Finite Group Databasebeta

← S₅² #72230911

Subgroups — S₅² #72230911

Order 14400.

809 conjugacy classes of subgroups; only the 10 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 809 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 10 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	AGL(1,𝔽₅)×S₅	—	6	2	no	maximal
2	A₅×S₅	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	S₄×S₅	—	5	2	no	maximal
4	#72219548	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	A₅²	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
6	C₂×D₃×S₅	—	10	2	no	maximal
7	S₄×A₅	—	5	2	no	—
8	A₄⋊S₅	—	5	2	no	—
9	A₄×S₅	—	5	2	no	—
10	D₅×S₅	—	6	2	no	—
11	AGL(1,𝔽₅)×A₅	—	6	2	no	—
12	A₅⋊AGL(1,𝔽₅)	—	6	2	no	—
13	D₄×S₅	—	15	2	no	—
14	C₂×D₃×A₅	—	10	2	no	—
15	C₂×ΓL(2,𝔽₄)	—	10	2	no	—
16	C₂×C₃×S₅	—	10	2	no	—
17	A₄×A₅	—	5	2	no	—
18	D₃×S₅	—	10	2	no	—
19	D₃×S₅	—	10	2	no	—
20	D₃×S₅	—	10	2	no	—
21	D₃×S₅	—	10	2	no	—
22	D₅×A₅	—	6	2	no	—
23	C₅⋊S₅	—	6	2	no	—
24	C₅×S₅	—	6	2	no	—
25	S₄²	—	25	1	no	Hall
26	AGL(1,𝔽₅)×S₄	—	30	2	no	—
27	C₂²×S₅	—	5	2	no	—
28	C₂²×S₅	—	15	2	no	—
29	D₄×A₅	—	15	2	no	—
30	C₂²⋊S₅	—	15	2	no	—
31	C₂²⋊S₅	—	15	2	no	—
32	C₄⋊S₅	—	15	2	no	—
33	C₄×S₅	—	15	2	no	—
34	AGL(1,𝔽₅)²	—	36	1	no	—
35	C₂×C₃×A₅	—	10	2	no	—
36	D₃×A₅	—	10	2	no	—
37	D₃×A₅	—	10	2	no	—
38	ΓL(2,𝔽₄)	—	10	2	no	—
39	ΓL(2,𝔽₄)	—	10	2	no	—
40	C₃×S₅	—	10	2	no	—
41	C₃×S₅	—	10	2	no	—
42	C₅×A₅	—	6	2	no	—
43	C₂×D₃×S₄	—	50	2	no	—
44	A₄⋊S₄	—	25	1	no	—
45	A₄×S₄	—	25	2	no	—
46	C₂×D₃×AGL(1,𝔽₅)	—	60	2	no	—
47	D₅×S₄	—	30	2	no	—
48	A₄×AGL(1,𝔽₅)	—	30	2	no	—
49	A₄⋊AGL(1,𝔽₅)	—	30	2	no	—
50	C₂²×A₅	—	5	2	no	—
51	C₂²×A₅	—	15	2	no	—
52	C₂×S₅	—	10	2	no	—
53	C₂×S₅	—	15	2	no	—
54	C₂×S₅	—	15	2	no	—
55	C₂×S₅	—	15	2	no	—
56	C₂×S₅	—	30	2	no	—
57	C₄×A₅	—	15	2	no	—
58	A₅⋊C₄	—	15	2	no	—
59	D₅⋊AGL(1,𝔽₅)	—	36	1	no	—
60	D₅×AGL(1,𝔽₅)	—	36	2	no	—
61	D₄×S₄	—	75	2	no	—
62	C₃×A₅	—	10	2	no	—
63	D₄×AGL(1,𝔽₅)	—	90	2	no	—
64	C₂²×D₃²	—	100	1	no	—
65	C₂×D₃×A₄	—	50	2	no	—
66	C₂×C₃⋊S₄	—	50	2	no	—
67	C₂×C₃×S₄	—	50	2	no	—
68	A₄²	—	25	1	no	—
69	D₃×S₄	—	50	2	no	—
70	D₃×S₄	—	50	2	no	—
71	D₃×S₄	—	50	2	no	—
72	D₃×S₄	—	50	2	no	—
73	C₂×D₃×D₅	—	60	2	no	—
74	C₂×ΓL(1,𝔽₁₆)	—	60	2	no	—
75	C₂×C₃×AGL(1,𝔽₅)	—	60	2	no	—
76	D₅×A₄	—	30	2	no	—
77	C₅⋊S₄	—	30	2	no	—
78	C₅×S₄	—	30	2	no	—
79	D₃×AGL(1,𝔽₅)	—	60	2	no	—
80	D₃×AGL(1,𝔽₅)	—	60	2	no	—
81	D₃×AGL(1,𝔽₅)	—	60	2	no	—
82	D₃×AGL(1,𝔽₅)	—	60	2	no	—
83	C₂×A₅	—	10	2	no	—
84	C₂×A₅	—	15	2	no	—
85	S₅	—	10	2	no	—
86	S₅	—	15	2	no	—
87	S₅	—	120	1	no	—
88	S₅	S₅	1	2	yes	direct product factor
89	D₅²	—	36	1	no	—
90	#1044	—	36	1	no	—
91	#1043	—	36	1	no	—
92	#1042	—	36	2	no	—
93	C₅×AGL(1,𝔽₅)	—	36	2	no	—
94	#1020	—	150	1	no	—
95	C₂²×S₄	—	25	2	no	—
96	C₂²×S₄	—	75	2	no	—
97	C₂×D₃×D₄	—	150	2	no	—
98	D₄×A₄	—	75	2	no	—
99	GL(2,ℤ/4)	—	75	2	no	—
100	GL(2,ℤ/4)	—	75	2	no	—
101	C₄⋊S₄	—	75	2	no	—
102	C₄×S₄	—	75	2	no	—
103	C₂²×AGL(1,𝔽₅)	—	30	2	no	—
104	C₂²×AGL(1,𝔽₅)	—	90	2	no	—
105	D₄×D₅	—	90	2	no	—
106	C₂²⋊AGL(1,𝔽₅)	—	90	2	no	—
107	C₂²⋊AGL(1,𝔽₅)	—	90	2	no	—
108	C₄⋊AGL(1,𝔽₅)	—	90	2	no	—
109	C₄×AGL(1,𝔽₅)	—	90	2	no	—
110	C₂²×C₃⋊D₃	—	100	1	no	—
111	C₂²×C₃×D₃	—	100	2	no	—
112	C₂×C₃×A₄	—	50	2	no	—
113	C₂×D₃²	—	100	2	no	—
114	C₂×D₃²	—	100	1	no	—
115	C₂×D₃²	—	100	2	no	—
116	C₂×D₃²	—	100	2	no	—
117	C₂×D₃²	—	100	2	no	—
118	C₂×D₃²	—	100	1	no	—
119	C₂×D₃²	—	100	2	no	—
120	D₃×A₄	—	50	2	no	—
121	D₃×A₄	—	50	2	no	—
122	C₃⋊S₄	—	50	2	no	—
123	C₃⋊S₄	—	50	2	no	—
124	C₃×S₄	—	50	2	no	—
125	C₃×S₄	—	50	2	no	—
126	D₄²	—	225	1	no	Sylow
127	C₂×D₁₅	—	60	2	no	—
128	C₂×C₅×D₃	—	60	2	no	—
129	C₂×C₃×D₅	—	60	2	no	—
130	C₅×A₄	—	30	2	no	—
131	D₃×D₅	—	60	2	no	—
132	D₃×D₅	—	60	2	no	—
133	D₃×D₅	—	60	2	no	—
134	D₃×D₅	—	60	2	no	—
135	ΓL(1,𝔽₁₆)	—	60	2	no	—
136	ΓL(1,𝔽₁₆)	—	60	2	no	—
137	C₃×AGL(1,𝔽₅)	—	60	2	no	—
138	C₃×AGL(1,𝔽₅)	—	60	2	no	—
139	A₅	—	120	1	no	—
140	A₅	C₂×S₅	1	2	yes	complemented
141	C₅⋊D₅	—	36	1	no	—
142	C₅×D₅	—	36	2	no	—
143	C₂³×D₃	—	50	2	no	—
144	C₂³×D₃	—	150	2	no	—
145	C₂²⋊A₄	—	50	1	no	—
146	C₂²×A₄	—	25	2	no	—
147	C₂²×A₄	—	75	2	no	—
148	C₂×S₄	—	300	2	no	—
149	C₂×S₄	—	50	2	no	—
150	C₂×S₄	—	75	2	no	—
151	C₂×S₄	—	75	2	no	—
152	C₂×S₄	—	75	2	no	—
153	C₂×S₄	—	150	2	no	—
154	C₂×C₃×D₄	—	150	2	no	—
155	C₂×#67	—	150	2	no	—
156	C₂×#67	—	150	2	no	—
157	D₃×D₄	—	150	2	no	—
158	D₃×D₄	—	150	2	no	—
159	D₃×D₄	—	150	2	no	—
160	D₃×D₄	—	150	2	no	—
161	D₃×D₄	—	150	2	no	—
162	D₃×D₄	—	150	2	no	—
163	D₃×D₄	—	150	2	no	—
164	D₃×D₄	—	150	2	no	—
165	C₂×D₁₂	—	150	2	no	—
166	C₂×C₄×D₃	—	150	2	no	—
167	C₄×A₄	—	75	2	no	—
168	SL(2,ℤ/4)	—	75	2	no	—
169	C₂²×D₅	—	30	2	no	—
170	C₂²×D₅	—	90	2	no	—
171	C₂×AGL(1,𝔽₅)	—	60	2	no	—
172	C₂×AGL(1,𝔽₅)	—	90	2	no	—
173	C₂×AGL(1,𝔽₅)	—	90	2	no	—
174	C₂×AGL(1,𝔽₅)	—	90	2	no	—
175	C₂×AGL(1,𝔽₅)	—	90	2	no	—
176	C₂×AGL(1,𝔽₅)	—	180	2	no	—
177	C₅×D₄	—	90	2	no	—
178	C₂²⋊D₅	—	90	2	no	—
179	C₂²⋊D₅	—	90	2	no	—
180	D₂₀	—	90	2	no	—
181	C₄×D₅	—	90	2	no	—
182	C₂²×C₃²	—	100	1	no	—
183	C₂×C₃⋊D₃	—	100	1	no	—
184	C₂×C₃⋊D₃	—	100	1	no	—
185	C₂×C₃⋊D₃	—	100	2	no	—
186	C₂×C₃⋊D₃	—	100	2	no	—
187	C₂×C₃×D₃	—	100	2	no	—
188	C₂×C₃×D₃	—	100	2	no	—
189	C₂×C₃×D₃	—	100	2	no	—
190	C₂×C₃×D₃	—	100	2	no	—
191	C₂×C₃×D₃	—	100	2	no	—
192	C₂×C₃×D₃	—	100	2	no	—
193	C₃×A₄	—	50	2	no	—
194	D₃²	—	100	1	no	—
195	D₃²	—	100	2	no	—
196	D₃²	—	100	1	no	—
197	D₃²	—	100	2	no	—
198	D₃²	—	100	2	no	—
199	D₃²	—	100	1	no	—
200	D₃²	—	100	2	no	—
201	D₃²	—	100	2	no	—
202	D₃²	—	100	2	no	—
203	D₃²	—	100	1	no	—
204	C₂²×D₄	—	75	2	no	—
205	C₂²×D₄	—	225	2	no	—
206	#127	—	225	1	no	—
207	#121	—	225	2	no	—
208	#121	—	225	2	no	—
209	#120	—	225	1	no	—
210	#120	—	225	2	no	—
211	#120	—	225	1	no	—
212	C₄×D₄	—	225	2	no	—
213	C₂×C₃×C₅	—	60	2	no	—
214	D₁₅	—	60	2	no	—
215	D₁₅	—	60	2	no	—
216	C₃×D₅	—	60	2	no	—
217	C₃×D₅	—	60	2	no	—
218	C₅×D₃	—	60	2	no	—
219	C₅×D₃	—	60	2	no	—
220	C₅²	—	36	1	no	Sylow
221	C₂³×C₃	—	50	2	no	—
222	C₂³×C₃	—	150	2	no	—
223	C₂²×D₃	—	300	2	no	—
224	C₂²×D₃	—	300	2	no	—
225	C₂²×D₃	—	300	2	no	—
226	C₂²×D₃	—	50	2	no	—
227	C₂²×D₃	—	50	2	no	—
228	C₂²×D₃	—	600	1	no	—
229	C₂²×D₃	—	100	2	no	—
230	C₂²×D₃	—	150	2	no	—
231	C₂²×D₃	—	150	2	no	—
232	C₂²×D₃	—	150	2	no	—
233	C₂²×D₃	—	150	2	no	—
234	C₂²×D₃	—	150	2	no	—
235	C₂²×D₃	—	150	2	no	—
236	C₂²×D₃	—	150	2	no	—
237	C₂²×D₃	—	150	2	no	—
238	C₂²×D₃	—	150	2	no	—
239	C₂×A₄	—	50	2	no	—
240	C₂×A₄	—	75	2	no	—
241	C₂×A₄	—	100	2	no	—
242	S₄	—	5	2	no	—
243	S₄	—	300	2	no	—
244	S₄	—	300	2	no	—
245	S₄	—	50	2	no	—
246	S₄	—	75	2	no	—
247	S₄	—	600	1	no	—
248	C₃×D₄	—	150	2	no	—
249	C₃×D₄	—	150	2	no	—
250	C₃×D₄	—	150	2	no	—
251	C₃×D₄	—	150	2	no	—
252	C₂×C₃×C₄	—	150	2	no	—
253	#67	—	150	2	no	—
254	#67	—	150	2	no	—
255	#67	—	150	2	no	—
256	#67	—	150	2	no	—
257	#67	—	150	2	no	—
258	#67	—	150	2	no	—
259	#67	—	150	2	no	—
260	#67	—	150	2	no	—
261	C₂×Dic₃	—	150	2	no	—
262	D₁₂	—	150	2	no	—
263	D₁₂	—	150	2	no	—
264	D₁₂	—	150	2	no	—
265	D₁₂	—	150	2	no	—
266	C₄×D₃	—	150	2	no	—
267	C₄×D₃	—	150	2	no	—
268	C₄×D₃	—	150	2	no	—
269	C₄×D₃	—	150	2	no	—
270	C₂²×C₅	—	30	2	no	—
271	C₂²×C₅	—	90	2	no	—
272	C₂×D₅	—	60	2	no	—
273	C₂×D₅	—	90	2	no	—
274	C₂×D₅	—	90	2	no	—
275	C₂×D₅	—	90	2	no	—
276	C₂×D₅	—	180	2	no	—
277	AGL(1,𝔽₅)	—	6	2	no	—
278	AGL(1,𝔽₅)	—	60	2	no	—
279	AGL(1,𝔽₅)	—	90	2	no	—
280	AGL(1,𝔽₅)	—	180	2	no	—
281	AGL(1,𝔽₅)	—	720	1	no	—
282	C₄×C₅	—	90	2	no	—
283	Dic₅	—	90	2	no	—
284	C₂×C₃²	—	100	2	no	—
285	C₂×C₃²	—	100	1	no	—
286	C₃⋊D₃	—	100	1	no	—
287	C₃⋊D₃	—	100	2	no	—
288	C₃⋊D₃	—	100	1	no	—
289	C₃×D₃	—	100	2	no	—
290	C₃×D₃	—	100	2	no	—
291	C₃×D₃	—	100	2	no	—
292	C₃×D₃	—	100	2	no	—
293	C₂⁴	—	25	1	no	—
294	C₂⁴	—	75	2	no	—
295	C₂⁴	—	225	1	no	—
296	C₂×D₄	—	150	2	no	—
297	C₂×D₄	—	450	2	no	—
298	C₂×D₄	—	450	2	no	—
299	C₂×D₄	—	450	2	no	—
300	C₂×D₄	—	225	2	no	—
301	C₂×D₄	—	225	1	no	—
302	C₂×D₄	—	225	1	no	—
303	C₂×D₄	—	225	2	no	—
304	C₂×D₄	—	225	2	no	—
305	C₂×D₄	—	225	2	no	—
306	C₂×D₄	—	225	2	no	—
307	C₂×D₄	—	225	2	no	—
308	C₂×D₄	—	225	2	no	—
309	C₂²×C₄	—	75	2	no	—
310	C₂²×C₄	—	225	2	no	—
311	C₄⋊C₄	—	225	2	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	225	2	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	225	2	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	225	1	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	225	2	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	225	1	no	—
317	C₄²	—	225	1	no	—
318	C₃×C₅	—	60	2	no	—
319	C₂²×C₃	—	300	2	no	—
320	C₂²×C₃	—	50	2	no	—
321	C₂²×C₃	—	100	2	no	—
322	C₂²×C₃	—	150	2	no	—
323	C₂²×C₃	—	150	2	no	—
324	C₂²×C₃	—	150	2	no	—
325	C₂²×C₃	—	150	2	no	—
326	C₂²×C₃	—	200	1	no	—
327	C₂×D₃	—	10	2	no	—
328	C₂×D₃	—	300	2	no	—
329	C₂×D₃	—	300	2	no	—
330	C₂×D₃	—	300	2	no	—
331	C₂×D₃	—	300	2	no	—
332	C₂×D₃	—	300	2	no	—
333	C₂×D₃	—	300	2	no	—
334	C₂×D₃	—	600	2	no	—
335	C₂×D₃	—	600	1	no	—
336	C₂×D₃	—	600	2	no	—
337	C₂×D₃	—	600	1	no	—
338	C₂×D₃	—	100	2	no	—
339	C₂×D₃	—	100	2	no	—
340	C₂×D₃	—	100	2	no	—
341	C₂×D₃	—	100	2	no	—
342	C₂×D₃	—	100	2	no	—
343	C₂×D₃	—	150	2	no	—
344	C₂×D₃	—	150	2	no	—
345	C₂×D₃	—	150	2	no	—
346	C₂×D₃	—	150	2	no	—
347	C₂×D₃	—	150	2	no	—
348	C₂×D₃	—	150	2	no	—
349	C₂×D₃	—	150	2	no	—
350	C₂×D₃	—	150	2	no	—
351	C₂×D₃	—	150	2	no	—
352	A₄	—	5	2	no	—
353	A₄	—	600	1	no	—
354	A₄	—	100	2	no	—
355	C₃×C₄	—	150	2	no	—
356	C₃×C₄	—	150	2	no	—
357	Dic₃	—	150	2	no	—
358	Dic₃	—	150	2	no	—
359	C₂×C₅	—	60	2	no	—
360	C₂×C₅	—	90	2	no	—
361	D₅	—	6	2	no	—
362	D₅	—	60	2	no	—
363	D₅	—	90	2	no	—
364	D₅	—	720	1	no	—
365	C₃²	—	100	1	no	Sylow
366	C₂³	—	50	2	no	—
367	C₂³	—	75	2	no	—
368	C₂³	—	900	1	no	—
369	C₂³	—	150	2	no	—
370	C₂³	—	450	2	no	—
371	C₂³	—	450	2	no	—
372	C₂³	—	225	2	no	—
373	C₂³	—	225	1	no	—
374	C₂³	—	225	2	no	—
375	C₂³	—	225	1	no	—
376	D₄	—	15	2	no	—
377	D₄	—	900	1	no	—
378	D₄	—	900	1	no	—
379	D₄	—	150	2	no	—
380	D₄	—	150	2	no	—
381	D₄	—	150	2	no	—
382	D₄	—	450	2	no	—
383	D₄	—	450	2	no	—
384	D₄	—	450	2	no	—
385	D₄	—	450	2	no	—
386	D₄	—	225	2	no	—
387	D₄	—	225	2	no	—
388	D₄	—	225	2	no	—
389	C₂×C₄	—	150	2	no	—
390	C₂×C₄	—	450	2	no	—
391	C₂×C₄	—	225	2	no	—
392	C₂×C₄	—	225	2	no	—
393	C₂×C₄	—	225	1	no	—
394	C₂×C₄	—	225	2	no	—
395	C₂×C₃	—	10	2	no	—
396	C₂×C₃	—	100	2	no	—
397	C₂×C₃	—	100	2	no	—
398	C₂×C₃	—	150	2	no	—
399	C₂×C₃	—	150	2	no	—
400	C₂×C₃	—	200	2	no	—
401	C₂×C₃	—	200	1	no	—
402	D₃	—	10	2	no	—
403	D₃	—	10	2	no	—
404	D₃	—	600	1	no	—
405	D₃	—	600	2	no	—
406	D₃	—	600	1	no	—
407	D₃	—	100	2	no	—
408	D₃	—	100	2	no	—
409	D₃	—	150	2	no	—
410	D₃	—	150	2	no	—
411	C₅	—	6	2	no	—
412	C₅	—	144	1	no	—
413	C₂²	—	5	2	no	—
414	C₂²	—	15	2	no	—
415	C₂²	—	300	2	no	—
416	C₂²	—	100	1	no	—
417	C₂²	—	900	1	no	—
418	C₂²	—	150	2	no	—
419	C₂²	—	150	2	no	—
420	C₂²	—	150	2	no	—
421	C₂²	—	150	1	no	—
422	C₂²	—	450	2	no	—
423	C₂²	—	450	1	no	—
424	C₂²	—	450	2	no	—
425	C₂²	—	225	1	no	—
426	C₂²	—	225	2	no	—
427	C₂²	—	225	2	no	—
428	C₄	—	15	2	no	—
429	C₄	—	150	2	no	—
430	C₄	—	450	1	no	—
431	C₄	—	225	2	no	—
432	C₃	—	10	2	no	—
433	C₃	—	200	1	no	—
434	C₂	—	10	2	no	—
435	C₂	—	15	2	no	—
436	C₂	—	100	1	no	—
437	C₂	—	150	2	no	—
438	C₂	—	225	1	no	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, hypercenter	C₁	G
commutator, socle, cosocle, hypocenter	A₅²	C₂²
LCS	G ▷ A₅²
UCS	C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. A₅×S₅	C₂	semidirect
4. #72219548	C₂	semidirect
5. A₅²	C₂²	semidirect
88. S₅	S₅	direct (N × H)
140. A₅	C₂×S₅	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
AGL(1,𝔽₅)×S₅	6
A₅×S₅	2
S₄×S₅	5
#72219548	2
C₂×D₃×S₅	10