Subgroups — C₂³×#2812 #72300214

Order 1024.

224677 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 300 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×#120	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂²×#2812	C₂	1	112	yes	maximal, direct product factor
3	C₂³×#397	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
4	C₂³×#394	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	C₂³×#392	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	C₂³×#379	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂⁸	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂⁵×D₄	C₂²	1	6	yes	—
9	C₂⁵×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
10	C₂³×#120	—	2	64	no	—
11	C₂³×#120	C₂²	1	112	yes	complemented
12	C₂⁴×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	complemented
13	C₂⁴×C₂²⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
14	C₂⁴×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
15	C₂⁴×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
16	C₂⁴×C₂²⋊C₄	C₂²	1	6	yes	complemented
17	C₂×#2812	C₂²	1	1792	yes	direct product factor
18	C₂²×#397	C₂²	1	168	yes	complemented
19	C₂²×#394	C₂²	1	336	yes	complemented
20	C₂²×#392	C₂²	1	168	yes	complemented
21	C₂²×#379	C₂²	1	56	yes	complemented
22	C₂³×#95	C₂²	1	3	yes	complemented
23	C₂³×#95	C₂²	1	3	yes	complemented
24	C₂⁷	—	4	24	no	—
25	C₂⁷	—	4	24	no	—
26	C₂⁷	D₄	1	32	yes	complemented
27	C₂⁷	C₂³	1	2	yes	—
28	C₂⁷	C₂³	1	3	yes	—
29	C₂⁷	C₂³	1	28	yes	—
30	C₂⁴×D₄	—	2	96	no	—
31	C₂⁴×D₄	—	4	48	no	—
32	C₂⁴×D₄	—	4	48	no	—
33	C₂⁴×D₄	—	4	24	no	—
34	C₂⁴×D₄	C₂³	1	168	yes	—
35	C₂⁴×D₄	C₂³	1	28	yes	complemented
36	C₂⁵×C₄	C₂³	1	6	yes	—
37	C₂⁵×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂⁵×C₄	C₂³	1	3	yes	—
39	C₂²×#120	—	2	1792	no	—
40	C₂²×#120	C₂³	1	896	yes	complemented
41	C₂³×C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
42	C₂³×C₄⋊C₄	C₂³	1	84	yes	complemented
43	C₂³×C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
44	C₂³×C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
45	C₂³×C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
46	C₂³×C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
47	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂³	1	168	yes	—
48	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂³	1	84	yes	—
49	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂³	1	84	yes	—
50	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂³	1	168	yes	complemented
51	#2812	C₂³	1	4096	yes	direct product factor
52	C₂×#397	C₂³	1	1344	yes	complemented
53	C₂×#394	C₂³	1	2688	yes	complemented
54	C₂×#392	C₂³	1	1344	yes	complemented
55	C₂×#379	C₂³	1	448	yes	complemented
56	C₂²×#95	C₂³	1	84	yes	complemented
57	C₂²×#95	C₂³	1	84	yes	complemented
58	C₂⁶	—	2	48	no	—
59	C₂⁶	—	2	48	no	—
60	C₂⁶	—	2	24	no	—
61	C₂⁶	—	2	24	no	—
62	C₂⁶	—	2	16	no	—
63	C₂⁶	—	2	48	no	—
64	C₂⁶	—	2	48	no	—
65	C₂⁶	—	4	768	no	—
66	C₂⁶	—	4	336	no	—
67	C₂⁶	—	4	336	no	—
68	C₂⁶	—	4	768	no	—
69	C₂⁶	—	4	256	no	—
70	C₂⁶	C₂×D₄	1	48	yes	—
71	C₂⁶	C₂×D₄	1	448	yes	complemented
72	C₂⁶	C₂⁴	1	28	yes	—
73	C₂⁶	C₂⁴	1	42	yes	—
74	C₂⁶	C₂⁴	1	112	yes	—
75	C₂⁶	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
76	C₂³×D₄	—	2	1344	no	—
77	C₂³×D₄	—	4	672	no	—
78	C₂³×D₄	—	4	672	no	—
79	C₂³×D₄	—	4	336	no	—
80	C₂³×D₄	—	4	1536	no	—
81	C₂³×D₄	—	4	256	no	—
82	C₂³×D₄	C₂⁴	1	672	yes	—
83	C₂³×D₄	C₂⁴	1	112	yes	complemented
84	C₂⁴×C₄	—	2	48	no	—
85	C₂⁴×C₄	—	2	48	no	—
86	C₂⁴×C₄	—	2	24	no	—
87	C₂⁴×C₄	—	2	48	no	—
88	C₂⁴×C₄	—	2	48	no	—
89	C₂⁴×C₄	—	2	24	no	—
90	C₂⁴×C₄	C₂⁴	1	84	yes	—
91	C₂⁴×C₄	C₂⁴	1	14	yes	—
92	C₂⁴×C₄	C₂⁴	1	42	yes	—
93	C₂×#120	—	2	7168	no	—
94	C₂×#120	C₂⁴	1	1024	yes	complemented
95	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	336	no	—
96	C₂²×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	336	yes	complemented
97	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1344	no	—
98	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	336	no	—
99	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	336	no	—
100	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	672	no	—
101	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	672	yes	—
102	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	336	yes	—
103	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	336	yes	—
104	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	672	yes	complemented
105	#397	C₂⁴	1	1536	yes	complemented
106	#394	C₂⁴	1	3072	yes	complemented
107	#392	C₂⁴	1	1536	yes	complemented
108	#379	C₂⁴	1	512	yes	complemented
109	C₂×#95	C₂⁴	1	336	yes	complemented
110	C₂×#95	C₂⁴	1	336	yes	complemented
111	C₂⁵	—	2	768	no	—
112	C₂⁵	—	2	384	no	—
113	C₂⁵	—	2	168	no	—
114	C₂⁵	—	2	168	no	—
115	C₂⁵	—	2	336	no	—
116	C₂⁵	—	2	336	no	—
117	C₂⁵	—	2	112	no	—
118	C₂⁵	—	2	336	no	—
119	C₂⁵	—	2	336	no	—
120	C₂⁵	—	4	5376	no	—
121	C₂⁵	—	4	672	no	—
122	C₂⁵	—	4	672	no	—
123	C₂⁵	—	4	5376	no	—
124	C₂⁵	—	4	1792	no	—
125	C₂⁵	—	4	8192	no	—
126	C₂⁵	—	4	192	no	—
127	C₂⁵	—	4	384	no	—
128	C₂⁵	—	4	192	no	—
129	C₂⁵	—	4	384	no	—
130	C₂⁵	—	4	384	no	—
131	C₂⁵	—	4	128	no	—
132	C₂⁵	C₂²×D₄	1	336	yes	—
133	C₂⁵	C₂²×D₄	1	8	yes	—
134	C₂⁵	C₂²×D₄	1	896	yes	complemented
135	C₂⁵	H(5,𝔽₂)	1	24	yes	—
136	C₂⁵	H(5,𝔽₂)	1	24	yes	—
137	C₂⁵	C₂⁵	1	56	yes	—
138	C₂⁵	C₂⁵	1	84	yes	—
139	C₂⁵	C₂⁵	1	64	yes	—
140	C₂⁵	C₂⁵	1	7	yes	—
141	C₂²×D₄	—	2	2688	no	—
142	C₂²×D₄	—	4	1344	no	—
143	C₂²×D₄	—	4	1344	no	—
144	C₂²×D₄	—	4	672	no	—
145	C₂²×D₄	—	4	10752	no	—
146	C₂²×D₄	—	4	1792	no	—
147	C₂²×D₄	C₂⁵	1	384	yes	—
148	C₂²×D₄	C₂⁵	1	64	yes	complemented
149	C₂³×C₄	—	2	336	no	—
150	C₂³×C₄	—	2	336	no	—
151	C₂³×C₄	—	2	168	no	—
152	C₂³×C₄	—	2	336	no	—
153	C₂³×C₄	—	2	168	no	—
154	C₂³×C₄	—	2	336	no	—
155	C₂³×C₄	—	4	384	no	—
156	C₂³×C₄	—	4	192	no	—
157	C₂³×C₄	—	4	64	no	—
158	C₂³×C₄	C₂⁵	1	84	yes	—
159	C₂³×C₄	C₂⁵	1	28	yes	—
160	C₂³×C₄	C₂⁵	1	168	yes	—
161	#120	—	2	4096	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	4	672	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁵	1	192	yes	complemented
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2688	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	672	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	672	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1344	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁵	1	384	yes	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁵	1	192	yes	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁵	1	192	yes	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁵	1	384	yes	complemented
172	#95	C₂⁵	1	192	yes	complemented
173	#95	C₂⁵	1	192	yes	complemented
174	C₂⁴	—	2	168	no	—
175	C₂⁴	—	2	168	no	—
176	C₂⁴	—	2	336	no	—
177	C₂⁴	—	2	336	no	—
178	C₂⁴	—	2	2688	no	—
179	C₂⁴	—	2	1344	no	—
180	C₂⁴	—	2	112	no	—
181	C₂⁴	—	2	336	no	—
182	C₂⁴	—	2	336	no	—
183	C₂⁴	—	4	5376	no	—
184	C₂⁴	—	4	192	no	—
185	C₂⁴	—	4	192	no	—
186	C₂⁴	—	4	28672	no	—
187	C₂⁴	—	4	5376	no	—
188	C₂⁴	—	4	1792	no	—
189	C₂⁴	—	4	1344	no	—
190	C₂⁴	—	4	672	no	—
191	C₂⁴	—	4	672	no	—
192	C₂⁴	—	4	3072	no	—
193	C₂⁴	—	4	1344	no	—
194	C₂⁴	—	4	1344	no	—
195	C₂⁴	—	4	448	no	—
196	C₂⁴	—	8	1024	no	—
197	C₂⁴	#534	1	192	yes	—
198	C₂⁴	#560	1	192	yes	—
199	C₂⁴	H(3,𝔽₄)	1	64	yes	—
200	C₂⁴	C₂³×D₄	1	336	yes	—
201	C₂⁴	C₂³×D₄	1	28	yes	—
202	C₂⁴	C₂³×D₄	1	256	yes	complemented
203	C₂⁴	C₂×H(5,𝔽₂)	1	84	yes	—
204	C₂⁴	C₂×H(5,𝔽₂)	1	84	yes	—
205	C₂⁴	C₂⁶	1	16	yes	—
206	C₂⁴	C₂⁶	1	24	yes	—
207	C₂⁴	C₂⁶	1	7	yes	—
208	C₂×D₄	—	2	768	no	—
209	C₂×D₄	—	4	384	no	—
210	C₂×D₄	—	4	384	no	—
211	C₂×D₄	—	4	192	no	—
212	C₂×D₄	—	4	10752	no	—
213	C₂×D₄	—	4	1792	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	336	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	336	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	168	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	336	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	168	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	336	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	1344	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	672	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	224	no	—
223	C₂²×C₄	C₂⁶	1	8	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂⁶	1	48	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂⁶	1	24	yes	—
226	C₄⋊C₄	—	4	192	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	2	768	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	4	192	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	4	192	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	4	384	no	—
231	C₂³	—	2	24	no	—
232	C₂³	—	2	24	no	—
233	C₂³	—	2	48	no	—
234	C₂³	—	2	48	no	—
235	C₂³	—	2	1344	no	—
236	C₂³	—	2	672	no	—
237	C₂³	—	2	16	no	—
238	C₂³	—	2	48	no	—
239	C₂³	—	2	48	no	—
240	C₂³	—	4	768	no	—
241	C₂³	—	4	14336	no	—
242	C₂³	—	4	768	no	—
243	C₂³	—	4	256	no	—
244	C₂³	—	4	5376	no	—
245	C₂³	—	4	672	no	—
246	C₂³	—	4	336	no	—
247	C₂³	—	4	336	no	—
248	C₂³	—	4	672	no	—
249	C₂³	—	4	672	no	—
250	C₂³	—	4	224	no	—
251	C₂³	—	8	1792	no	—
252	C₂³	#2812	1	512	yes	direct product factor
253	C₂³	C₂×#534	1	336	yes	—
254	C₂³	C₂×#560	1	336	yes	—
255	C₂³	C₂×H(3,𝔽₄)	1	112	yes	—
256	C₂³	C₂⁴×D₄	1	48	yes	—
257	C₂³	C₂⁴×D₄	1	14	yes	—
258	C₂³	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	42	yes	—
259	C₂³	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	42	yes	—
260	C₂³	C₂⁷	1	1	yes	characteristic
261	D₄	—	4	1536	no	—
262	D₄	—	4	256	no	—
263	C₂×C₄	—	2	48	no	—
264	C₂×C₄	—	2	48	no	—
265	C₂×C₄	—	2	24	no	—
266	C₂×C₄	—	2	48	no	—
267	C₂×C₄	—	2	24	no	—
268	C₂×C₄	—	2	48	no	—
269	C₂×C₄	—	4	672	no	—
270	C₂×C₄	—	4	336	no	—
271	C₂×C₄	—	4	112	no	—
272	C₂²	—	2	96	no	—
273	C₂²	—	2	48	no	—
274	C₂²	—	4	1024	no	—
275	C₂²	—	4	1344	no	—
276	C₂²	—	4	48	no	—
277	C₂²	—	4	24	no	—
278	C₂²	—	4	24	no	—
279	C₂²	—	4	48	no	—
280	C₂²	—	4	48	no	—
281	C₂²	—	4	16	no	—
282	C₂²	—	8	448	no	—
283	C₂²	C₂×#2812	1	448	yes	direct product factor
284	C₂²	C₂²×#534	1	84	yes	—
285	C₂²	C₂²×#560	1	84	yes	—
286	C₂²	C₂²×H(3,𝔽₄)	1	28	yes	—
287	C₂²	C₂⁵×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂²	C₂³×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
289	C₂²	C₂³×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
290	C₄	—	4	48	no	—
291	C₄	—	4	24	no	—
292	C₄	—	4	8	no	—
293	C₂	—	4	48	no	—
294	C₂	—	8	16	no	—
295	C₂	C₂²×#2812	1	56	yes	direct product factor
296	C₂	C₂³×#534	1	3	yes	—
297	C₂	C₂³×#560	1	3	yes	—
298	C₂	C₂³×H(3,𝔽₄)	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁶	C₂⁴
commutator, Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁷
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁶ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂⁴×#120	C₂	semidirect
2. C₂²×#2812	C₂	direct (N × H)
3. C₂³×#397	C₂	semidirect
4. C₂³×#394	C₂	semidirect
5. C₂³×#392	C₂	semidirect
6. C₂³×#379	C₂	semidirect
9. C₂⁵×D₄	C₂²	semidirect
11. C₂³×#120	C₂²	semidirect
12. C₂⁴×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
16. C₂⁴×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
17. C₂×#2812	C₂²	direct (N × H)
18. C₂²×#397	C₂²	semidirect
19. C₂²×#394	C₂²	semidirect
20. C₂²×#392	C₂²	semidirect
21. C₂²×#379	C₂²	semidirect
22. C₂³×#95	C₂²	semidirect
23. C₂³×#95	C₂²	semidirect
26. C₂⁷	D₄	semidirect
35. C₂⁴×D₄	C₂³	semidirect
40. C₂²×#120	C₂³	semidirect
42. C₂³×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
50. C₂³×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
51. #2812	C₂³	direct (N × H)
52. C₂×#397	C₂³	semidirect
53. C₂×#394	C₂³	semidirect
54. C₂×#392	C₂³	semidirect
55. C₂×#379	C₂³	semidirect
56. C₂²×#95	C₂³	semidirect
57. C₂²×#95	C₂³	semidirect
71. C₂⁶	C₂×D₄	semidirect
83. C₂³×D₄	C₂⁴	semidirect
94. C₂×#120	C₂⁴	semidirect
96. C₂²×C₄⋊C₄	C₂⁴	semidirect
104. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂⁴	semidirect
105. #397	C₂⁴	semidirect
106. #394	C₂⁴	semidirect
107. #392	C₂⁴	semidirect
108. #379	C₂⁴	semidirect
109. C₂×#95	C₂⁴	semidirect
110. C₂×#95	C₂⁴	semidirect
134. C₂⁵	C₂²×D₄	semidirect
148. C₂²×D₄	C₂⁵	semidirect
163. C₂×C₄⋊C₄	C₂⁵	semidirect
171. C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁵	semidirect
172. #95	C₂⁵	semidirect
173. #95	C₂⁵	semidirect
202. C₂⁴	C₂³×D₄	semidirect
252. C₂³	#2812	direct (N × H)
283. C₂²	C₂×#2812	direct (N × H)
295. C₂	C₂²×#2812	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×#120	2
C₂²×#2812	2
C₂³×#397	2
C₂³×#394	2
C₂³×#392	2
C₂³×#379	2

Subgroups — C23×#2812 #72300214

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂³×#2812 #72300214