Subgroups — #72225236

Order 4096.

2917 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 441 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#72225230	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#72225227	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#72225226	C₂²	1	4	yes	—
4	#72225224	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#72225223	—	2	4	no	—
6	#72225222	—	2	8	no	—
7	#72225221	—	2	8	no	—
8	#72225220	C₂²	1	4	yes	—
9	#72225178	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#72225174	—	2	4	no	—
11	#72225171	C₂²	1	8	yes	—
12	#72225130	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#72225128	C₂²	1	4	yes	—
14	#72225126	C₂²	1	2	yes	—
15	#72216257	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
16	#72216251	C₄	1	2	yes	—
17	#72216249	C₂²	1	2	yes	—
18	#72216244	C₄	1	4	yes	—
19	#72216241	C₂²	1	4	yes	—
20	#72216239	C₄	1	1	yes	characteristic
21	#72216236	C₄	1	1	yes	characteristic
22	#72216186	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
23	#72216182	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#72216178	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#72216178	C₂²	1	2	yes	—
26	#72216161	C₂²	1	2	yes	—
27	#72216161	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#496112	—	2	4	no	—
29	#496092	—	2	4	no	—
30	#491485	C₂×C₄	1	4	yes	—
31	#491465	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	#483943	—	2	8	no	—
33	C₂×#12068	—	4	8	no	—
34	#483583	—	2	8	no	—
35	#213237	C₂³	1	4	yes	—
36	#141812	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	#141786	—	2	8	no	—
38	#141684	—	2	4	no	—
39	#141671	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	#140753	—	4	8	no	—
41	#140743	—	2	8	no	—
42	#140533	—	2	8	no	—
43	#140516	—	2	4	no	—
44	#135796	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	#135781	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	#135718	—	2	4	no	—
47	#135713	C₂³	1	4	yes	—
48	C₄×#1313	—	2	4	no	—
49	C₄×#1313	D₄	1	4	yes	—
50	#126522	C₂³	1	2	yes	—
51	#126522	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₈×#346	C₂³	1	2	yes	—
53	C₈×#346	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#123406	C₈	1	2	yes	complemented
55	#123405	C₈	1	4	yes	complemented
56	#123404	C₈	1	1	yes	characteristic, complemented
57	#123403	C₈	1	1	yes	characteristic, complemented
58	#122966	—	4	16	no	—
59	#122963	—	4	16	no	—
60	#122921	—	2	8	no	—
61	#122480	—	2	16	no	—
62	C₂×#7053	—	2	2	no	—
63	C₂×#7053	D₄	1	8	yes	—
64	C₂×#7052	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×#7052	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₁₆²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	#94857	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#33733	—	2	8	no	—
69	#33713	—	2	4	no	—
70	C₂×#2179	—	4	8	no	—
71	C₂×#2171	—	4	8	no	—
72	#33434	—	4	4	no	—
73	#21705	—	2	4	no	—
74	#19603	C₂²×C₄	1	4	yes	—
75	#17956	—	2	8	no	—
76	#13242	—	4	8	no	—
77	#13208	—	2	8	no	—
78	#13196	—	4	8	no	—
79	#13191	—	4	4	no	—
80	#12909	—	2	4	no	—
81	#12900	—	2	4	no	—
82	C₄×#346	—	2	2	no	—
83	C₄×#346	C₂×D₄	1	2	yes	—
84	C₄×#346	C₂×D₄	1	2	yes	—
85	C₄×#346	#41	1	4	yes	—
86	#12521	C₂×C₈	1	4	yes	—
87	#12518	—	2	4	no	—
88	#12517	C₂×C₈	1	4	yes	—
89	#12516	C₂×C₈	1	2	yes	—
90	#12515	C₂×C₈	1	4	yes	—
91	#12515	C₂×C₈	1	2	yes	—
92	#12509	C₂×C₈	1	8	yes	—
93	#12503	—	2	8	no	—
94	#12086	—	4	16	no	—
95	#12068	—	8	32	no	—
96	#12064	—	4	16	no	—
97	#12062	—	4	16	no	—
98	#12045	—	4	16	no	—
99	#12023	—	2	8	no	—
100	C₂×#1369	—	4	8	no	—
101	#11996	—	2	8	no	—
102	#11671	—	2	16	no	—
103	C₂×#1336	—	4	16	no	—
104	#11584	—	4	8	no	—
105	C₂×#1313	—	2	8	no	—
106	C₂×#1313	—	4	8	no	—
107	C₂×#1312	—	2	2	no	—
108	C₂×#1312	C₂×D₄	1	4	yes	—
109	C₂×#1312	C₂×D₄	1	4	yes	—
110	C₂×#1311	C₂×D₄	1	4	yes	—
111	C₂×#1311	#41	1	2	yes	—
112	C₂×C₈×C₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₈×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂×C₈×C₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₈×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	#9856	—	2	4	no	—
117	#9844	—	2	8	no	—
118	#8823	C₂²×C₄	1	4	yes	—
119	C₄×#322	—	2	2	no	—
120	C₄×#322	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₄×C₈²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
122	#7099	—	4	16	no	—
123	#7070	—	4	32	no	—
124	#7053	—	2	16	no	—
125	#7053	—	4	4	no	—
126	#7052	—	2	4	no	—
127	#7052	—	2	2	no	—
128	C₁₆²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
129	C₁₆²	C₂×C₈	1	2	yes	—
130	C₁₆²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
131	C₂×#508	—	4	8	no	—
132	C₂×#504	—	8	4	no	—
133	#3169	—	2	8	no	—
134	#3147	—	2	4	no	—
135	C₂×#443	—	4	8	no	—
136	#2931	—	4	4	no	—
137	#2252	—	2	8	no	—
138	#2249	—	4	8	no	—
139	#2248	—	2	8	no	—
140	#2247	—	2	4	no	—
141	#2246	—	2	4	no	—
142	#2246	—	2	8	no	—
143	#2240	—	2	16	no	—
144	#2215	—	4	16	no	—
145	#2179	—	8	16	no	—
146	#2179	—	8	16	no	—
147	C₄×D₁₆	—	4	16	no	—
148	#2171	—	8	32	no	—
149	#2169	—	8	8	no	—
150	D₄×C₁₆	—	8	8	no	—
151	C₂×#368	—	4	8	no	—
152	C₂×#364	—	4	8	no	—
153	#2150	—	4	4	no	—
154	C₂×#359	—	4	16	no	—
155	C₂×#350	—	8	8	no	—
156	#2113	—	8	4	no	—
157	C₂×#346	—	2	8	no	—
158	C₂×#346	—	2	4	no	—
159	C₂×#346	—	4	4	no	—
160	C₂×#346	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
161	C₂×C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄×C₁₆	C₄×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄×C₁₆	C₄×D₄	1	4	yes	—
164	C₂×C₄×C₁₆	C₄×D₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₄×C₁₆	C₄×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄×C₁₆	#127	1	4	yes	—
167	#1974	—	4	8	no	—
168	#1962	—	4	4	no	—
169	#1848	—	2	4	no	—
170	C₄²×C₈	—	2	2	no	—
171	C₄²×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₄²×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
173	#1713	C₂²×C₈	1	4	yes	—
174	#1712	C₂²×C₈	1	4	yes	—
175	#1709	—	2	4	no	—
176	#1706	—	2	8	no	—
177	#1589	—	4	16	no	—
178	C₈×D₈	—	4	16	no	—
179	#1567	—	2	8	no	—
180	#1492	—	4	8	no	—
181	C₂×#322	—	2	4	no	—
182	C₂×#322	—	4	4	no	—
183	C₂×C₈²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₈²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₈²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
186	#1372	—	4	16	no	—
187	#1369	—	8	16	no	—
188	#1367	—	4	16	no	—
189	#1336	—	8	32	no	—
190	#1331	—	4	32	no	—
191	D₄⋊C₁₆	—	8	16	no	—
192	#1313	—	4	16	no	—
193	#1313	—	8	16	no	—
194	#1312	—	2	8	no	—
195	#1312	—	2	8	no	—
196	#1312	—	4	4	no	—
197	#1311	—	2	4	no	—
198	#1311	AGL(1,ℤ/8)	1	16	yes	—
199	C₈×C₁₆	—	2	2	no	—
200	C₈×C₁₆	—	2	2	no	—
201	C₈×C₁₆	—	2	2	no	—
202	C₈×C₁₆	C₂²×C₈	1	2	yes	—
203	C₈×C₁₆	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
204	C₈×C₁₆	C₂²×C₈	1	2	yes	—
205	C₈×C₁₆	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
206	C₈×C₁₆	#131	1	4	yes	—
207	C₈×C₁₆	#131	1	2	yes	—
208	C₂×#135	—	4	8	no	—
209	C₂×#131	—	8	4	no	—
210	#532	—	4	4	no	—
211	#508	—	8	16	no	—
212	#508	—	8	16	no	—
213	C₂×Q₃₂	—	4	8	no	—
214	C₂×SD₃₂	—	4	16	no	—
215	C₂×D₁₆	—	4	8	no	—
216	C₂×D₁₆	—	4	16	no	—
217	#504	—	16	16	no	—
218	C₂×M₃₂	—	8	4	no	—
219	C₂×M₃₂	—	16	4	no	—
220	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₁₆	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₁₆	—	16	4	no	—
224	C₂²×C₁₆	#442	1	4	yes	—
225	C₂²×C₁₆	#442	1	4	yes	—
226	C₂²×C₁₆	#444	1	8	yes	—
227	#500	—	2	8	no	—
228	#495	—	4	8	no	—
229	#494	—	2	4	no	—
230	#493	—	2	4	no	—
231	#493	—	2	8	no	—
232	#492	—	4	4	no	—
233	#486	—	4	8	no	—
234	#466	—	4	16	no	—
235	#443	—	8	16	no	—
236	#443	—	8	16	no	—
237	C₄×D₈	—	4	16	no	—
238	#436	—	8	8	no	—
239	C₈×D₄	—	8	8	no	—
240	C₂×#108	—	4	8	no	—
241	#423	—	4	4	no	—
242	C₂×#104	—	8	8	no	—
243	#408	—	8	4	no	—
244	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
245	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
246	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
247	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
248	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₄×C₈	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₄×C₈	#532	1	2	yes	—
251	C₂×C₄×C₈	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
252	C₄³	#532	1	1	yes	characteristic
253	#368	—	8	16	no	—
254	#366	—	4	16	no	—
255	#364	—	8	16	no	—
256	C₄⋊C₁₆	—	8	8	no	—
257	#359	—	8	32	no	—
258	#357	—	4	32	no	—
259	#350	—	16	16	no	—
260	C₂²⋊C₁₆	—	16	8	no	—
261	#346	—	2	16	no	—
262	#346	—	4	8	no	—
263	#346	—	4	16	no	—
264	#346	—	8	8	no	—
265	C₄×C₁₆	—	2	8	no	—
266	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
267	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
268	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
269	C₄×C₁₆	—	4	4	no	—
270	C₄×C₁₆	—	4	4	no	—
271	C₄×C₁₆	C₈×D₄	1	4	yes	—
272	C₄×C₁₆	C₈×D₄	1	2	yes	—
273	C₄×C₁₆	C₈×D₄	1	4	yes	—
274	C₄×C₁₆	C₈×D₄	1	2	yes	—
275	C₄×C₁₆	#442	1	8	yes	—
276	C₄×C₁₆	#442	1	8	yes	—
277	C₄×C₁₆	#444	1	4	yes	—
278	#335	—	4	16	no	—
279	D₄⋊C₈	—	8	16	no	—
280	#322	—	4	8	no	—
281	#322	—	8	8	no	—
282	C₈²	—	2	2	no	—
283	C₈²	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
284	C₈²	C₂×#131	1	2	yes	—
285	C₈²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
286	C₈²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
287	C₂×#41	—	8	4	no	—
288	#135	—	8	16	no	—
289	#135	—	8	16	no	—
290	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
291	C₂×SD₁₆	—	8	8	no	—
292	C₂×D₈	—	4	8	no	—
293	C₂×D₈	—	4	16	no	—
294	#131	—	16	8	no	—
295	#131	—	16	8	no	—
296	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
297	C₂×M₁₆	—	16	4	no	—
298	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
299	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
300	C₂²×C₈	—	16	4	no	—
301	C₂²×C₈	C₂×#442	1	2	yes	—
302	C₂²×C₈	C₂×#444	1	4	yes	—
303	C₂²×C₈	#3151	1	2	yes	—
304	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
305	#127	—	4	4	no	—
306	#124	—	8	4	no	—
307	#121	—	8	8	no	—
308	C₄×D₄	—	8	8	no	—
309	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄²	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄²	#3184	1	2	yes	—
312	Q₃₂	—	8	16	no	—
313	SD₃₂	—	8	32	no	—
314	D₁₆	—	8	16	no	—
315	D₁₆	—	8	32	no	—
316	M₃₂	—	16	8	no	—
317	M₃₂	—	32	8	no	—
318	C₂×C₁₆	—	2	16	no	—
319	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
320	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
321	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
322	C₂×C₁₆	—	4	8	no	—
323	C₂×C₁₆	—	4	8	no	—
324	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
325	C₂×C₁₆	—	8	4	no	—
326	C₂×C₁₆	—	8	8	no	—
327	C₂×C₁₆	—	16	4	no	—
328	C₂×C₁₆	—	32	8	no	—
329	C₂×C₁₆	#1580	1	8	yes	—
330	C₂×C₁₆	#1580	1	4	yes	—
331	C₂×C₁₆	#1580	1	4	yes	—
332	C₂×C₁₆	#1580	1	8	yes	—
333	C₂×C₁₆	AGL(1,ℤ/16)	1	16	yes	—
334	#108	—	8	16	no	—
335	#107	—	4	16	no	—
336	C₄⋊C₈	—	8	8	no	—
337	#104	—	16	16	no	—
338	#102	—	8	16	no	—
339	C₂²⋊C₈	—	16	8	no	—
340	C₄×C₈	—	2	8	no	—
341	C₄×C₈	—	2	2	no	—
342	C₄×C₈	—	4	8	no	—
343	C₄×C₈	—	8	4	no	—
344	C₄×C₈	—	8	8	no	—
345	C₄×C₈	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
346	C₄×C₈	C₂×C₈×D₄	1	2	yes	—
347	C₄×C₈	#2931	1	2	yes	—
348	C₄×C₈	#2931	1	1	yes	characteristic
349	C₄×C₈	C₂×#442	1	4	yes	—
350	C₄×C₈	C₂×#444	1	2	yes	—
351	C₄×C₈	#3151	1	4	yes	—
352	C₄×C₈	#3184	1	4	yes	—
353	#41	—	16	8	no	—
354	#41	—	16	8	no	—
355	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
356	C₂×D₄	—	8	8	no	—
357	C₂×D₄	—	8	4	no	—
358	C₂×D₄	—	16	4	no	—
359	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
360	C₂²×C₄	—	16	4	no	—
361	C₂²×C₄	#21690	1	1	yes	characteristic
362	C₂²×C₄	#21706	1	2	yes	—
363	Q₁₆	—	8	16	no	—
364	SD₁₆	—	16	16	no	—
365	D₈	—	8	16	no	—
366	D₈	—	8	32	no	—
367	M₁₆	—	16	8	no	—
368	M₁₆	—	32	8	no	—
369	C₂×C₈	—	2	4	no	—
370	C₂×C₈	—	2	8	no	—
371	C₂×C₈	—	2	4	no	—
372	C₂×C₈	—	4	4	no	—
373	C₂×C₈	—	16	4	no	—
374	C₂×C₈	—	16	2	no	—
375	C₂×C₈	—	16	4	no	—
376	C₂×C₈	—	32	4	no	—
377	C₂×C₈	—	32	4	no	—
378	C₂×C₈	C₂×#1580	1	2	yes	—
379	C₂×C₈	C₂×#1580	1	4	yes	—
380	C₂×C₈	#17962	1	4	yes	—
381	C₂×C₈	#17962	1	2	yes	—
382	C₂×C₈	#19745	1	4	yes	—
383	C₂×C₈	C₂×AGL(1,ℤ/16)	1	8	yes	—
384	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
385	C₂²⋊C₄	—	16	8	no	—
386	C₄²	—	2	4	no	—
387	C₄²	—	4	4	no	—
388	C₄²	C₈×#127	1	1	yes	characteristic
389	C₄²	#21690	1	2	yes	—
390	C₄²	#21706	1	1	yes	characteristic
391	C₁₆	—	2	8	no	—
392	C₁₆	—	4	8	no	—
393	C₁₆	—	4	4	no	—
394	C₁₆	—	8	4	no	—
395	C₁₆	—	16	4	no	—
396	C₁₆	—	32	4	no	—
397	C₁₆	#12067	1	8	yes	—
398	C₁₆	#12067	1	8	yes	—
399	C₁₆	#12068	1	16	yes	complemented
400	C₂³	—	16	4	no	—
401	C₂³	#213274	1	1	yes	characteristic
402	Q₈	—	16	8	no	—
403	D₄	—	16	8	no	—
404	D₄	—	16	16	no	—
405	D₄	—	32	8	no	—
406	C₂×C₄	—	2	4	no	—
407	C₂×C₄	—	4	4	no	—
408	C₂×C₄	—	4	2	no	—
409	C₂×C₄	—	16	4	no	—
410	C₂×C₄	—	32	4	no	—
411	C₂×C₄	—	32	4	no	—
412	C₂×C₄	#212800	1	1	yes	characteristic
413	C₂×C₄	#212800	1	2	yes	—
414	C₂×C₄	#212918	1	1	yes	characteristic
415	C₂×C₄	#213274	1	2	yes	—
416	C₂×C₄	#496124	1	4	yes	—
417	C₈	—	2	4	no	—
418	C₈	—	2	4	no	—
419	C₈	—	4	4	no	—
420	C₈	—	32	2	no	—
421	C₈	—	32	4	no	—
422	C₈	C₂×#12067	1	4	yes	—
423	C₈	C₂×#12068	1	8	yes	—
424	C₈	#483961	1	4	yes	—
425	C₂²	—	2	2	no	—
426	C₂²	—	32	4	no	—
427	C₂²	—	32	8	no	—
428	C₂²	#72213975	1	2	yes	—
429	C₂²	#72216170	1	1	yes	characteristic
430	C₄	—	2	2	no	—
431	C₄	—	8	2	no	—
432	C₄	—	32	4	no	—
433	C₄	#72213983	1	2	yes	—
434	C₄	#72216174	1	2	yes	—
435	C₄	#72225223	1	4	yes	—
436	C₂	—	2	2	no	—
437	C₂	—	64	4	no	—
438	C₂	#72216176	1	1	yes	characteristic
439	C₂	#72225230	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#212918
commutator	C₈²	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₄×C₈²	C₂⁴
socle	C₂²	#72216170
prime radical	#72216236	C₄
LCS	G ▷ C₈² ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×C₈ ◁ #126522 ◁ G
LECS	G ▷ C₄×C₈² ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #72225230	C₂	semidirect
2. #72225227	C₂	semidirect
4. #72225224	C₂	semidirect
9. #72225178	C₂	semidirect
12. #72225130	C₂	semidirect
22. #72216186	C₂	semidirect
54. #123406	C₈	semidirect
55. #123405	C₈	semidirect
56. #123404	C₈	semidirect
57. #123403	C₈	semidirect
399. C₁₆	#12068	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#72225230	2
#72225227	2
#72225224	2
#72225178	2
#72225130	2
#72216257	2
#72216186	2