Subgroups — #7224713

Order 512.

1917 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 378 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#46010	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#33301	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33267	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#32798	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#30735	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#30447	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	#28465	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#26254	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	#25777	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	#25414	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
11	C₈×#126	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#495	C₂²	1	3	yes	—
14	C₂×#493	C₂²	1	6	yes	—
15	C₂×#493	C₂²	1	3	yes	—
16	C₂×#493	C₂²	1	3	yes	—
17	C₂×#466	C₂²	1	3	yes	—
18	C₂×#463	C₂²	1	6	yes	—
19	C₂×#449	C₂²	1	6	yes	—
20	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	3	yes	—
21	#2867	C₂²	1	2	yes	—
22	#2863	C₂²	1	2	yes	—
23	#2818	—	2	2	no	—
24	#2709	—	2	6	no	—
25	#2673	—	2	6	no	—
26	#2544	C₂²	1	6	yes	—
27	#2445	C₂²	1	6	yes	—
28	#2431	C₂²	1	6	yes	—
29	#2428	C₂²	1	6	yes	—
30	#2380	—	2	2	no	—
31	C₄×#126	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#2054	C₂²	1	6	yes	—
33	#2041	C₂²	1	6	yes	—
34	#2041	C₂²	1	6	yes	—
35	#2014	C₂²	1	6	yes	—
36	#2014	C₂²	1	6	yes	—
37	#2012	C₂²	1	6	yes	—
38	#2012	C₂²	1	6	yes	—
39	#1999	C₂²	1	6	yes	—
40	#1970	C₂²	1	3	yes	—
41	#1970	C₂²	1	3	yes	—
42	#1969	C₂²	1	3	yes	—
43	#1942	C₂²	1	3	yes	—
44	#1933	C₂²	1	6	yes	—
45	#1923	C₂²	1	3	yes	—
46	#1916	C₂²	1	3	yes	—
47	#1879	C₂²	1	6	yes	—
48	#1879	C₂²	1	6	yes	—
49	#1839	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
51	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
52	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×#135	—	4	6	no	—
55	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	6	yes	—
57	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×D₈	C₂³	1	3	yes	—
59	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×D₈	C₂³	1	6	yes	—
61	C₂²×D₈	C₂³	1	6	yes	—
62	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#127	—	2	2	no	—
64	C₂×#127	—	2	6	no	—
65	C₂×#127	C₂³	1	6	yes	—
66	C₂×#127	C₂³	1	6	yes	—
67	C₂×#126	D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×#124	C₂³	1	6	yes	—
69	C₂×#123	—	2	6	no	—
70	C₂×#121	—	2	6	no	—
71	C₂×#121	C₂³	1	6	yes	—
72	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	6	yes	—
73	#495	—	4	6	no	—
74	#493	—	4	6	no	—
75	#493	—	4	6	no	—
76	#493	—	4	12	no	—
77	#466	—	4	6	no	—
78	#463	—	4	12	no	—
79	#449	—	4	12	no	—
80	C₄×D₈	—	4	6	no	—
81	C₂×#107	C₂³	1	3	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
83	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
84	C₂×#102	C₂³	1	6	yes	—
85	C₂×#102	C₂³	1	6	yes	—
86	C₂×#102	C₂³	1	6	yes	—
87	C₂×#102	C₂³	1	6	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
92	#394	—	2	6	no	—
93	#394	—	2	6	no	—
94	#394	—	2	6	no	—
95	#394	—	2	6	no	—
96	#394	—	2	6	no	—
97	#392	—	2	6	no	—
98	#392	—	2	6	no	—
99	#392	—	2	6	no	—
100	#391	C₂³	1	6	yes	—
101	#390	C₂³	1	6	yes	—
102	#390	C₂³	1	6	yes	—
103	#389	C₂³	1	6	yes	—
104	#388	D₄	1	3	yes	—
105	#387	—	2	6	no	—
106	#387	D₄	1	3	yes	—
107	#386	—	2	6	no	—
108	#386	—	2	6	no	—
109	#386	—	2	6	no	—
110	#386	—	2	6	no	—
111	#386	—	2	6	no	—
112	#386	—	2	6	no	—
113	#383	—	2	2	no	—
114	#383	D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
116	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
117	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	#340	C₂³	1	6	yes	—
119	#336	C₂³	1	3	yes	—
120	#336	C₂³	1	3	yes	—
121	#336	C₂³	1	3	yes	—
122	#336	C₂³	1	3	yes	—
123	C₂×#41	—	4	6	no	—
124	C₂×#41	—	4	6	no	—
125	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
126	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
132	C₂²×D₄	C₂⁴	1	6	yes	—
133	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
134	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
135	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
137	#135	—	4	16	no	—
138	C₂×Q₁₆	—	2	6	no	—
139	C₂×SD₁₆	—	4	6	no	—
140	C₂×SD₁₆	—	4	6	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	4	6	no	—
142	C₂×SD₁₆	—	4	6	no	—
143	C₂×D₈	—	2	6	no	—
144	C₂×D₈	—	2	6	no	—
145	C₂×D₈	—	2	6	no	—
146	C₂×D₈	—	2	6	no	—
147	C₂×D₈	—	2	12	no	—
148	C₂×D₈	—	2	12	no	—
149	C₂×D₈	—	4	6	no	—
150	C₂×D₈	—	4	6	no	—
151	C₂×D₈	—	4	6	no	—
152	C₂×D₈	—	4	6	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
154	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
158	#127	—	4	6	no	—
159	#127	—	4	6	no	—
160	#127	—	4	6	no	—
161	#127	—	4	6	no	—
162	#127	—	4	8	no	—
163	#127	—	8	12	no	—
164	#126	—	2	4	no	—
165	#124	—	4	6	no	—
166	#124	—	4	6	no	—
167	#123	—	8	12	no	—
168	#121	—	4	6	no	—
169	#121	—	4	6	no	—
170	#121	—	8	12	no	—
171	C₄×D₄	—	4	6	no	—
172	C₄×D₄	—	4	6	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
191	#107	—	2	6	no	—
192	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
193	#103	—	2	12	no	—
194	#102	—	4	6	no	—
195	#102	—	4	6	no	—
196	#102	—	4	6	no	—
197	#102	—	4	6	no	—
198	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
199	C₄×C₈	—	2	6	no	—
200	C₄×C₈	—	2	6	no	—
201	C₄×C₈	—	2	6	no	—
202	#95	—	2	6	no	—
203	#95	—	2	6	no	—
204	#95	—	2	6	no	—
205	#95	C₂×D₄	1	3	yes	—
206	#95	C₂×D₄	1	3	yes	—
207	#95	C₂×D₄	1	3	yes	—
208	#95	C₂×D₄	1	3	yes	—
209	C₂⁴	—	2	6	no	—
210	C₂⁴	—	2	2	no	—
211	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	#41	—	4	8	no	—
213	#41	—	8	12	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
216	C₂×D₄	—	2	6	no	—
217	C₂×D₄	—	2	6	no	—
218	C₂×D₄	—	2	6	no	—
219	C₂×D₄	—	2	6	no	—
220	C₂×D₄	—	2	6	no	—
221	C₂×D₄	—	2	6	no	—
222	C₂×D₄	—	2	6	no	—
223	C₂×D₄	—	2	6	no	—
224	C₂×D₄	—	4	12	no	—
225	C₂×D₄	—	4	12	no	—
226	C₂×D₄	—	4	12	no	—
227	C₂×D₄	—	4	12	no	—
228	C₂×D₄	—	8	6	no	—
229	C₂×D₄	—	8	6	no	—
230	C₂×D₄	—	8	6	no	—
231	C₂×D₄	—	8	6	no	—
232	C₂×D₄	—	8	6	no	—
233	C₂×D₄	—	8	6	no	—
234	C₂×D₄	—	8	6	no	—
235	C₂×D₄	—	8	6	no	—
236	C₂×D₄	—	8	6	no	—
237	C₂×D₄	—	8	6	no	—
238	C₂×D₄	—	8	6	no	—
239	C₂×D₄	—	8	6	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
244	C₂²×C₄	—	8	6	no	—
245	C₂²×C₄	—	8	6	no	—
246	C₂²×C₄	—	8	6	no	—
247	C₂²×C₄	—	8	6	no	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
254	Q₁₆	—	4	4	no	—
255	SD₁₆	—	4	8	no	—
256	SD₁₆	—	8	12	no	—
257	D₈	—	4	12	no	—
258	D₈	—	4	4	no	—
259	D₈	—	8	12	no	—
260	D₈	—	8	12	no	—
261	C₂×C₈	—	2	3	no	—
262	C₂×C₈	—	2	3	no	—
263	C₂×C₈	—	2	3	no	—
264	C₂×C₈	—	2	3	no	—
265	C₂×C₈	—	2	3	no	—
266	C₂×C₈	—	2	3	no	—
267	C₂×C₈	—	4	4	no	—
268	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
269	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
270	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
285	C₄²	—	2	6	no	—
286	C₄²	—	2	3	no	—
287	C₄²	—	2	3	no	—
288	C₄²	—	2	3	no	—
289	C₄²	—	2	3	no	—
290	C₄²	#135	1	4	yes	complemented
291	C₂³	—	2	3	no	—
292	C₂³	—	2	1	no	—
293	C₂³	—	2	3	no	—
294	C₂³	—	4	6	no	—
295	C₂³	—	4	6	no	—
296	C₂³	—	4	6	no	—
297	C₂³	—	4	6	no	—
298	C₂³	—	4	6	no	—
299	C₂³	—	4	2	no	—
300	C₂³	—	4	6	no	—
301	C₂³	—	4	6	no	—
302	C₂³	—	4	6	no	—
303	C₂³	—	4	6	no	—
304	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
305	Q₈	—	4	2	no	—
306	Q₈	—	4	6	no	—
307	D₄	—	4	2	no	—
308	D₄	—	4	6	no	—
309	D₄	—	4	6	no	—
310	D₄	—	4	6	no	—
311	D₄	—	4	6	no	—
312	D₄	—	4	6	no	—
313	D₄	—	8	8	no	—
314	D₄	—	16	12	no	—
315	D₄	—	16	12	no	—
316	D₄	—	16	12	no	—
317	D₄	—	16	12	no	—
318	D₄	—	16	12	no	—
319	C₂×C₄	—	2	3	no	—
320	C₂×C₄	—	2	3	no	—
321	C₂×C₄	—	2	3	no	—
322	C₂×C₄	—	2	3	no	—
323	C₂×C₄	—	2	3	no	—
324	C₂×C₄	—	2	3	no	—
325	C₂×C₄	—	2	3	no	—
326	C₂×C₄	—	2	3	no	—
327	C₂×C₄	—	2	3	no	—
328	C₂×C₄	—	2	3	no	—
329	C₂×C₄	—	2	3	no	—
330	C₂×C₄	—	4	1	no	—
331	C₂×C₄	—	4	3	no	—
332	C₂×C₄	—	4	6	no	—
333	C₂×C₄	—	4	6	no	—
334	C₂×C₄	—	4	6	no	—
335	C₂×C₄	—	4	6	no	—
336	C₂×C₄	—	8	8	no	—
337	C₂×C₄	—	16	12	no	—
338	C₂×C₄	C₂×#135	1	6	yes	—
339	C₂×C₄	#576	1	6	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
342	C₈	—	2	6	no	—
343	C₈	—	4	1	no	—
344	C₈	—	4	3	no	—
345	C₈	#560	1	4	yes	—
346	C₂²	—	4	1	no	—
347	C₂²	—	4	3	no	—
348	C₂²	—	4	3	no	—
349	C₂²	—	8	2	no	—
350	C₂²	—	8	6	no	—
351	C₂²	—	8	6	no	—
352	C₂²	—	8	6	no	—
353	C₂²	—	8	6	no	—
354	C₂²	—	8	6	no	—
355	C₂²	—	8	6	no	—
356	C₂²	—	8	6	no	—
357	C₂²	—	8	6	no	—
358	C₂²	—	8	6	no	—
359	C₂²	#3498	1	3	yes	—
360	C₂²	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	C₂×#576	1	3	yes	—
362	C₄	—	2	6	no	—
363	C₄	—	2	6	no	—
364	C₄	—	4	1	no	—
365	C₄	—	4	3	no	—
366	C₄	—	4	3	no	—
367	C₄	—	8	2	no	—
368	C₄	—	8	6	no	—
369	C₄	C₂×#560	1	1	yes	characteristic
370	C₄	#3543	1	3	yes	—
371	C₂	—	8	1	no	—
372	C₂	—	16	2	no	—
373	C₂	—	16	6	no	—
374	C₂	#45992	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#62417	1	3	yes	—
376	C₂	#62431	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#126 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #46010	C₂	semidirect
2. #33301	C₂	semidirect
3. #33267	C₂	semidirect
4. #32798	C₂	semidirect
5. #30735	C₂	semidirect
6. #30447	C₂	semidirect
7. #28465	C₂	semidirect
8. #26254	C₂	semidirect
9. #25777	C₂	semidirect
10. #25414	C₂	semidirect
11. C₈×#126	C₂	semidirect
290. C₄²	#135	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#46010	2
#33301	2
#33267	2
#32798	2
#30735	2
#30447	2
#28465	2
#26254	2
#25777	2
#25414	2
C₈×#126	2