Subgroups — #7224780

Order 512.

1675 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 352 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#53043	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#33309	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33272	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#32804	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#30758	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#30464	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	#28466	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#26253	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	#25781	C₂	1	3	yes	maximal
10	#25415	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
11	#21668	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#497	C₂²	1	6	yes	complemented
14	C₂×#495	C₂²	1	3	yes	—
15	C₂×#495	C₂²	1	3	yes	—
16	C₂×#494	C₂²	1	3	yes	complemented
17	C₂×#467	C₂²	1	3	yes	—
18	C₂×#464	C₂²	1	6	yes	complemented
19	C₂×#450	C₂²	1	6	yes	—
20	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	3	yes	complemented
21	#2842	—	2	2	no	—
22	#2837	—	2	6	no	—
23	#2801	—	2	2	no	—
24	#2735	—	2	6	no	—
25	#2658	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#2644	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#2545	C₂²	1	6	yes	complemented
28	#2448	C₂²	1	6	yes	complemented
29	#2435	C₂²	1	6	yes	—
30	#2429	C₂²	1	6	yes	—
31	#2401	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#2055	C₂²	1	6	yes	complemented
33	#2043	C₂²	1	6	yes	complemented
34	#2042	C₂²	1	6	yes	complemented
35	#2015	C₂²	1	6	yes	complemented
36	#2013	C₂²	1	6	yes	complemented
37	#2012	C₂²	1	6	yes	—
38	#2012	C₂²	1	6	yes	—
39	#2001	C₂²	1	6	yes	—
40	#1970	C₂²	1	3	yes	—
41	#1970	C₂²	1	3	yes	—
42	#1969	C₂²	1	3	yes	complemented
43	#1942	C₂²	1	3	yes	complemented
44	#1936	C₂²	1	6	yes	complemented
45	#1924	C₂²	1	3	yes	—
46	#1917	C₂²	1	3	yes	complemented
47	#1880	C₂²	1	6	yes	complemented
48	#1878	C₂²	1	6	yes	complemented
49	#1840	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
50	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	complemented
51	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
52	#1726	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
53	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	3	yes	—
55	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	6	yes	—
56	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	6	yes	—
57	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	6	yes	—
58	C₂²×D₈	—	4	6	no	—
59	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
64	C₂×#124	C₂³	1	6	yes	—
65	C₂×#124	C₂³	1	6	yes	—
66	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
67	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
68	#497	—	4	12	no	—
69	#495	—	4	6	no	—
70	#495	—	4	6	no	—
71	#494	—	4	6	no	—
72	#467	—	4	6	no	—
73	#464	—	4	12	no	—
74	#450	—	4	12	no	—
75	C₄×Q₁₆	—	4	6	no	—
76	C₂×#107	C₂³	1	3	yes	—
77	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
78	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
79	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
80	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
81	C₂×#102	C₂³	1	6	yes	—
82	C₂×#102	C₂³	1	6	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
84	C₂×#97	C₂³	1	3	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
87	#401	D₄	1	1	yes	characteristic
88	#400	D₄	1	3	yes	—
89	#399	—	2	6	no	—
90	#399	—	2	6	no	—
91	#399	—	2	2	no	—
92	#398	—	2	6	no	—
93	#397	—	2	6	no	—
94	#397	—	2	6	no	—
95	#397	D₄	1	3	yes	—
96	#396	—	2	6	no	—
97	#396	—	2	6	no	—
98	#396	—	2	6	no	—
99	#396	—	2	2	no	—
100	#396	D₄	1	1	yes	characteristic
101	#394	—	2	6	no	—
102	#394	—	2	6	no	—
103	#391	C₂³	1	6	yes	—
104	#390	C₂³	1	6	yes	—
105	#390	C₂³	1	6	yes	—
106	#389	—	2	6	no	—
107	#389	C₂³	1	6	yes	—
108	#388	—	2	6	no	—
109	#388	—	2	6	no	—
110	#388	—	2	6	no	—
111	#388	—	2	6	no	—
112	#388	—	2	6	no	—
113	#379	—	2	6	no	—
114	#379	—	2	6	no	—
115	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
116	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
117	#376	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	#340	C₂³	1	6	yes	—
119	#336	C₂³	1	3	yes	—
120	#336	C₂³	1	3	yes	—
121	#336	C₂³	1	3	yes	—
122	#336	C₂³	1	3	yes	—
123	C₂⁵	—	2	2	no	—
124	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	6	yes	—
125	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
127	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
128	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
129	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
131	C₂×Q₁₆	—	2	6	no	—
132	C₂×Q₁₆	—	2	6	no	—
133	C₂×Q₁₆	—	2	6	no	—
134	C₂×Q₁₆	—	2	12	no	—
135	C₂×Q₁₆	—	4	6	no	—
136	C₂×Q₁₆	—	4	6	no	—
137	C₂×SD₁₆	—	2	12	no	—
138	C₂×SD₁₆	—	4	6	no	—
139	C₂×SD₁₆	—	4	6	no	—
140	C₂×SD₁₆	—	4	6	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	4	6	no	—
142	C₂×SD₁₆	—	4	6	no	—
143	C₂×D₈	—	2	6	no	—
144	C₂×D₈	—	2	6	no	—
145	C₂×D₈	—	4	6	no	—
146	C₂×D₈	—	4	16	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
148	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	C₄⋊Q₈	—	4	6	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	4	6	no	—
154	#124	—	4	6	no	—
155	#124	—	4	6	no	—
156	#124	—	4	6	no	—
157	#124	—	4	6	no	—
158	C₂²⋊Q₈	—	4	6	no	—
159	C₂²⋊Q₈	—	4	6	no	—
160	C₄×Q₈	—	4	6	no	—
161	C₄×Q₈	—	4	6	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
181	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
182	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
184	#107	—	2	6	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
186	#103	—	4	6	no	—
187	#103	—	4	6	no	—
188	#103	—	4	6	no	—
189	#102	—	2	12	no	—
190	#102	—	4	6	no	—
191	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
192	#97	—	2	6	no	—
193	C₄×C₈	—	2	6	no	—
194	C₄×C₈	—	2	6	no	—
195	#95	—	2	6	no	—
196	#95	—	2	6	no	—
197	#95	—	2	6	no	—
198	#95	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
199	#95	C₂×D₄	1	3	yes	—
200	#95	C₂×D₄	1	3	yes	—
201	#95	C₂×D₄	1	3	yes	—
202	#95	C₂×D₄	1	3	yes	—
203	#95	C₂×D₄	1	3	yes	—
204	C₂⁴	—	2	2	no	—
205	C₂⁴	—	2	2	no	—
206	C₂⁴	—	4	4	no	—
207	C₂⁴	—	8	6	no	—
208	C₂⁴	—	8	6	no	—
209	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
216	C₂×D₄	—	2	6	no	—
217	C₂×D₄	—	2	6	no	—
218	C₂×D₄	—	2	6	no	—
219	C₂×D₄	—	2	6	no	—
220	C₂×D₄	—	4	8	no	—
221	C₂×D₄	—	8	6	no	—
222	C₂×D₄	—	8	12	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
233	Q₁₆	—	4	12	no	—
234	Q₁₆	—	8	12	no	—
235	SD₁₆	—	8	12	no	—
236	SD₁₆	—	8	12	no	—
237	D₈	—	4	8	no	—
238	D₈	—	4	4	no	—
239	D₈	—	4	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	3	no	—
241	C₂×C₈	—	2	3	no	—
242	C₂×C₈	—	2	3	no	—
243	C₂×C₈	—	2	3	no	—
244	C₂×C₈	—	2	3	no	—
245	C₂×C₈	—	2	3	no	—
246	C₂×C₈	—	4	4	no	—
247	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
248	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
249	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
253	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
254	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
255	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
256	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
257	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	3	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
269	C₄²	—	2	3	no	—
270	C₄²	—	2	3	no	—
271	C₄²	—	2	3	no	—
272	C₄²	—	2	3	no	—
273	C₄²	—	8	6	no	—
274	C₂³	—	2	3	no	—
275	C₂³	—	2	3	no	—
276	C₂³	—	4	6	no	—
277	C₂³	—	4	6	no	—
278	C₂³	—	4	6	no	—
279	C₂³	—	4	6	no	—
280	C₂³	—	4	2	no	—
281	C₂³	—	4	2	no	—
282	C₂³	—	8	8	no	—
283	C₂³	—	16	12	no	—
284	C₂³	—	16	12	no	—
285	C₂³	#578	1	2	yes	—
286	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
287	Q₈	—	4	6	no	—
288	Q₈	—	4	6	no	—
289	Q₈	—	4	6	no	—
290	Q₈	—	4	6	no	—
291	D₄	—	4	2	no	—
292	D₄	—	4	2	no	—
293	D₄	—	4	6	no	—
294	D₄	—	4	6	no	—
295	D₄	—	8	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	3	no	—
297	C₂×C₄	—	2	3	no	—
298	C₂×C₄	—	2	3	no	—
299	C₂×C₄	—	2	3	no	—
300	C₂×C₄	—	2	3	no	—
301	C₂×C₄	—	2	3	no	—
302	C₂×C₄	—	2	3	no	—
303	C₂×C₄	—	2	3	no	—
304	C₂×C₄	—	2	3	no	—
305	C₂×C₄	—	2	3	no	—
306	C₂×C₄	—	2	3	no	—
307	C₂×C₄	—	2	3	no	—
308	C₂×C₄	—	2	3	no	—
309	C₂×C₄	—	4	1	no	—
310	C₂×C₄	—	4	3	no	—
311	C₂×C₄	—	4	6	no	—
312	C₂×C₄	—	4	6	no	—
313	C₂×C₄	—	4	6	no	—
314	C₂×C₄	—	4	6	no	—
315	C₂×C₄	—	4	6	no	—
316	C₂×C₄	—	4	6	no	—
317	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
319	C₈	—	2	6	no	—
320	C₈	—	4	1	no	—
321	C₈	—	4	3	no	—
322	C₈	#560	1	4	yes	—
323	C₂²	—	2	6	no	—
324	C₂²	—	4	1	no	—
325	C₂²	—	4	3	no	—
326	C₂²	—	8	2	no	—
327	C₂²	—	8	2	no	—
328	C₂²	—	8	6	no	—
329	C₂²	—	8	6	no	—
330	C₂²	—	8	6	no	—
331	C₂²	—	8	6	no	—
332	C₂²	—	16	16	no	—
333	C₂²	#3498	1	3	yes	—
334	C₂²	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	#3584	1	3	yes	—
336	C₄	—	4	1	no	—
337	C₄	—	4	3	no	—
338	C₄	—	4	3	no	—
339	C₄	—	4	3	no	—
340	C₄	—	4	3	no	—
341	C₄	—	8	6	no	—
342	C₄	—	8	6	no	—
343	C₄	C₂×#560	1	1	yes	characteristic
344	C₄	#3543	1	3	yes	—
345	C₂	—	4	2	no	—
346	C₂	—	16	2	no	—
347	C₂	—	16	2	no	—
348	C₂	#45992	1	1	yes	characteristic
349	C₂	#62434	1	3	yes	—
350	C₂	#62437	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂³×D₈	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #2401 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #53043	C₂	semidirect
2. #33309	C₂	semidirect
3. #33272	C₂	semidirect
4. #32804	C₂	semidirect
5. #30758	C₂	semidirect
6. #30464	C₂	semidirect
7. #28466	C₂	semidirect
8. #26253	C₂	semidirect
10. #25415	C₂	semidirect
11. #21668	C₂	semidirect
13. C₂×#497	C₂²	semidirect
16. C₂×#494	C₂²	semidirect
18. C₂×#464	C₂²	semidirect
20. C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
25. #2658	C₂²	semidirect
26. #2644	C₂²	semidirect
27. #2545	C₂²	semidirect
28. #2448	C₂²	semidirect
32. #2055	C₂²	semidirect
33. #2043	C₂²	semidirect
34. #2042	C₂²	semidirect
35. #2015	C₂²	semidirect
36. #2013	C₂²	semidirect
42. #1969	C₂²	semidirect
43. #1942	C₂²	semidirect
44. #1936	C₂²	semidirect
46. #1917	C₂²	semidirect
47. #1880	C₂²	semidirect
48. #1878	C₂²	semidirect
49. #1840	C₂²	semidirect
50. C₈×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
52. #1726	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#53043	2
#33309	2
#33272	2
#32804	2
#30758	2
#30464	2
#28466	2
#26253	2
#25781	2
#25415	2
#21668	2