yes	—
397	C₄	#3539	1	2	yes	—
398	C₂	—	8	8	no	—
399	C₂	—	16	4	no	—
400	C₂	#45387	1	1	yes	characteristic
401	C₂	C₂×D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
402	C₂	#61079	1	1	yes	characteristic
403	C₂	#61880	1	2	yes	—
404	C₂	#61910	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3391	C₂	semidirect
2. #59815	C₂	semidirect
3. #30733	C₂	semidirect
4. #28185	C₂	semidirect
5. #28156	C₂	semidirect
6. #26158	C₂	semidirect
7. #24184	C₂	semidirect
8. #23798	C₂	semidirect
9. #22269	C₂	semidirect
10. #22238	C₂	semidirect
81. #493	D₄	semidirect
155. C₄⋊Q₈	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3391	2
#59815	2
#30733	2
#28185	2
#28156	2
#26158	2
#24184	2
#23798	2
#22269	2
#22238	2