Subgroups — #7196832

Order 512.

1748 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#61414	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#61293	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#30765	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#28220	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28177	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#26191	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#24176	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#23802	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#22283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#22259	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3506	C₂²	1	4	yes	—
12	#3401	—	2	8	no	—
13	#3399	—	2	8	no	—
14	#3347	—	2	8	no	—
15	#3345	—	2	8	no	—
16	#3162	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#3155	C₂²	1	4	yes	—
18	#3150	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#3096	C₂²	1	8	yes	—
20	#3077	C₂²	1	4	yes	—
21	#3058	C₂²	1	4	yes	—
22	#3045	C₂²	1	8	yes	—
23	#3036	C₂²	1	4	yes	—
24	#2961	C₂²	1	2	yes	—
25	#2952	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#442	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#442	C₂²	1	2	yes	—
28	#2932	C₂²	1	2	yes	—
29	#2912	C₂²	1	4	yes	—
30	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
31	#2094	C₂²	1	4	yes	—
32	#2090	C₂²	1	4	yes	—
33	#2079	C₂²	1	4	yes	—
34	#2045	C₂²	1	4	yes	—
35	#2037	C₂²	1	8	yes	—
36	#2018	C₂²	1	4	yes	—
37	#2011	C₂²	1	4	yes	—
38	#2002	C₂²	1	8	yes	—
39	#1994	C₂²	1	2	yes	—
40	#1962	C₂²	1	2	yes	—
41	#1931	C₂²	1	8	yes	—
42	#1922	C₂²	1	8	yes	—
43	#1907	C₂²	1	8	yes	—
44	#1883	C₂²	1	8	yes	—
45	#1876	C₂²	1	8	yes	—
46	#1859	C₂²	1	8	yes	—
47	#1838	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#1838	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#1800	C₂²	1	4	yes	—
50	#1745	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂³	1	8	yes	—
52	C₂×#135	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#131	C₂³	1	4	yes	—
56	#559	—	2	8	no	—
57	#556	—	2	4	no	—
58	#555	—	2	4	no	—
59	#553	—	2	8	no	—
60	#550	—	2	4	no	—
61	#547	—	2	4	no	—
62	#538	—	4	4	no	—
63	#535	C₂³	1	8	yes	—
64	#533	C₂³	1	2	yes	—
65	#532	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
67	#525	—	4	4	no	—
68	#520	C₂³	1	8	yes	—
69	C₂×C₄×D₄	—	4	2	no	—
70	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
71	#501	D₄	1	8	yes	complemented
72	#497	D₄	1	4	yes	complemented
73	#496	—	2	8	no	—
74	#496	D₄	1	4	yes	complemented
75	#495	—	2	4	no	—
76	#493	—	2	4	no	—
77	#482	—	2	8	no	—
78	#482	—	2	8	no	—
79	#481	—	2	8	no	—
80	#480	—	2	8	no	—
81	#478	—	2	8	no	—
82	#476	—	2	4	no	—
83	#474	—	2	4	no	—
84	#469	—	2	4	no	—
85	#469	—	2	4	no	—
86	#466	—	2	8	no	—
87	#464	—	2	8	no	—
88	#463	—	2	8	no	—
89	#463	—	2	8	no	—
90	#461	—	2	4	no	—
91	#460	—	2	8	no	—
92	#459	—	2	8	no	—
93	#459	—	2	4	no	—
94	#446	—	2	8	no	—
95	#442	—	2	4	no	—
96	#442	—	2	8	no	—
97	#442	—	2	8	no	—
98	#441	—	2	4	no	—
99	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
100	#435	—	2	8	no	—
101	#428	—	2	8	no	—
102	#428	C₂³	1	8	yes	—
103	#427	—	2	4	no	—
104	#427	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×#106	—	2	4	no	—
106	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
108	#424	C₂³	1	4	yes	—
109	#423	C₂³	1	2	yes	—
110	#423	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×#104	C₂³	1	8	yes	—
112	#418	C₂³	1	8	yes	—
113	#417	C₂³	1	8	yes	—
114	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×#100	C₂³	1	8	yes	—
117	#408	C₂³	1	4	yes	—
118	#405	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	#390	—	4	2	no	—
122	#390	C₂³	1	4	yes	—
123	#384	C₂³	1	2	yes	—
124	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
125	#343	C₂³	1	8	yes	—
126	#341	C₂³	1	4	yes	—
127	#341	C₂³	1	4	yes	—
128	#339	C₂³	1	8	yes	—
129	#336	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×#41	—	4	4	no	—
131	C₂×#41	C₂⁴	1	4	yes	—
132	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
133	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
134	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
135	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
136	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
137	#135	—	4	8	no	—
138	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
140	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
141	C₂×D₈	—	2	8	no	—
142	C₂×D₈	—	2	4	no	—
143	C₂×D₈	—	2	4	no	—
144	C₂×D₈	—	4	4	no	—
145	C₂×D₈	—	4	4	no	—
146	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	#131	—	4	8	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
149	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
150	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
151	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
154	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	#127	—	2	8	no	—
157	#127	—	4	4	no	—
158	#127	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	#126	—	4	8	no	—
160	#125	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	#124	—	2	8	no	—
162	#124	—	4	8	no	—
163	#124	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	#123	—	4	8	no	—
165	#123	—	4	8	no	—
166	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
167	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
168	#121	—	2	4	no	—
169	#121	—	2	8	no	—
170	#121	—	2	8	no	—
171	#121	—	4	4	no	—
172	#121	—	4	8	no	—
173	#120	—	4	8	no	—
174	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
175	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
176	C₄×D₄	—	2	8	no	—
177	C₄×D₄	—	2	4	no	—
178	C₄×D₄	—	2	4	no	—
179	C₄×D₄	—	2	4	no	—
180	C₄×D₄	—	2	4	no	—
181	C₄×D₄	—	2	4	no	—
182	C₄×D₄	—	4	8	no	—
183	C₄×D₄	—	4	8	no	—
184	C₄×D₄	—	8	8	no	—
185	#117	—	2	8	no	—
186	#117	—	4	4	no	—
187	#117	C₂⁴	1	4	yes	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
196	#107	—	2	8	no	—
197	#107	C₂×D₄	1	8	yes	—
198	#106	—	2	4	no	—
199	#106	—	2	4	no	—
200	#106	—	2	8	no	—
201	#106	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	#106	C₂×D₄	1	4	yes	—
203	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
204	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
205	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
206	#104	—	4	8	no	—
207	#103	—	2	8	no	—
208	#102	—	2	8	no	—
209	#102	—	2	8	no	—
210	#102	—	2	8	no	—
211	#102	—	2	8	no	—
212	#102	—	2	8	no	—
213	#100	—	4	8	no	—
214	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
215	#97	—	2	4	no	—
216	#97	C₂×D₄	1	4	yes	—
217	#97	C₂×D₄	1	4	yes	—
218	C₄×C₈	—	2	4	no	—
219	C₂⁴	—	2	4	no	—
220	#41	—	2	8	no	—
221	#41	—	2	8	no	—
222	#41	—	16	8	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
224	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
225	C₂×D₄	—	2	4	no	—
226	C₂×D₄	—	2	4	no	—
227	C₂×D₄	—	2	4	no	—
228	C₂×D₄	—	2	4	no	—
229	C₂×D₄	—	2	4	no	—
230	C₂×D₄	—	2	4	no	—
231	C₂×D₄	—	2	4	no	—
232	C₂×D₄	—	2	4	no	—
233	C₂×D₄	—	4	8	no	—
234	C₂×D₄	—	4	8	no	—
235	C₂×D₄	—	4	8	no	—
236	C₂×D₄	—	8	4	no	—
237	C₂×D₄	—	8	4	no	—
238	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
246	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
248	Q₁₆	—	4	4	no	—
249	SD₁₆	—	4	8	no	—
250	SD₁₆	—	8	8	no	—
251	D₈	—	4	4	no	—
252	D₈	—	4	8	no	—
253	D₈	—	4	8	no	—
254	D₈	—	8	8	no	—
255	M₁₆	—	2	8	no	—
256	M₁₆	—	2	8	no	—
257	M₁₆	—	4	8	no	—
258	C₂×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	2	4	no	—
262	C₂×C₈	—	4	8	no	—
263	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
264	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
265	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
271	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
272	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
281	C₄²	—	2	4	no	—
282	C₄²	—	2	4	no	—
283	C₄²	—	4	8	no	—
284	C₄²	—	4	4	no	—
285	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
286	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
287	C₂³	—	2	4	no	—
288	C₂³	—	4	4	no	—
289	C₂³	—	4	4	no	—
290	C₂³	—	4	4	no	—
291	C₂³	—	8	4	no	—
292	C₂³	—	8	4	no	—
293	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
294	Q₈	—	2	8	no	—
295	Q₈	—	8	4	no	—
296	D₄	—	2	8	no	—
297	D₄	—	4	8	no	—
298	D₄	—	4	4	no	—
299	D₄	—	4	4	no	—
300	D₄	—	4	4	no	—
301	D₄	—	4	4	no	—
302	D₄	—	8	4	no	—
303	D₄	—	8	16	no	—
304	D₄	—	16	8	no	—
305	D₄	—	16	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	8	8	no	—
316	C₂×C₄	—	8	4	no	—
317	C₂×C₄	—	16	4	no	—
318	C₂×C₄	—	16	8	no	—
319	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	#585	1	4	yes	—
323	C₈	—	2	4	no	—
324	C₈	—	2	4	no	—
325	C₈	—	4	4	no	—
326	C₈	—	4	4	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	4	4	no	—
329	C₂²	—	4	8	no	—
330	C₂²	—	8	8	no	—
331	C₂²	—	8	4	no	—
332	C₂²	—	8	4	no	—
333	C₂²	—	8	4	no	—
334	C₂²	—	16	4	no	—
335	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#3539	1	2	yes	—
337	C₄	—	2	4	no	—
338	C₄	—	4	4	no	—
339	C₄	—	4	4	no	—
340	C₄	—	4	8	no	—
341	C₄	—	8	4	no	—
342	C₄	#3485	1	2	yes	—
343	C₄	#3487	1	2	yes	—
344	C₂	—	2	2	no	—
345	C₂	—	8	4	no	—
346	C₂	—	16	4	no	—
347	C₂	#45387	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#61110	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #61414	C₂	semidirect
2. #61293	C₂	semidirect
3. #30765	C₂	semidirect
4. #28220	C₂	semidirect
5. #28177	C₂	semidirect
6. #26191	C₂	semidirect
7. #24176	C₂	semidirect
8. #23802	C₂	semidirect
9. #22283	C₂	semidirect
10. #22259	C₂	semidirect
71. #501	D₄	semidirect
72. #497	D₄	semidirect
74. #496	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#61414	2
#61293	2
#30765	2
#28220	2
#28177	2
#26191	2
#24176	2
#23802	2
#22283	2
#22259	2