Subgroups — S₇ #72210209

Order 5040.

96 conjugacy classes of subgroups.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	A₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	S₆	—	7	1	no	maximal, Hall
3	A₆	—	7	1	no	—
4	C₂×S₅	—	21	1	no	maximal
5	GL(3,𝔽₂)	—	30	1	no	—
6	D₃×S₄	—	35	1	no	maximal, Hall
7	C₂×A₅	—	21	1	no	—
8	S₅	—	21	1	no	—
9	S₅	—	21	1	no	—
10	S₅	—	42	1	no	—
11	D₃×A₄	—	35	1	no	—
12	C₃⋊S₄	—	35	1	no	—
13	C₃×S₄	—	35	1	no	—
14	GO⁺(4,𝔽₂)	—	70	1	no	—
15	A₅	—	21	1	no	—
16	A₅	—	42	1	no	—
17	C₂×S₄	—	105	1	no	—
18	C₂×S₄	—	105	1	no	—
19	D₃×D₄	—	105	1	no	—
20	AGL(1,𝔽₇)	—	120	1	no	maximal
21	C₂×AGL(1,𝔽₅)	—	126	1	no	—
22	C₃×A₄	—	35	1	no	—
23	D₃²	—	70	1	no	—
24	D₃²	—	70	1	no	—
25	#157	—	70	1	no	—
26	C₂²×D₃	—	35	1	no	—
27	C₂²×D₃	—	105	1	no	—
28	C₂×A₄	—	105	1	no	—
29	C₂×A₄	—	105	1	no	—
30	S₄	—	35	1	no	—
31	S₄	—	105	1	no	—
32	S₄	—	105	1	no	—
33	S₄	—	105	1	no	—
34	S₄	—	210	1	no	—
35	C₃×D₄	—	105	1	no	—
36	#67	—	105	1	no	—
37	#67	—	105	1	no	—
38	D₁₂	—	105	1	no	—
39	C₄×D₃	—	105	1	no	—
40	ΓL(1,𝔽₈)	—	120	1	no	—
41	C₂×D₅	—	126	1	no	—
42	AGL(1,𝔽₅)	—	126	1	no	—
43	AGL(1,𝔽₅)	—	126	1	no	—
44	C₃⋊D₃	—	70	1	no	—
45	C₃×D₃	—	140	1	no	—
46	C₃×D₃	—	140	1	no	—
47	C₂×D₄	—	315	1	no	Sylow
48	D₇	—	120	1	no	—
49	C₂²×C₃	—	35	1	no	—
50	C₂²×C₃	—	105	1	no	—
51	C₂×D₃	—	105	1	no	—
52	C₂×D₃	—	105	1	no	—
53	C₂×D₃	—	105	1	no	—
54	C₂×D₃	—	420	1	no	—
55	C₂×D₃	—	210	1	no	—
56	C₂×D₃	—	210	1	no	—
57	A₄	—	35	1	no	—
58	A₄	—	70	1	no	—
59	A₄	—	105	1	no	—
60	C₃×C₄	—	105	1	no	—
61	Dic₃	—	105	1	no	—
62	C₂×C₅	—	126	1	no	—
63	D₅	—	126	1	no	—
64	D₅	—	126	1	no	—
65	C₃²	—	70	1	no	Sylow
66	C₂³	—	105	1	no	—
67	C₂³	—	105	1	no	—
68	D₄	—	315	1	no	—
69	D₄	—	315	1	no	—
70	D₄	—	315	1	no	—
71	D₄	—	105	1	no	—
72	C₂×C₄	—	315	1	no	—
73	C₇	—	120	1	no	Sylow
74	C₂×C₃	—	105	1	no	—
75	C₂×C₃	—	420	1	no	—
76	C₂×C₃	—	210	1	no	—
77	D₃	—	35	1	no	—
78	D₃	—	105	1	no	—
79	D₃	—	140	1	no	—
80	D₃	—	420	1	no	—
81	D₃	—	210	1	no	—
82	C₅	—	126	1	no	Sylow
83	C₂²	—	35	1	no	—
84	C₂²	—	315	1	no	—
85	C₂²	—	315	1	no	—
86	C₂²	—	105	1	no	—
87	C₂²	—	105	1	no	—
88	C₄	—	315	1	no	—
89	C₄	—	105	1	no	—
90	C₃	—	35	1	no	—
91	C₃	—	140	1	no	—
92	C₂	—	21	1	no	—
93	C₂	—	105	1	no	—
94	C₂	—	105	1	no	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, hypercenter	C₁	G
commutator, socle, cosocle, hypocenter	A₇	C₂
LCS	G ▷ A₇
UCS	C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. A₇	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
A₇	2
S₆	7
C₂×S₅	21
D₃×S₄	35
AGL(1,𝔽₇)	120

Subgroups — S7 #72210209

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — S₇ #72210209