Subgroups — #72225224

Order 2048.

1564 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 412 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#72225222	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#72225221	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#72225220	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#72225171	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#72225128	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#72216241	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#72216178	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#496092	—	2	2	no	—
9	#491485	C₄	1	1	yes	characteristic
10	#483943	C₂²	1	4	yes	—
11	#483583	—	2	2	no	—
12	#483583	C₂²	1	4	yes	—
13	#213237	C₂²	1	2	yes	—
14	#141812	C₄	1	2	yes	—
15	#141786	C₄	1	4	yes	—
16	#140743	—	2	2	no	—
17	#140743	C₂²	1	4	yes	—
18	#140516	—	2	2	no	—
19	#135796	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#135713	C₂²	1	2	yes	—
21	#126522	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#126522	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₈×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#122966	—	2	8	no	—
25	#122963	—	2	8	no	—
26	#122921	C₂²	1	4	yes	—
27	#122480	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂×#7053	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#7053	C₂²	1	2	yes	—
30	#33733	C₂×C₄	1	4	yes	—
31	C₂×#2171	—	4	4	no	—
32	#33434	—	2	4	no	—
33	#21705	—	2	2	no	—
34	#19603	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	#17956	—	2	2	no	—
36	#17956	C₂³	1	4	yes	—
37	#13196	—	4	4	no	—
38	#13191	—	2	4	no	—
39	#12900	—	2	2	no	—
40	C₄×#346	—	2	1	no	—
41	C₄×#346	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₄×#346	D₄	1	2	yes	—
43	#12521	C₈	1	1	yes	characteristic
44	#12515	C₈	1	1	yes	characteristic
45	#12509	C₈	1	2	yes	—
46	#12503	C₈	1	4	yes	—
47	#12086	—	2	8	no	—
48	#12064	—	2	8	no	—
49	#12064	—	4	4	no	—
50	#12062	—	2	8	no	—
51	#12062	—	4	4	no	—
52	#12045	—	2	8	no	—
53	#12023	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	#11996	—	2	2	no	—
55	#11996	C₂³	1	4	yes	—
56	#11671	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	#11584	—	2	4	no	—
58	#11584	—	2	4	no	—
59	C₂×#1312	—	2	1	no	—
60	C₂×#1312	D₄	1	2	yes	—
61	C₂×#1312	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#1312	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#1312	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#1311	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₈×C₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₈×C₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	#9856	—	2	2	no	—
68	#9844	—	2	2	no	—
69	#9844	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	#8823	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₄×C₈²	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#7099	—	2	8	no	—
73	#7070	—	2	16	no	—
74	#7053	—	2	4	no	—
75	#7053	D₄	1	8	yes	—
76	C₂×#504	—	4	4	no	—
77	#3169	—	2	2	no	—
78	#3169	C₂²×C₄	1	4	yes	—
79	#3147	—	2	2	no	—
80	C₂×#443	—	4	4	no	—
81	#2931	—	2	4	no	—
82	#2252	C₂×C₈	1	4	yes	—
83	#2246	C₂×C₈	1	4	yes	—
84	#2240	C₂×C₈	1	8	yes	—
85	#2215	—	2	8	no	—
86	C₄×D₁₆	—	2	8	no	—
87	#2171	—	8	16	no	—
88	#2169	—	4	4	no	—
89	#2169	—	4	4	no	—
90	D₄×C₁₆	—	4	4	no	—
91	D₄×C₁₆	—	4	4	no	—
92	C₂×#364	—	4	4	no	—
93	#2150	—	2	4	no	—
94	C₂×#350	—	4	8	no	—
95	#2113	—	4	4	no	—
96	C₂×#346	—	2	4	no	—
97	C₂×#346	—	2	4	no	—
98	C₂×#346	—	4	2	no	—
99	C₂×C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
100	C₂×C₄×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₄×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₄×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₄×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	#1974	—	4	4	no	—
105	#1962	—	2	4	no	—
106	#1848	—	2	2	no	—
107	C₄²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₄²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₄²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
110	#1713	C₂×C₈	1	2	yes	—
111	#1712	C₂×C₈	1	2	yes	—
112	#1709	—	2	2	no	—
113	#1706	—	2	2	no	—
114	#1706	C₂×C₈	1	4	yes	—
115	#1589	—	2	8	no	—
116	#1589	—	4	4	no	—
117	C₈×D₈	—	2	8	no	—
118	C₈×D₈	—	4	4	no	—
119	#1567	—	2	2	no	—
120	#1567	C₂²×C₄	1	4	yes	—
121	#1492	—	2	4	no	—
122	#1492	—	2	4	no	—
123	C₂×C₈²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₈²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₈²	#41	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₈²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	#1372	—	2	8	no	—
128	#1367	—	2	8	no	—
129	#1367	—	4	4	no	—
130	#1331	—	2	16	no	—
131	D₄⋊C₁₆	—	4	8	no	—
132	D₄⋊C₁₆	—	4	8	no	—
133	#1312	—	2	4	no	—
134	#1312	—	2	2	no	—
135	#1312	—	2	2	no	—
136	#1312	—	4	2	no	—
137	#1312	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	#1312	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	#1311	C₂×D₄	1	4	yes	—
140	#1311	#41	1	4	yes	—
141	C₈×C₁₆	—	2	1	no	—
142	C₈×C₁₆	—	2	1	no	—
143	C₈×C₁₆	C₂×C₈	1	2	yes	—
144	C₈×C₁₆	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
145	C₈×C₁₆	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
146	C₂×#135	—	4	4	no	—
147	C₂×#131	—	4	4	no	—
148	#532	—	2	4	no	—
149	C₂×D₁₆	—	2	8	no	—
150	#504	—	8	16	no	—
151	C₂×M₃₂	—	4	4	no	—
152	C₂×M₃₂	—	8	4	no	—
153	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₁₆	—	4	2	no	—
157	C₂²×C₁₆	—	8	4	no	—
158	C₂²×C₁₆	#131	1	4	yes	—
159	#500	—	2	2	no	—
160	#500	C₂²×C₈	1	4	yes	—
161	#495	—	4	4	no	—
162	#494	—	2	2	no	—
163	#493	—	2	2	no	—
164	#493	—	2	2	no	—
165	#493	C₂²×C₈	1	4	yes	—
166	#492	—	2	4	no	—
167	#486	—	2	4	no	—
168	#486	—	2	4	no	—
169	#466	—	2	8	no	—
170	#466	—	4	4	no	—
171	#443	—	8	8	no	—
172	#443	—	8	8	no	—
173	C₄×D₈	—	2	8	no	—
174	C₄×D₈	—	4	4	no	—
175	#436	—	4	4	no	—
176	#436	—	4	4	no	—
177	C₈×D₄	—	4	4	no	—
178	C₈×D₄	—	4	4	no	—
179	C₂×#108	—	4	4	no	—
180	#423	—	2	4	no	—
181	C₂×#104	—	4	8	no	—
182	#408	—	4	4	no	—
183	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
189	C₂×C₄×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
192	C₄³	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
193	#366	—	2	8	no	—
194	#364	—	8	8	no	—
195	C₄⋊C₁₆	—	4	4	no	—
196	C₄⋊C₁₆	—	4	4	no	—
197	#357	—	2	16	no	—
198	#350	—	8	16	no	—
199	C₂²⋊C₁₆	—	8	4	no	—
200	C₂²⋊C₁₆	—	8	4	no	—
201	#346	—	4	8	no	—
202	#346	—	4	8	no	—
203	#346	—	8	4	no	—
204	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
205	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
206	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
207	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
208	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
209	C₄×C₁₆	—	4	2	no	—
210	C₄×C₁₆	C₄×D₄	1	4	yes	—
211	C₄×C₁₆	C₄×D₄	1	4	yes	—
212	C₄×C₁₆	#127	1	4	yes	—
213	C₄×C₁₆	C₂²×C₈	1	2	yes	—
214	C₄×C₁₆	C₂²×C₈	1	2	yes	—
215	#335	—	2	8	no	—
216	#335	—	4	4	no	—
217	D₄⋊C₈	—	4	8	no	—
218	D₄⋊C₈	—	4	8	no	—
219	C₈²	—	2	2	no	—
220	C₈²	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
221	C₈²	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
222	C₈²	#131	1	1	yes	characteristic
223	C₈²	#131	1	1	yes	characteristic
224	C₈²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
225	C₈²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
226	C₈²	C₂×#41	1	2	yes	—
227	C₂×#41	—	4	4	no	—
228	#135	—	8	8	no	—
229	#135	—	8	8	no	—
230	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
231	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
232	C₂×D₈	—	2	8	no	—
233	C₂×D₈	—	4	4	no	—
234	C₂×D₈	—	4	4	no	—
235	#131	—	8	8	no	—
236	#131	—	8	8	no	—
237	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
238	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
239	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
240	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
241	C₂²×C₈	—	8	4	no	—
242	C₂²×C₈	#442	1	2	yes	—
243	C₂²×C₈	#444	1	2	yes	—
244	C₂²×C₈	C₂×#131	1	2	yes	—
245	C₂²×C₈	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
246	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
247	#127	—	2	4	no	—
248	#124	—	4	4	no	—
249	#121	—	4	4	no	—
250	#121	—	4	4	no	—
251	C₄×D₄	—	4	4	no	—
252	C₄×D₄	—	4	4	no	—
253	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
254	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
255	C₂×C₄²	#442	1	2	yes	—
256	C₂×C₄²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
257	D₁₆	—	4	16	no	—
258	M₃₂	—	8	8	no	—
259	M₃₂	—	16	8	no	—
260	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
261	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
262	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
263	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
264	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
265	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
266	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
267	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
268	C₂×C₁₆	—	8	4	no	—
269	C₂×C₁₆	—	8	4	no	—
270	C₂×C₁₆	—	16	8	no	—
271	C₂×C₁₆	C₈×D₄	1	4	yes	—
272	C₂×C₁₆	C₈×D₄	1	4	yes	—
273	#108	—	8	8	no	—
274	#107	—	2	8	no	—
275	#107	—	4	4	no	—
276	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
277	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
278	#104	—	8	16	no	—
279	#102	—	4	8	no	—
280	#102	—	4	8	no	—
281	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
282	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
283	C₄×C₈	—	2	8	no	—
284	C₄×C₈	—	2	1	no	—
285	C₄×C₈	—	2	1	no	—
286	C₄×C₈	—	4	4	no	—
287	C₄×C₈	—	4	4	no	—
288	C₄×C₈	C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₄×C₈	C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₄×C₈	C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₄×C₈	C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₄×C₈	#442	1	2	yes	—
293	C₄×C₈	#442	1	2	yes	—
294	C₄×C₈	#444	1	2	yes	—
295	C₄×C₈	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
296	C₄×C₈	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
297	C₄×C₈	#532	1	2	yes	—
298	C₄×C₈	#532	1	1	yes	characteristic
299	C₄×C₈	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
300	C₄×C₈	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
301	C₄×C₈	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
302	#41	—	8	8	no	—
303	#41	—	8	8	no	—
304	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
305	C₂×D₄	—	4	4	no	—
306	C₂×D₄	—	4	4	no	—
307	C₂×D₄	—	4	4	no	—
308	C₂×D₄	—	8	4	no	—
309	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
311	C₂²×C₄	#2931	1	1	yes	characteristic
312	C₂²×C₄	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
313	C₂²×C₄	C₂×#444	1	1	yes	characteristic
314	Q₁₆	—	8	8	no	—
315	SD₁₆	—	8	16	no	—
316	D₈	—	4	16	no	—
317	D₈	—	8	8	no	—
318	D₈	—	8	8	no	—
319	M₁₆	—	8	8	no	—
320	M₁₆	—	16	8	no	—
321	C₂×C₈	—	2	4	no	—
322	C₂×C₈	—	2	4	no	—
323	C₂×C₈	—	2	4	no	—
324	C₂×C₈	—	2	2	no	—
325	C₂×C₈	—	2	2	no	—
326	C₂×C₈	—	4	2	no	—
327	C₂×C₈	—	4	2	no	—
328	C₂×C₈	—	8	4	no	—
329	C₂×C₈	—	16	4	no	—
330	C₂×C₈	—	16	4	no	—
331	C₂×C₈	#1580	1	2	yes	—
332	C₂×C₈	#1580	1	2	yes	—
333	C₂×C₈	#1580	1	2	yes	—
334	C₂×C₈	#1580	1	2	yes	—
335	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/16)	1	8	yes	—
336	C₂×C₈	C₂×C₈×D₄	1	2	yes	—
337	C₂×C₈	#2931	1	2	yes	—
338	C₂×C₈	#3151	1	2	yes	—
339	C₂×C₈	#3184	1	2	yes	—
340	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
341	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
342	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
343	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
344	C₄²	—	2	4	no	—
345	C₄²	—	4	2	no	—
346	C₄²	—	4	2	no	—
347	C₄²	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
348	C₄²	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
349	C₄²	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
350	C₄²	C₂×#444	1	1	yes	characteristic
351	C₁₆	—	2	4	no	—
352	C₁₆	—	4	4	no	—
353	C₁₆	—	4	4	no	—
354	C₁₆	—	8	2	no	—
355	C₁₆	—	8	4	no	—
356	C₁₆	—	16	4	no	—
357	C₁₆	#2171	1	8	yes	complemented
358	C₂³	—	8	4	no	—
359	C₂³	#17962	1	1	yes	characteristic
360	Q₈	—	8	8	no	—
361	D₄	—	8	8	no	—
362	D₄	—	8	8	no	—
363	D₄	—	8	8	no	—
364	D₄	—	16	8	no	—
365	C₂×C₄	—	2	2	no	—
366	C₂×C₄	—	2	2	no	—
367	C₂×C₄	—	4	2	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	2	no	—
370	C₂×C₄	—	8	4	no	—
371	C₂×C₄	—	16	4	no	—
372	C₂×C₄	—	16	4	no	—
373	C₂×C₄	C₂×#1580	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂×#1580	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	#17962	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₈×#127	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	#21690	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	#21706	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/16)	1	4	yes	—
380	C₈	—	2	2	no	—
381	C₈	—	2	2	no	—
382	C₈	—	2	2	no	—
383	C₈	—	2	2	no	—
384	C₈	—	4	2	no	—
385	C₈	—	4	2	no	—
386	C₈	—	16	4	no	—
387	C₈	#12067	1	4	yes	—
388	C₈	#12067	1	4	yes	—
389	C₈	#12068	1	4	yes	—
390	C₈	C₂×#2171	1	4	yes	—
391	C₂²	—	2	1	no	—
392	C₂²	—	2	1	no	—
393	C₂²	—	16	4	no	—
394	C₂²	—	16	4	no	—
395	C₂²	—	16	4	no	—
396	C₂²	#212800	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	#483961	1	2	yes	—
398	C₄	—	2	1	no	—
399	C₄	—	2	1	no	—
400	C₄	—	8	2	no	—
401	C₄	—	16	4	no	—
402	C₄	C₂×#12067	1	2	yes	—
403	C₄	C₂×#12068	1	2	yes	—
404	C₄	#496092	1	2	yes	—
405	C₄	#496124	1	2	yes	—
406	C₂	—	2	2	no	—
407	C₂	—	32	4	no	—
408	C₂	#72216174	1	1	yes	characteristic
409	C₂	#72225220	1	1	yes	characteristic
410	C₂	#72225223	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#21690
commutator	C₄×C₈	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂×C₈²	C₂⁴
socle	C₂²	#212800
prime radical	#491485	C₄
LCS	G ▷ C₄×C₈ ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×C₈ ◁ #126522 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₈² ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #72225222	C₂	semidirect
2. #72225221	C₂	semidirect
3. #72225220	C₂	semidirect
4. #72225171	C₂	semidirect
5. #72225128	C₂	semidirect
7. #72216178	C₂	semidirect
357. C₁₆	#2171	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#72225222	2
#72225221	2
#72225220	2
#72225171	2
#72225128	2
#72216241	2
#72216178	2