Subgroups — #7196727

Order 512.

1892 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3396	C₂	1	2	yes	maximal
2	#59827	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#30739	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#28187	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28160	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#26164	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#24190	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#23801	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#22269	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#22238	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#559	C₂²	1	4	yes	—
12	#3396	—	2	16	no	—
13	C₂×#495	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#460	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#463	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	—
21	#2724	—	2	4	no	—
22	#2582	C₂²	1	4	yes	—
23	#2547	—	2	2	no	—
24	#2547	C₂²	1	4	yes	—
25	#2486	—	2	4	no	—
26	#2447	—	2	4	no	—
27	#2447	C₂²	1	8	yes	—
28	D₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
29	D₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
30	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
33	#2095	C₂²	1	4	yes	—
34	#2087	C₂²	1	4	yes	—
35	#2071	C₂²	1	4	yes	—
36	#2056	C₂²	1	4	yes	—
37	#2042	C₂²	1	8	yes	—
38	#2016	C₂²	1	4	yes	—
39	#2015	C₂²	1	8	yes	—
40	#2013	C₂²	1	4	yes	—
41	#1984	C₂²	1	2	yes	—
42	#1957	C₂²	1	2	yes	—
43	#1933	C₂²	1	8	yes	—
44	#1916	C₂²	1	8	yes	—
45	#1879	C₂²	1	8	yes	—
46	#1877	C₂²	1	8	yes	—
47	#1877	C₂²	1	8	yes	—
48	#1862	C₂²	1	8	yes	—
49	#1834	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	#1831	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	#1803	C₂²	1	4	yes	—
52	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
56	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
57	#559	—	2	16	no	—
58	#559	—	4	8	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#124	—	2	4	no	—
63	C₂×#124	C₂³	1	8	yes	—
64	C₂×#123	—	2	8	no	—
65	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	—
71	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
73	#495	—	2	16	no	—
74	#493	D₄	1	8	yes	—
75	#463	—	2	32	no	—
76	#460	—	2	16	no	—
77	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
78	C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
79	C₄×Q₁₆	—	4	4	no	—
80	C₄×D₈	—	2	16	no	—
81	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	#398	—	2	8	no	—
94	#397	—	2	8	no	—
95	#397	—	2	8	no	—
96	#397	—	2	8	no	—
97	#391	—	2	4	no	—
98	#391	D₄	1	2	yes	—
99	#391	C₂³	1	4	yes	—
100	#391	C₂³	1	8	yes	—
101	#390	—	2	2	no	—
102	#390	—	2	2	no	—
103	#390	C₂³	1	4	yes	—
104	#389	—	2	4	no	—
105	#389	—	2	2	no	—
106	#389	—	2	2	no	—
107	#389	D₄	1	4	yes	—
108	#389	C₂³	1	8	yes	—
109	#385	—	2	8	no	—
110	#385	—	2	8	no	—
111	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
112	#384	C₂³	1	2	yes	—
113	#384	C₂³	1	2	yes	—
114	#381	—	2	8	no	—
115	#380	—	2	4	no	—
116	#380	—	2	4	no	—
117	#380	—	2	4	no	—
118	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
119	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
121	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	#340	C₂³	1	4	yes	—
123	#340	C₂³	1	8	yes	—
124	#336	C₂³	1	4	yes	—
125	#336	C₂³	1	4	yes	—
126	#336	C₂³	1	8	yes	—
127	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
129	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
132	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
133	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
134	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
136	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
137	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
138	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
139	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
140	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
141	C₂×D₈	—	4	8	no	—
142	C₂×D₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
148	#127	—	2	4	no	—
149	#127	C₂×D₄	1	8	yes	—
150	#124	—	2	16	no	—
151	#124	—	4	8	no	—
152	#124	—	4	16	no	—
153	#123	—	4	32	no	—
154	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
155	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
156	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
158	C₄×D₄	—	2	16	no	—
159	C₄×D₄	—	4	8	no	—
160	C₄×D₄	—	4	8	no	—
161	C₄×D₄	—	4	16	no	—
162	C₄×D₄	—	4	8	no	—
163	C₄×D₄	—	8	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
192	#107	—	2	4	no	—
193	#107	—	4	2	no	—
194	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
195	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
196	#103	—	2	8	no	—
197	#103	—	4	8	no	—
198	#103	—	4	4	no	—
199	#102	—	2	16	no	—
200	#102	—	4	8	no	—
201	C₄×C₈	—	2	8	no	—
202	C₄×C₈	—	2	2	no	—
203	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
204	#95	—	2	4	no	—
205	#95	—	2	4	no	—
206	#95	—	2	8	no	—
207	#95	—	2	8	no	—
208	#95	—	2	8	no	—
209	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
210	C₂⁴	—	2	4	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
220	C₂×D₄	—	2	8	no	—
221	C₂×D₄	—	2	8	no	—
222	C₂×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂×D₄	—	2	8	no	—
224	C₂×D₄	—	2	8	no	—
225	C₂×D₄	—	4	4	no	—
226	C₂×D₄	—	4	4	no	—
227	C₂×D₄	—	8	2	no	—
228	C₂×D₄	—	8	2	no	—
229	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
238	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
246	Q₁₆	—	4	8	no	—
247	Q₁₆	—	4	8	no	—
248	SD₁₆	—	8	16	no	—
249	D₈	—	4	16	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	2	8	no	—
255	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
256	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
270	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
277	C₄²	—	2	2	no	—
278	C₄²	—	2	4	no	—
279	C₄²	—	2	4	no	—
280	C₄²	—	2	4	no	—
281	C₄²	—	4	2	no	—
282	C₄²	—	4	8	no	—
283	C₄²	#135	1	4	yes	—
284	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
285	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
286	C₂³	—	2	8	no	—
287	C₂³	—	4	4	no	—
288	C₂³	—	4	4	no	—
289	C₂³	—	4	4	no	—
290	C₂³	—	4	4	no	—
291	C₂³	—	4	4	no	—
292	C₂³	—	4	4	no	—
293	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
294	Q₈	—	4	8	no	—
295	Q₈	—	4	4	no	—
296	Q₈	—	4	4	no	—
297	Q₈	—	4	4	no	—
298	Q₈	—	4	4	no	—
299	D₄	—	2	16	no	—
300	D₄	—	4	16	no	—
301	D₄	—	4	8	no	—
302	D₄	—	8	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	8	16	no	—
324	C₂×C₄	—	16	16	no	—
325	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#585	1	4	yes	—
333	C₈	—	2	4	no	—
334	C₈	—	4	4	no	—
335	C₈	—	4	2	no	—
336	C₂²	—	4	8	no	—
337	C₂²	—	4	8	no	—
338	C₂²	—	4	8	no	—
339	C₂²	—	8	4	no	—
340	C₂²	—	8	4	no	—
341	C₂²	—	8	4	no	—
342	C₂²	—	8	4	no	—
343	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	#3487	1	2	yes	—
345	C₂²	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#3585	1	2	yes	—
348	C₄	—	2	2	no	—
349	C₄	—	2	4	no	—
350	C₄	—	4	4	no	—
351	C₄	—	4	4	no	—
352	C₄	—	4	2	no	—
353	C₄	—	8	4	no	—
354	C₄	—	8	4	no	—
355	C₄	—	8	4	no	—
356	C₄	#3283	1	4	yes	—
357	C₄	#3485	1	2	yes	—
358	C₄	#3539	1	2	yes	—
359	C₂	—	8	8	no	—
360	C₂	#45387	1	1	yes	characteristic
361	C₂	C₂×#3283	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#61079	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#61885	1	2	yes	—
364	C₂	#61917	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#493	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #59827	C₂	semidirect
3. #30739	C₂	semidirect
4. #28187	C₂	semidirect
5. #28160	C₂	semidirect
6. #26164	C₂	semidirect
7. #24190	C₂	semidirect
8. #23801	C₂	semidirect
10. #22238	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3396	2
#59827	2
#30739	2
#28187	2
#28160	2
#26164	2
#24190	2
#23801	2
#22269	2
#22238	2