Subgroups — #7224712

Order 512.

1620 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 335 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#46002	C₂	1	2	yes	maximal
2	#33302	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33267	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#32801	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#30744	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#30449	C₂	1	6	yes	maximal
7	#28462	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#26255	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	#25780	C₂	1	3	yes	maximal
10	#25415	C₂	1	3	yes	maximal
11	C₈×#126	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#494	C₂²	1	6	yes	—
14	C₂×#494	C₂²	1	3	yes	—
15	C₂×#494	C₂²	1	3	yes	—
16	C₂×#494	C₂²	1	3	yes	—
17	C₂×#467	C₂²	1	3	yes	—
18	C₂×#462	C₂²	1	6	yes	—
19	C₂×#451	C₂²	1	6	yes	—
20	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	3	yes	—
21	#2868	C₂²	1	2	yes	—
22	#2863	C₂²	1	2	yes	—
23	#2843	—	2	2	no	—
24	#2792	—	2	6	no	—
25	#2790	—	2	6	no	—
26	#2546	C₂²	1	6	yes	—
27	#2446	C₂²	1	6	yes	—
28	#2434	C₂²	1	6	yes	—
29	#2429	C₂²	1	6	yes	—
30	#2383	—	2	2	no	—
31	C₄×#126	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#2056	C₂²	1	6	yes	—
33	#2043	C₂²	1	6	yes	—
34	#2043	C₂²	1	6	yes	—
35	#2016	C₂²	1	6	yes	—
36	#2016	C₂²	1	6	yes	—
37	#2016	C₂²	1	6	yes	—
38	#2016	C₂²	1	6	yes	—
39	#2001	C₂²	1	6	yes	—
40	#1969	C₂²	1	3	yes	—
41	#1969	C₂²	1	3	yes	—
42	#1969	C₂²	1	3	yes	—
43	#1942	C₂²	1	3	yes	—
44	#1933	C₂²	1	6	yes	—
45	#1923	C₂²	1	3	yes	—
46	#1916	C₂²	1	3	yes	—
47	#1878	C₂²	1	6	yes	—
48	#1878	C₂²	1	6	yes	—
49	#1839	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
51	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
52	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×Q₁₆	—	4	6	no	—
55	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	3	yes	—
56	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	6	yes	—
59	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	6	yes	—
60	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	6	yes	—
61	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
66	C₂×#126	D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
68	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
69	#494	—	4	6	no	—
70	#494	—	4	6	no	—
71	#494	—	4	6	no	—
72	#494	—	4	12	no	—
73	#467	—	4	6	no	—
74	#462	—	4	12	no	—
75	#451	—	4	12	no	—
76	C₄×Q₁₆	—	4	6	no	—
77	C₂×#107	C₂³	1	3	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
79	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
80	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
81	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
82	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
83	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
84	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
88	#400	—	2	6	no	—
89	#398	—	2	6	no	—
90	#398	—	2	6	no	—
91	#398	—	2	6	no	—
92	#398	—	2	6	no	—
93	#396	—	2	6	no	—
94	#395	—	2	6	no	—
95	#395	—	2	6	no	—
96	#391	C₂³	1	6	yes	—
97	#391	C₂³	1	6	yes	—
98	#391	C₂³	1	6	yes	—
99	#389	—	2	6	no	—
100	#389	—	2	6	no	—
101	#389	—	2	6	no	—
102	#389	C₂³	1	6	yes	—
103	#388	—	2	6	no	—
104	#388	D₄	1	3	yes	—
105	#387	—	2	6	no	—
106	#387	—	2	6	no	—
107	#387	—	2	6	no	—
108	#387	D₄	1	3	yes	—
109	#385	—	2	6	no	—
110	#385	—	2	6	no	—
111	#384	—	2	2	no	—
112	#384	—	2	6	no	—
113	#383	—	2	2	no	—
114	#383	D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
116	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
117	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	#340	C₂³	1	6	yes	—
119	#336	C₂³	1	3	yes	—
120	#336	C₂³	1	3	yes	—
121	#336	C₂³	1	3	yes	—
122	#336	C₂³	1	3	yes	—
123	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×Q₈	—	4	6	no	—
125	C₂²×Q₈	—	4	6	no	—
126	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	6	yes	—
127	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
128	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
129	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
131	C₂×Q₁₆	—	2	6	no	—
132	C₂×Q₁₆	—	2	6	no	—
133	C₂×Q₁₆	—	2	6	no	—
134	C₂×Q₁₆	—	2	6	no	—
135	C₂×Q₁₆	—	2	6	no	—
136	C₂×Q₁₆	—	2	12	no	—
137	C₂×Q₁₆	—	2	12	no	—
138	C₂×Q₁₆	—	4	6	no	—
139	C₂×Q₁₆	—	4	6	no	—
140	C₂×Q₁₆	—	4	6	no	—
141	C₂×Q₁₆	—	4	6	no	—
142	C₂×Q₁₆	—	4	6	no	—
143	C₂×Q₁₆	—	4	6	no	—
144	C₂×Q₁₆	—	4	6	no	—
145	C₂×Q₁₆	—	4	6	no	—
146	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
148	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	C₄⋊Q₈	—	4	6	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	4	6	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	4	6	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	4	6	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	4	6	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	4	6	no	—
158	#126	Q₁₆	1	8	yes	complemented
159	C₂²⋊Q₈	—	4	6	no	—
160	C₂²⋊Q₈	—	4	6	no	—
161	C₄×Q₈	—	4	6	no	—
162	C₄×Q₈	—	4	6	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
178	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
183	#107	—	2	6	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
185	#103	—	2	12	no	—
186	#103	—	4	6	no	—
187	#103	—	4	6	no	—
188	#103	—	4	6	no	—
189	#103	—	4	6	no	—
190	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
191	C₄×C₈	—	2	6	no	—
192	C₄×C₈	—	2	6	no	—
193	C₄×C₈	—	2	6	no	—
194	#95	—	2	6	no	—
195	#95	—	2	6	no	—
196	#95	—	2	6	no	—
197	#95	—	2	6	no	—
198	#95	—	2	6	no	—
199	#95	—	2	6	no	—
200	#95	—	2	6	no	—
201	#95	C₂×D₄	1	3	yes	—
202	#95	C₂×D₄	1	3	yes	—
203	#95	C₂×D₄	1	3	yes	—
204	#95	C₂×D₄	1	3	yes	—
205	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
217	C₂×Q₈	—	8	6	no	—
218	C₂×Q₈	—	8	12	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
225	C₂²×C₄	—	8	6	no	—
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
232	Q₁₆	—	4	8	no	—
233	Q₁₆	—	4	12	no	—
234	Q₁₆	—	4	4	no	—
235	Q₁₆	—	4	4	no	—
236	Q₁₆	—	8	12	no	—
237	Q₁₆	—	8	12	no	—
238	Q₁₆	—	8	12	no	—
239	C₂×C₈	—	2	3	no	—
240	C₂×C₈	—	2	3	no	—
241	C₂×C₈	—	2	3	no	—
242	C₂×C₈	—	2	3	no	—
243	C₂×C₈	—	2	3	no	—
244	C₂×C₈	—	2	3	no	—
245	C₂×C₈	—	4	4	no	—
246	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
247	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
248	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
252	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
253	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
254	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
255	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
256	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
257	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
258	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
259	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
260	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	12	yes	complemented
261	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
263	C₂²⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	12	yes	—
264	C₄²	—	2	6	no	—
265	C₄²	—	2	3	no	—
266	C₄²	—	2	3	no	—
267	C₄²	—	2	3	no	—
268	C₄²	—	2	3	no	—
269	C₄²	—	8	6	no	—
270	C₄²	C₂×Q₁₆	1	4	yes	complemented
271	C₂³	—	2	3	no	—
272	C₂³	—	2	3	no	—
273	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
274	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
275	Q₈	—	4	2	no	—
276	Q₈	—	4	2	no	—
277	Q₈	—	4	6	no	—
278	Q₈	—	4	6	no	—
279	Q₈	—	4	6	no	—
280	Q₈	—	4	6	no	—
281	Q₈	—	4	6	no	—
282	Q₈	—	4	6	no	—
283	Q₈	—	8	8	no	—
284	C₂×C₄	—	2	3	no	—
285	C₂×C₄	—	2	3	no	—
286	C₂×C₄	—	2	3	no	—
287	C₂×C₄	—	2	3	no	—
288	C₂×C₄	—	2	3	no	—
289	C₂×C₄	—	2	3	no	—
290	C₂×C₄	—	2	3	no	—
291	C₂×C₄	—	2	3	no	—
292	C₂×C₄	—	2	3	no	—
293	C₂×C₄	—	2	3	no	—
294	C₂×C₄	—	4	1	no	—
295	C₂×C₄	—	4	3	no	—
296	C₂×C₄	—	4	6	no	—
297	C₂×C₄	—	4	6	no	—
298	C₂×C₄	—	4	6	no	—
299	C₂×C₄	—	4	6	no	—
300	C₂×C₄	—	4	6	no	—
301	C₂×C₄	—	4	6	no	—
302	C₂×C₄	—	4	12	no	—
303	C₂×C₄	—	8	8	no	—
304	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	6	yes	—
305	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	6	yes	—
306	C₂×C₄	#578	1	6	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
309	C₈	—	2	6	no	—
310	C₈	—	4	1	no	—
311	C₈	—	4	3	no	—
312	C₈	#560	1	4	yes	—
313	C₂²	—	2	6	no	—
314	C₂²	—	4	1	no	—
315	C₂²	—	4	3	no	—
316	C₂²	#3498	1	3	yes	—
317	C₂²	C₂³×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	C₂×#578	1	3	yes	—
319	C₄	—	2	6	no	—
320	C₄	—	2	6	no	—
321	C₄	—	2	6	no	—
322	C₄	—	4	1	no	—
323	C₄	—	4	3	no	—
324	C₄	—	8	2	no	—
325	C₄	—	8	2	no	—
326	C₄	—	8	6	no	—
327	C₄	—	8	6	no	—
328	C₄	C₂×#560	1	1	yes	characteristic
329	C₄	#3543	1	3	yes	—
330	C₂	—	4	2	no	—
331	C₂	#45992	1	1	yes	characteristic
332	C₂	#62416	1	3	yes	—
333	C₂	#62432	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#126 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33302	C₂	semidirect
3. #33267	C₂	semidirect
4. #32801	C₂	semidirect
5. #30744	C₂	semidirect
7. #28462	C₂	semidirect
8. #26255	C₂	semidirect
158. #126	Q₁₆	semidirect
260. C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	semidirect
270. C₄²	C₂×Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#46002	2
#33302	2
#33267	2
#32801	2
#30744	2
#30449	2
#28462	2
#26255	2
#25780	2
#25415	2
C₈×#126	2