Subgroups — C₂²×#12000 #72286975

Order 1024.

3461 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 358 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×M₃₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#1564	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂³×#334	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#12000	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
5	C₂²×#1368	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂³×M₃₂	C₄	1	1	yes	characteristic
7	C₂³×M₃₂	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×#431	—	2	1	no	—
9	C₂³×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
10	C₂³×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×M₃₂	C₄	1	12	yes	—
12	C₂×C₄×M₃₂	C₂²	1	12	yes	—
13	C₂²×#346	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×C₁₆	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×#1564	—	2	6	no	—
16	C₂×#1564	C₂²	1	12	yes	—
17	C₂²×#335	—	2	1	no	—
18	C₂²×#334	—	2	1	no	—
19	C₂²×#334	—	2	6	no	—
20	C₂²×#334	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×#334	C₂²	1	12	yes	—
22	C₂²×#334	C₂²	1	2	yes	—
23	#12000	C₂²	1	64	yes	direct product factor
24	C₂×#1368	C₂²	1	48	yes	complemented
25	C₂⁴×C₈	—	4	1	no	—
26	C₂⁴×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂⁴×C₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
28	C₂³×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×M₃₂	—	2	8	no	—
30	C₂²×M₃₂	C₈	1	16	yes	complemented
31	C₂²×M₃₂	C₂×C₄	1	12	yes	—
32	C₂²×M₃₂	C₂×C₄	1	12	yes	—
33	C₂³×C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂³×C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂×#431	—	2	12	no	—
36	C₂×#431	—	4	6	no	—
37	C₂²×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
38	C₂²×C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
39	C₂²×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
40	C₂²×C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
41	C₂²×C₄⋊C₈	—	4	6	no	—
42	C₂²×C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
43	C₂²×C₄×C₈	—	4	1	no	—
44	C₂²×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₄×C₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
46	C₂²×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄×C₈	D₄	1	6	yes	—
48	C₂²×C₄×C₈	Q₈	1	6	yes	—
49	C₂²×C₄×C₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₄×C₈	C₂³	1	6	yes	—
52	C₄×M₃₂	C₂×C₄	1	48	yes	—
53	C₄×M₃₂	C₂³	1	16	yes	—
54	C₂×#346	C₂×C₄	1	12	yes	—
55	C₂×#346	C₂³	1	12	yes	—
56	C₂×C₄×C₁₆	C₂×C₄	1	24	yes	—
57	#1564	—	2	24	no	—
58	#1564	C₂³	1	16	yes	—
59	C₂×#335	—	2	12	no	—
60	C₂×#334	—	2	6	no	—
61	C₂×#334	—	2	12	no	—
62	C₂×#334	—	2	24	no	—
63	C₂×#334	—	2	6	no	—
64	C₂×#334	C₂³	1	12	yes	—
65	C₂×#334	C₂³	1	16	yes	—
66	C₂×#334	C₂³	1	12	yes	—
67	#1368	C₂³	1	64	yes	complemented
68	C₂⁴×C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂⁴×C₄	SD₁₆	1	1	yes	characteristic
70	C₂⁴×C₄	SD₁₆	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₈	—	2	8	no	—
72	C₂³×C₈	—	4	2	no	—
73	C₂³×C₈	—	4	2	no	—
74	C₂³×C₈	—	4	12	no	—
75	C₂³×C₈	—	8	8	no	—
76	C₂³×C₈	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂³×C₈	C₄⋊C₄	1	6	yes	—
78	C₂³×C₈	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₈	C₄⋊C₄	1	6	yes	—
80	C₂³×C₈	C₂×C₈	1	8	yes	—
81	C₂³×C₈	M₁₆	1	8	yes	—
82	C₂³×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
84	C₂³×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₈	C₂×Q₈	1	6	yes	—
86	C₂²×C₄²	C₄⋊C₄	1	6	yes	—
87	C₂²×C₄²	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄²	SD₁₆	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×C₄²	SD₁₆	1	6	yes	—
90	C₂²×C₄²	SD₁₆	1	6	yes	—
91	C₂²×C₄²	SD₁₆	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
94	C₂×M₃₂	—	2	48	no	—
95	C₂×M₃₂	C₂×C₈	1	96	yes	complemented
96	C₂×M₃₂	C₂²×C₄	1	16	yes	—
97	C₂×M₃₂	C₂²×C₄	1	16	yes	—
98	C₂²×C₁₆	—	2	8	no	—
99	C₂²×C₁₆	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
100	C₂²×C₁₆	C₂²×C₄	1	12	yes	—
101	C₂²×C₁₆	C₂²×C₄	1	12	yes	—
102	#431	—	2	16	no	—
103	#431	—	4	24	no	—
104	C₂×C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
105	C₂×C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
106	C₂×C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
107	C₂×C₄⋊C₈	—	4	6	no	—
108	C₂×C₄⋊C₈	—	4	12	no	—
109	C₂×C₄⋊C₈	—	4	24	no	—
110	C₂×C₄⋊C₈	—	4	6	no	—
111	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	12	no	—
112	C₂×C₄×C₈	—	4	12	no	—
113	C₂×C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	6	yes	—
114	C₂×C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	6	yes	—
115	C₂×C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	24	yes	—
116	C₂×C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	6	yes	—
117	C₂×C₄×C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
118	C₂×C₄×C₈	C₂²×C₄	1	3	yes	—
119	C₂×C₄×C₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
120	C₂×C₄×C₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
121	C₂×C₄×C₈	C₂×D₄	1	6	yes	—
122	C₂×C₄×C₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
123	C₂×C₄×C₈	C₂×Q₈	1	3	yes	—
124	C₂×C₄×C₈	C₂×Q₈	1	12	yes	—
125	C₂×C₄×C₈	C₂×Q₈	1	6	yes	—
126	C₂×C₄×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
127	C₂×C₄×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
128	#346	C₂²×C₄	1	24	yes	—
129	#346	C₂⁴	1	8	yes	—
130	C₄×C₁₆	C₂²×C₄	1	32	yes	—
131	#335	—	2	16	no	—
132	#334	—	2	12	no	—
133	#334	—	2	16	no	—
134	#334	—	2	12	no	—
135	#334	C₂⁴	1	8	yes	—
136	#334	C₂⁴	1	8	yes	—
137	C₂⁵	#106	1	1	yes	characteristic
138	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
139	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
140	C₂³×C₄	C₄⋊C₈	1	8	yes	—
141	C₂³×C₄	#106	1	1	yes	characteristic
142	C₂³×C₄	#106	1	6	yes	—
143	C₂³×C₄	#106	1	6	yes	—
144	C₂³×C₄	#106	1	6	yes	—
145	C₂³×C₄	#106	1	1	yes	characteristic
146	C₂³×C₄	#106	1	1	yes	characteristic
147	C₂³×C₄	#108	1	8	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
149	C₂³×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂³×C₄	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
151	C₂³×C₄	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
152	C₂³×C₄	C₂×SD₁₆	1	6	yes	—
153	C₂³×C₄	C₂×SD₁₆	1	6	yes	—
154	C₂²×C₈	—	2	24	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	24	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₈	—	4	12	no	—
159	C₂²×C₈	—	4	16	no	—
160	C₂²×C₈	—	4	12	no	—
161	C₂²×C₈	—	8	8	no	—
162	C₂²×C₈	—	8	8	no	—
163	C₂²×C₈	—	8	48	no	—
164	C₂²×C₈	C₄⋊C₈	1	48	yes	—
165	C₂²×C₈	C₄⋊C₈	1	8	yes	—
166	C₂²×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
167	C₂²×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
168	C₂²×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
169	C₂²×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
170	C₂²×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
171	C₂²×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
172	C₂²×C₈	C₂²×C₈	1	4	yes	—
173	C₂²×C₈	C₂²×C₈	1	24	yes	—
174	C₂²×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
175	C₂²×C₈	C₂×M₁₆	1	24	yes	—
176	C₂²×C₈	C₂³×C₄	1	3	yes	—
177	C₂²×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
178	C₂²×C₈	C₂²×Q₈	1	3	yes	—
179	C₂²×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
180	C₂×C₄²	#106	1	6	yes	—
181	C₂×C₄²	#106	1	24	yes	—
182	C₂×C₄²	#106	1	6	yes	—
183	C₂×C₄²	#106	1	6	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×SD₁₆	1	6	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×SD₁₆	1	3	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×SD₁₆	1	6	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂×SD₁₆	1	3	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×SD₁₆	1	12	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂×SD₁₆	1	12	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂²×D₄	1	3	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
195	M₃₂	—	2	32	no	—
196	M₃₂	C₂²×C₈	1	64	yes	complemented
197	C₂×C₁₆	—	2	24	no	—
198	C₂×C₁₆	C₂²×C₈	1	48	yes	complemented
199	C₂×C₁₆	C₂³×C₄	1	8	yes	—
200	C₂×C₁₆	C₂³×C₄	1	8	yes	—
201	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
202	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
203	C₄⋊C₈	—	4	12	no	—
204	C₄⋊C₈	—	4	16	no	—
205	C₄⋊C₈	—	4	12	no	—
206	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
207	C₄×C₈	—	4	16	no	—
208	C₄×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
209	C₄×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
210	C₄×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
211	C₄×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
212	C₄×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
213	C₄×C₈	C₂³×C₄	1	3	yes	—
214	C₄×C₈	C₂²×D₄	1	3	yes	—
215	C₄×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
216	C₄×C₈	C₂²×Q₈	1	3	yes	—
217	C₄×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
218	C₄×C₈	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
219	C₂⁴	—	2	4	no	—
220	C₂⁴	—	2	4	no	—
221	C₂⁴	#334	1	8	yes	—
222	C₂⁴	C₂×#106	1	6	yes	—
223	C₂⁴	C₂×#106	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
231	C₂²×C₄	#334	1	48	yes	—
232	C₂²×C₄	#334	1	8	yes	—
233	C₂²×C₄	#365	1	8	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	24	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×#106	1	3	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×#106	1	6	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×#106	1	3	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×#106	1	12	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×#106	1	12	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×#106	1	12	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×#106	1	6	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×#106	1	3	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×#106	1	6	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×#108	1	24	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×#108	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×SD₁₆	1	3	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×SD₁₆	1	3	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×SD₁₆	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×SD₁₆	1	4	yes	—
253	C₂×C₈	—	2	24	no	—
254	C₂×C₈	—	2	12	no	—
255	C₂×C₈	—	2	6	no	—
256	C₂×C₈	—	2	8	no	—
257	C₂×C₈	—	2	6	no	—
258	C₂×C₈	—	4	8	no	—
259	C₂×C₈	—	4	8	no	—
260	C₂×C₈	—	8	24	no	—
261	C₂×C₈	—	8	24	no	—
262	C₂×C₈	—	8	32	no	—
263	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₈	1	12	yes	—
264	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₈	1	48	yes	—
265	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₈	1	24	yes	—
266	C₂×C₈	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
267	C₂×C₈	C₂²×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
268	C₂×C₈	C₂²×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
269	C₂×C₈	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
270	C₂×C₈	C₂³×C₈	1	6	yes	—
271	C₂×C₈	C₂³×C₈	1	8	yes	—
272	C₂×C₈	C₂²×M₁₆	1	6	yes	—
273	C₂×C₈	C₂²×M₁₆	1	8	yes	—
274	C₂×C₈	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₈	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
276	C₄²	C₂×#106	1	6	yes	—
277	C₄²	C₂×#106	1	12	yes	—
278	C₄²	C₂×#106	1	12	yes	—
279	C₄²	C₂×#106	1	12	yes	—
280	C₄²	C₂²×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
281	C₄²	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
282	C₄²	C₂²×SD₁₆	1	4	yes	—
283	C₄²	C₂²×SD₁₆	1	3	yes	—
284	C₄²	C₂²×SD₁₆	1	4	yes	—
285	C₄²	C₂²×SD₁₆	1	3	yes	—
286	C₄²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₁₆	—	2	8	no	—
288	C₁₆	C₂³×C₈	1	16	yes	complemented
289	C₂³	—	2	12	no	—
290	C₂³	—	2	12	no	—
291	C₂³	—	2	32	no	—
292	C₂³	C₂×#334	1	24	yes	—
293	C₂³	C₂×#334	1	4	yes	—
294	C₂³	C₂×#365	1	4	yes	—
295	C₂³	#2155	1	4	yes	—
296	C₂³	C₂²×#106	1	4	yes	—
297	C₂³	C₂²×#106	1	3	yes	—
298	C₂×C₄	—	2	6	no	—
299	C₂×C₄	—	2	6	no	—
300	C₂×C₄	—	2	6	no	—
301	C₂×C₄	—	2	6	no	—
302	C₂×C₄	—	2	12	no	—
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	24	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	12	no	—
307	C₂×C₄	C₂×#334	1	48	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×#334	1	12	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×#334	1	24	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×#365	1	24	yes	—
311	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₈	1	8	yes	—
312	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₈	1	6	yes	—
313	C₂×C₄	C₂²×#106	1	3	yes	—
314	C₂×C₄	C₂²×#106	1	3	yes	—
315	C₂×C₄	C₂²×#106	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	C₂²×#106	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	C₂²×#106	1	3	yes	—
318	C₂×C₄	C₂²×#106	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	C₂²×#108	1	8	yes	—
320	C₂×C₄	C₂²×#108	1	6	yes	—
321	C₂×C₄	C₂³×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂³×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂³×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
324	C₈	—	2	4	no	—
325	C₈	—	2	3	no	—
326	C₈	—	2	1	no	—
327	C₈	—	8	8	no	—
328	C₈	—	8	8	no	—
329	C₈	C₂²×C₄⋊C₈	1	6	yes	—
330	C₈	C₂²×C₄⋊C₈	1	8	yes	—
331	C₈	C₂⁴×C₈	1	1	yes	characteristic
332	C₈	C₂³×M₁₆	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	—	2	4	no	—
334	C₂²	—	2	4	no	—
335	C₂²	—	2	48	no	—
336	C₂²	#12000	1	16	yes	direct product factor
337	C₂²	C₂²×#334	1	8	yes	—
338	C₂²	C₂²×#334	1	6	yes	—
339	C₂²	C₂²×#365	1	6	yes	—
340	C₂²	C₂×#2155	1	6	yes	—
341	C₂²	C₂³×#106	1	1	yes	characteristic
342	C₄	—	2	1	no	—
343	C₄	—	2	3	no	—
344	C₄	—	2	1	no	—
345	C₄	—	2	3	no	—
346	C₄	—	2	4	no	—
347	C₄	C₂²×#334	1	6	yes	—
348	C₄	C₂²×#334	1	8	yes	—
349	C₄	C₂²×#365	1	8	yes	—
350	C₄	C₂³×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
351	C₄	C₂³×#108	1	1	yes	characteristic
352	C₂	—	2	8	no	—
353	C₂	C₂×#12000	1	12	yes	direct product factor
354	C₂	C₂³×#334	1	1	yes	characteristic
355	C₂	C₂³×#365	1	1	yes	characteristic
356	C₂	C₂²×#2155	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³×C₄	#106
commutator	C₈	C₂⁴×C₈
Frattini, cosocle	C₄×C₈	C₂⁵
socle	C₂⁴	C₂×#106
prime radical	C₂⁵	#106
LCS	G ▷ C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂³×C₄² ◁ C₂³×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₄×C₈ ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₂×#12000	C₂	direct (N × H)
5. C₂²×#1368	C₂	semidirect
23. #12000	C₂²	direct (N × H)
24. C₂×#1368	C₂²	semidirect
30. C₂²×M₃₂	C₈	semidirect
67. #1368	C₂³	semidirect
95. C₂×M₃₂	C₂×C₈	semidirect
99. C₂²×C₁₆	C₂×C₈	semidirect
196. M₃₂	C₂²×C₈	semidirect
198. C₂×C₁₆	C₂²×C₈	semidirect
288. C₁₆	C₂³×C₈	semidirect
336. C₂²	#12000	direct (N × H)
353. C₂	C₂×#12000	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×M₃₂	2
C₂²×#1564	2
C₂³×#334	2
C₂×#12000	2
C₂²×#1368	2

Subgroups — C22×#12000 #72286975

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#12000 #72286975