Subgroups — #7208456

Order 512.

1960 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 302 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#45479	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#32930	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#32706	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#32110	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	#31260	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#28704	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#27791	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
8	#24267	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	C₈×#120	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
11	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
12	C₂×H(3,𝔽₄)	—	2	2	no	—
13	C₂×#500	C₂²	1	3	yes	complemented
14	C₂×#466	C₂²	1	6	yes	—
15	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	3	yes	—
16	#2847	C₂²	1	4	yes	complemented
17	#2812	—	2	2	no	—
18	#2712	—	2	6	no	—
19	#2684	—	2	6	no	—
20	#2547	C₂²	1	6	yes	—
21	#2491	C₂²	1	12	yes	complemented
22	#2408	C₂²	1	6	yes	—
23	C₄×#120	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2075	C₂²	1	6	yes	complemented
25	#2075	C₂²	1	6	yes	complemented
26	#2054	C₂²	1	6	yes	complemented
27	#2033	C₂²	1	12	yes	complemented
28	#2023	C₂²	1	12	yes	complemented
29	#1999	C₂²	1	6	yes	—
30	#1988	C₂²	1	6	yes	complemented
31	#1970	C₂²	1	6	yes	complemented
32	#1925	C₂²	1	12	yes	complemented
33	#1893	C₂²	1	12	yes	complemented
34	#1869	C₂²	1	3	yes	—
35	#1850	C₂²	1	3	yes	complemented
36	#1808	C₂²	1	3	yes	complemented
37	#1808	C₂²	1	6	yes	complemented
38	#1786	C₂²	1	6	yes	complemented
39	#1779	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
40	C₄×#107	C₂²	1	3	yes	complemented
41	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	complemented
42	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×D₈	—	4	6	no	—
45	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×C₈	—	4	6	no	—
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₈	C₂³	1	3	yes	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	3	yes	—
51	H(3,𝔽₄)	—	4	16	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
53	C₂×#124	—	2	6	no	—
54	C₂×#124	—	2	12	no	—
55	C₂×#121	C₂³	1	12	yes	—
56	C₂×#120	—	2	4	no	—
57	C₂×#120	—	2	6	no	—
58	C₂×#120	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
60	#500	—	4	6	no	—
61	#466	—	4	12	no	—
62	C₈×D₄	—	4	6	no	—
63	C₂×#107	C₂³	1	6	yes	—
64	C₂×#107	C₂³	1	6	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
66	C₂×#102	C₂³	1	12	yes	—
67	C₂×#102	C₂³	1	12	yes	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
72	#397	—	2	6	no	—
73	#397	—	2	6	no	—
74	#394	—	2	6	no	—
75	#394	—	2	12	no	—
76	#393	—	2	12	no	—
77	#392	—	2	6	no	—
78	#391	—	2	6	no	—
79	#390	C₂³	1	12	yes	—
80	#388	—	2	12	no	—
81	#386	—	2	12	no	—
82	#386	D₄	1	3	yes	—
83	#385	D₄	1	3	yes	—
84	#380	C₂³	1	6	yes	—
85	#380	C₂³	1	12	yes	—
86	#379	—	2	6	no	—
87	#379	D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
89	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
90	#340	C₂³	1	6	yes	—
91	#340	C₂³	1	12	yes	—
92	#340	C₂³	1	6	yes	—
93	#336	C₂³	1	6	yes	—
94	C₂⁵	—	2	2	no	—
95	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
100	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
101	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
102	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
103	C₂³×C₄	—	4	3	no	—
104	C₂³×C₄	—	4	3	no	—
105	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
108	C₂×D₈	—	2	12	no	—
109	C₂×D₈	—	4	6	no	—
110	C₂×D₈	—	4	16	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
114	C₂²×C₈	—	4	6	no	—
115	C₂²×C₈	—	4	3	no	—
116	C₂²×C₈	—	4	16	no	—
117	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	C₄⋊Q₈	—	4	6	no	—
122	C₄⋊Q₈	—	4	6	no	—
123	#124	—	4	24	no	—
124	#124	—	4	48	no	—
125	#121	—	4	12	no	—
126	#121	—	4	12	no	—
127	#120	—	4	16	no	—
128	#120	—	4	24	no	—
129	#120	D₈	1	8	yes	complemented
130	C₄×D₄	—	4	3	no	—
131	C₄×D₄	—	4	3	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
144	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
145	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
146	#107	—	2	12	no	—
147	#107	—	4	6	no	—
148	C₄⋊C₈	—	4	3	no	—
149	#102	—	4	12	no	—
150	#102	—	4	12	no	—
151	C₂²⋊C₈	—	4	3	no	—
152	C₂²⋊C₈	—	4	3	no	—
153	C₂²⋊C₈	—	4	3	no	—
154	C₄×C₈	—	2	6	no	—
155	#95	—	2	6	no	—
156	#95	—	2	12	no	—
157	#95	—	2	6	no	—
158	#95	C₂×D₄	1	6	yes	—
159	C₂⁴	—	2	4	no	—
160	C₂⁴	—	4	3	no	—
161	C₂⁴	—	4	3	no	—
162	C₂⁴	—	4	4	no	—
163	C₂⁴	—	8	6	no	—
164	C₂⁴	—	8	6	no	—
165	C₂⁴	C₂×D₈	1	4	yes	complemented
166	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂⁴	C₂²×D₄	1	3	yes	—
168	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
169	C₂×Q₈	—	8	6	no	—
170	C₂×Q₈	—	8	6	no	—
171	C₂×D₄	—	2	12	no	—
172	C₂×D₄	—	2	12	no	—
173	C₂×D₄	—	4	3	no	—
174	C₂×D₄	—	4	3	no	—
175	C₂×D₄	—	4	8	no	—
176	C₂×D₄	—	4	24	no	—
177	C₂×D₄	—	8	6	no	—
178	C₂×D₄	—	8	12	no	—
179	C₂×D₄	—	8	12	no	—
180	C₂×D₄	—	8	12	no	—
181	C₂×D₄	C₂×D₈	1	12	yes	—
182	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
193	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
198	D₈	—	4	8	no	—
199	D₈	—	4	8	no	—
200	C₂×C₈	—	2	3	no	—
201	C₂×C₈	—	2	3	no	—
202	C₂×C₈	—	2	3	no	—
203	C₂×C₈	—	2	6	no	—
204	C₂×C₈	—	2	6	no	—
205	C₂×C₈	—	4	12	no	—
206	C₂×C₈	—	4	12	no	—
207	C₂×C₈	—	4	4	no	—
208	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
209	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
211	C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
212	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	4	3	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	4	3	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	4	3	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	8	12	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	8	12	no	—
221	C₂²⋊C₄	C₂×D₈	1	12	yes	complemented
222	C₄²	—	2	3	no	—
223	C₄²	—	2	3	no	—
224	C₄²	—	4	12	no	—
225	C₂³	—	2	3	no	—
226	C₂³	—	2	3	no	—
227	C₂³	—	2	6	no	—
228	C₂³	—	2	3	no	—
229	C₂³	—	2	3	no	—
230	C₂³	—	2	6	no	—
231	C₂³	—	4	12	no	—
232	C₂³	—	4	4	no	—
233	C₂³	—	4	12	no	—
234	C₂³	—	4	12	no	—
235	C₂³	—	4	12	no	—
236	C₂³	—	4	4	no	—
237	C₂³	—	8	8	no	—
238	C₂³	—	16	12	no	—
239	C₂³	—	16	12	no	—
240	C₂³	C₂²×D₈	1	2	yes	—
241	C₂³	C₂²×D₈	1	6	yes	—
242	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
243	Q₈	—	16	12	no	—
244	D₄	—	4	12	no	—
245	D₄	—	4	4	no	—
246	D₄	—	4	12	no	—
247	D₄	—	8	8	no	—
248	D₄	—	16	24	no	—
249	C₂×C₄	—	2	3	no	—
250	C₂×C₄	—	2	3	no	—
251	C₂×C₄	—	2	6	no	—
252	C₂×C₄	—	2	3	no	—
253	C₂×C₄	—	2	3	no	—
254	C₂×C₄	—	2	3	no	—
255	C₂×C₄	—	2	6	no	—
256	C₂×C₄	—	4	12	no	—
257	C₂×C₄	—	4	3	no	—
258	C₂×C₄	—	4	1	no	—
259	C₂×C₄	—	4	3	no	—
260	C₂×C₄	—	4	6	no	—
261	C₂×C₄	—	4	3	no	—
262	C₂×C₄	—	4	12	no	—
263	C₂×C₄	—	4	12	no	—
264	C₂×C₄	—	4	12	no	—
265	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	6	yes	—
266	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
267	C₂×C₄	#585	1	3	yes	—
268	C₈	—	4	3	no	—
269	C₈	—	4	1	no	—
270	C₈	—	4	3	no	—
271	C₈	H(3,𝔽₄)	1	4	yes	complemented
272	C₂²	—	2	6	no	—
273	C₂²	—	2	6	no	—
274	C₂²	—	2	12	no	—
275	C₂²	—	4	16	no	—
276	C₂²	—	4	6	no	—
277	C₂²	—	4	3	no	—
278	C₂²	—	4	3	no	—
279	C₂²	—	4	3	no	—
280	C₂²	—	4	1	no	—
281	C₂²	—	8	12	no	—
282	C₂²	—	8	12	no	—
283	C₂²	—	8	4	no	—
284	C₂²	—	16	16	no	—
285	C₂²	#3496	1	3	yes	—
286	C₂²	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
287	C₂²	#3584	1	3	yes	—
288	C₄	—	2	6	no	—
289	C₄	—	4	3	no	—
290	C₄	—	4	3	no	—
291	C₄	—	4	1	no	—
292	C₄	—	8	12	no	—
293	C₄	C₂×H(3,𝔽₄)	1	1	yes	characteristic
294	C₄	#3540	1	3	yes	—
295	C₂	—	4	6	no	—
296	C₂	—	4	2	no	—
297	C₂	—	16	4	no	—
298	C₂	#45479	1	1	yes	characteristic
299	C₂	#62245	1	3	yes	—
300	C₂	#62275	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#120 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #45479	C₂	semidirect
2. #32930	C₂	semidirect
3. #32706	C₂	semidirect
4. #32110	C₂	semidirect
5. #31260	C₂	semidirect
6. #28704	C₂	semidirect
7. #27791	C₂	semidirect
8. #24267	C₂	semidirect
9. C₈×#120	C₂	semidirect
10. C₂³×D₈	C₂²	semidirect
11. C₂⁴×C₈	C₂²	semidirect
13. C₂×#500	C₂²	semidirect
16. #2847	C₂²	semidirect
21. #2491	C₂²	semidirect
24. #2075	C₂²	semidirect
25. #2075	C₂²	semidirect
26. #2054	C₂²	semidirect
27. #2033	C₂²	semidirect
28. #2023	C₂²	semidirect
30. #1988	C₂²	semidirect
31. #1970	C₂²	semidirect
32. #1925	C₂²	semidirect
33. #1893	C₂²	semidirect
35. #1850	C₂²	semidirect
36. #1808	C₂²	semidirect
37. #1808	C₂²	semidirect
38. #1786	C₂²	semidirect
39. #1779	C₂²	semidirect
40. C₄×#107	C₂²	semidirect
41. C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
129. #120	D₈	semidirect
165. C₂⁴	C₂×D₈	semidirect
221. C₂²⋊C₄	C₂×D₈	semidirect
271. C₈	H(3,𝔽₄)	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#45479	2
#32930	2
#32706	2
#32110	2
#31260	2
#28704	2
#27791	2
#24267	2
C₈×#120	2