Subgroups — C₂³×#2312 #72301873

Order 1024.

207221 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 328 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁵×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#2312	C₂	1	112	yes	maximal, direct product factor
3	C₂³×#388	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	C₂³×#380	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂³×#379	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₂³×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂⁸	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂⁶×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂⁶×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂⁴×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
11	C₂⁴×C₂²⋊C₄	C₄	1	64	yes	complemented
12	C₂⁴×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂⁴×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂⁴×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂⁴×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂⁴×C₂²⋊C₄	C₂²	1	56	yes	—
17	C₂⁴×C₄²	C₂²	1	4	yes	complemented
18	C₂×#2312	C₂²	1	1792	yes	direct product factor
19	C₂²×#388	C₂²	1	448	yes	complemented
20	C₂²×#380	C₂²	1	112	yes	complemented
21	C₂²×#379	C₂²	1	112	yes	—
22	C₂²×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	112	yes	complemented
23	C₂³×#95	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂³×#95	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂⁷	—	2	32	no	—
26	C₂⁷	—	4	16	no	—
27	C₂⁷	—	4	16	no	—
28	C₂⁷	C₂×C₄	1	32	yes	—
29	C₂⁷	C₂³	1	2	yes	—
30	C₂⁷	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂⁷	C₂³	1	28	yes	—
32	C₂⁵×C₄	—	4	16	no	—
33	C₂⁵×C₄	—	4	16	no	—
34	C₂⁵×C₄	C₂×C₄	1	32	yes	—
35	C₂⁵×C₄	C₂×C₄	1	32	yes	—
36	C₂⁵×C₄	C₂³	1	8	yes	—
37	C₂⁵×C₄	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂⁵×C₄	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂⁵×C₄	C₂³	1	28	yes	—
40	C₂⁵×C₄	C₂³	1	28	yes	—
41	C₂³×C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
42	C₂³×C₄⋊C₄	C₂³	1	112	yes	complemented
43	C₂³×C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
44	C₂³×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
45	C₂³×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
46	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	128	yes	—
47	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1792	yes	complemented
48	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂³	1	112	yes	—
49	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂³	1	112	yes	—
50	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂³	1	112	yes	—
51	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂³	1	112	yes	—
52	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂³	1	448	yes	—
53	C₂³×C₄²	—	4	32	no	—
54	C₂³×C₄²	C₂³	1	112	yes	complemented
55	#2312	C₂³	1	4096	yes	direct product factor
56	C₂×#388	C₂³	1	3584	yes	complemented
57	C₂×#380	C₂³	1	896	yes	complemented
58	C₂×#379	C₂³	1	896	yes	—
59	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	896	yes	complemented
60	C₂²×#95	C₂³	1	112	yes	complemented
61	C₂²×#95	C₂³	1	112	yes	complemented
62	C₂⁶	—	2	16	no	—
63	C₂⁶	—	2	16	no	—
64	C₂⁶	—	2	512	no	—
65	C₂⁶	—	2	448	no	—
66	C₂⁶	—	2	32	no	—
67	C₂⁶	—	2	32	no	—
68	C₂⁶	—	2	32	no	—
69	C₂⁶	—	4	256	no	—
70	C₂⁶	—	4	256	no	—
71	C₂⁶	—	4	224	no	—
72	C₂⁶	—	4	224	no	—
73	C₂⁶	—	4	1024	no	—
74	C₂⁶	C₂²×C₄	1	32	yes	—
75	C₂⁶	C₂²×C₄	1	16	yes	—
76	C₂⁶	C₂²×C₄	1	448	yes	—
77	C₂⁶	#41	1	32	yes	—
78	C₂⁶	C₂⁴	1	28	yes	—
79	C₂⁶	C₂⁴	1	14	yes	—
80	C₂⁶	C₂⁴	1	112	yes	—
81	C₂⁶	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
82	C₂⁴×C₄	—	2	32	no	—
83	C₂⁴×C₄	—	2	32	no	—
84	C₂⁴×C₄	—	2	64	no	—
85	C₂⁴×C₄	—	2	64	no	—
86	C₂⁴×C₄	—	2	64	no	—
87	C₂⁴×C₄	—	4	256	no	—
88	C₂⁴×C₄	—	4	256	no	—
89	C₂⁴×C₄	—	4	224	no	—
90	C₂⁴×C₄	—	4	224	no	—
91	C₂⁴×C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
92	C₂⁴×C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
93	C₂⁴×C₄	C₂²×C₄	1	448	yes	—
94	C₂⁴×C₄	C₂²×C₄	1	448	yes	—
95	C₂⁴×C₄	C₂⁴	1	112	yes	—
96	C₂⁴×C₄	C₂⁴	1	28	yes	—
97	C₂⁴×C₄	C₂⁴	1	28	yes	—
98	C₂⁴×C₄	C₂⁴	1	112	yes	—
99	C₂⁴×C₄	C₂⁴	1	112	yes	—
100	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	448	no	—
101	C₂²×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	448	yes	complemented
102	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	896	no	—
103	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	448	no	—
104	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	448	no	—
105	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	1792	yes	—
106	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	7168	yes	complemented
107	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	448	yes	—
108	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	448	yes	—
109	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	448	yes	—
110	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	448	yes	—
111	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	512	yes	—
112	C₂²×C₄²	—	4	448	no	—
113	C₂²×C₄²	C₂⁴	1	448	yes	complemented
114	#388	C₂⁴	1	4096	yes	complemented
115	#380	C₂⁴	1	1024	yes	complemented
116	#379	C₂⁴	1	1024	yes	—
117	C₄×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	1024	yes	complemented
118	C₂×#95	C₂⁴	1	448	yes	complemented
119	C₂×#95	C₂⁴	1	448	yes	complemented
120	C₂⁵	—	2	128	no	—
121	C₂⁵	—	2	128	no	—
122	C₂⁵	—	2	512	no	—
123	C₂⁵	—	2	112	no	—
124	C₂⁵	—	2	112	no	—
125	C₂⁵	—	2	3584	no	—
126	C₂⁵	—	2	256	no	—
127	C₂⁵	—	2	256	no	—
128	C₂⁵	—	2	256	no	—
129	C₂⁵	—	2	896	no	—
130	C₂⁵	—	2	224	no	—
131	C₂⁵	—	2	224	no	—
132	C₂⁵	—	2	224	no	—
133	C₂⁵	—	4	1792	no	—
134	C₂⁵	—	4	1792	no	—
135	C₂⁵	—	4	448	no	—
136	C₂⁵	—	4	448	no	—
137	C₂⁵	—	4	8192	no	—
138	C₂⁵	—	4	7168	no	—
139	C₂⁵	—	4	512	no	—
140	C₂⁵	#117	1	256	yes	—
141	C₂⁵	C₂³×C₄	1	224	yes	—
142	C₂⁵	C₂³×C₄	1	112	yes	—
143	C₂⁵	C₂³×C₄	1	896	yes	—
144	C₂⁵	C₂³×C₄	1	8	yes	—
145	C₂⁵	C₂×#41	1	224	yes	—
146	C₂⁵	C₂×#41	1	16	yes	—
147	C₂⁵	H(5,𝔽₂)	1	16	yes	—
148	C₂⁵	H(5,𝔽₂)	1	16	yes	—
149	C₂⁵	C₂⁵	1	56	yes	—
150	C₂⁵	C₂⁵	1	28	yes	—
151	C₂⁵	C₂⁵	1	64	yes	—
152	C₂⁵	C₂⁵	1	7	yes	—
153	C₂³×C₄	—	2	256	no	—
154	C₂³×C₄	—	2	256	no	—
155	C₂³×C₄	—	2	224	no	—
156	C₂³×C₄	—	2	224	no	—
157	C₂³×C₄	—	2	448	no	—
158	C₂³×C₄	—	2	448	no	—
159	C₂³×C₄	—	2	448	no	—
160	C₂³×C₄	—	4	1792	no	—
161	C₂³×C₄	—	4	1792	no	—
162	C₂³×C₄	—	4	448	no	—
163	C₂³×C₄	—	4	448	no	—
164	C₂³×C₄	—	4	512	no	—
165	C₂³×C₄	C₂³×C₄	1	224	yes	—
166	C₂³×C₄	C₂³×C₄	1	224	yes	—
167	C₂³×C₄	C₂³×C₄	1	896	yes	—
168	C₂³×C₄	C₂³×C₄	1	896	yes	—
169	C₂³×C₄	C₂⁵	1	224	yes	—
170	C₂³×C₄	C₂⁵	1	56	yes	—
171	C₂³×C₄	C₂⁵	1	56	yes	—
172	C₂³×C₄	C₂⁵	1	64	yes	—
173	C₂³×C₄	C₂⁵	1	64	yes	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	4	896	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁵	1	256	yes	complemented
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1792	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	896	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	896	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³×C₄	1	3584	yes	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³×C₄	1	4096	yes	complemented
181	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁵	1	256	yes	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁵	1	256	yes	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁵	1	256	yes	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁵	1	256	yes	—
185	C₂×C₄²	—	4	896	no	—
186	C₂×C₄²	C₂⁵	1	256	yes	complemented
187	#95	C₂⁵	1	256	yes	complemented
188	#95	C₂⁵	1	256	yes	complemented
189	C₂⁴	—	2	112	no	—
190	C₂⁴	—	2	112	no	—
191	C₂⁴	—	2	2048	no	—
192	C₂⁴	—	2	448	no	—
193	C₂⁴	—	2	448	no	—
194	C₂⁴	—	2	1792	no	—
195	C₂⁴	—	2	256	no	—
196	C₂⁴	—	2	224	no	—
197	C₂⁴	—	2	224	no	—
198	C₂⁴	—	2	224	no	—
199	C₂⁴	—	2	3584	no	—
200	C₂⁴	—	2	896	no	—
201	C₂⁴	—	2	896	no	—
202	C₂⁴	—	2	896	no	—
203	C₂⁴	—	4	1792	no	—
204	C₂⁴	—	4	1792	no	—
205	C₂⁴	—	4	128	no	—
206	C₂⁴	—	4	128	no	—
207	C₂⁴	—	4	7168	no	—
208	C₂⁴	—	4	28672	no	—
209	C₂⁴	—	4	2048	no	—
210	C₂⁴	—	4	1792	no	—
211	C₂⁴	C₂×#117	1	896	yes	—
212	C₂⁴	C₂×#117	1	64	yes	—
213	C₂⁴	#518	1	64	yes	—
214	C₂⁴	#518	1	64	yes	—
215	C₂⁴	#538	1	256	yes	—
216	C₂⁴	C₂⁴×C₄	1	224	yes	—
217	C₂⁴	C₂⁴×C₄	1	112	yes	—
218	C₂⁴	C₂⁴×C₄	1	256	yes	—
219	C₂⁴	C₂⁴×C₄	1	28	yes	—
220	C₂⁴	C₂²×#41	1	224	yes	—
221	C₂⁴	C₂²×#41	1	56	yes	—
222	C₂⁴	C₂×H(5,𝔽₂)	1	56	yes	—
223	C₂⁴	C₂×H(5,𝔽₂)	1	56	yes	—
224	C₂⁴	C₂⁶	1	16	yes	—
225	C₂⁴	C₂⁶	1	8	yes	—
226	C₂⁴	C₂⁶	1	7	yes	—
227	C₂²×C₄	—	2	224	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	224	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	896	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	896	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	448	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	448	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	448	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	1792	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	1792	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	128	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	128	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	1792	no	—
239	C₂²×C₄	C₂⁴×C₄	1	224	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂⁴×C₄	1	224	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂⁴×C₄	1	256	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂⁴×C₄	1	256	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂⁶	1	64	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂⁶	1	16	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂⁶	1	16	yes	—
246	C₄⋊C₄	—	4	256	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	512	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	256	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	256	no	—
250	C₂²⋊C₄	C₂⁴×C₄	1	1024	yes	—
251	C₄²	—	4	256	no	—
252	C₂³	—	2	16	no	—
253	C₂³	—	2	16	no	—
254	C₂³	—	2	224	no	—
255	C₂³	—	2	224	no	—
256	C₂³	—	2	896	no	—
257	C₂³	—	2	3584	no	—
258	C₂³	—	2	32	no	—
259	C₂³	—	2	32	no	—
260	C₂³	—	2	32	no	—
261	C₂³	—	2	512	no	—
262	C₂³	—	2	448	no	—
263	C₂³	—	2	448	no	—
264	C₂³	—	2	448	no	—
265	C₂³	—	4	256	no	—
266	C₂³	—	4	256	no	—
267	C₂³	—	4	1024	no	—
268	C₂³	—	4	14336	no	—
269	C₂³	—	4	896	no	—
270	C₂³	—	4	3584	no	—
271	C₂³	#2312	1	512	yes	direct product factor
272	C₂³	C₂²×#117	1	448	yes	—
273	C₂³	C₂²×#117	1	112	yes	—
274	C₂³	C₂×#518	1	112	yes	—
275	C₂³	C₂×#518	1	112	yes	—
276	C₂³	C₂×#538	1	448	yes	—
277	C₂³	C₂⁵×C₄	1	32	yes	—
278	C₂³	C₂⁵×C₄	1	16	yes	—
279	C₂³	C₂⁵×C₄	1	14	yes	—
280	C₂³	C₂³×#41	1	32	yes	—
281	C₂³	C₂³×#41	1	28	yes	—
282	C₂³	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	28	yes	—
283	C₂³	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	28	yes	—
284	C₂³	C₂⁷	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	—	2	32	no	—
286	C₂×C₄	—	2	32	no	—
287	C₂×C₄	—	2	448	no	—
288	C₂×C₄	—	2	448	no	—
289	C₂×C₄	—	2	64	no	—
290	C₂×C₄	—	2	64	no	—
291	C₂×C₄	—	2	64	no	—
292	C₂×C₄	—	4	256	no	—
293	C₂×C₄	—	4	256	no	—
294	C₂×C₄	—	4	896	no	—
295	C₂×C₄	C₂⁵×C₄	1	32	yes	—
296	C₂×C₄	C₂⁵×C₄	1	32	yes	—
297	C₂²	—	2	16	no	—
298	C₂²	—	2	16	no	—
299	C₂²	—	2	64	no	—
300	C₂²	—	2	896	no	—
301	C₂²	—	2	32	no	—
302	C₂²	—	2	32	no	—
303	C₂²	—	2	32	no	—
304	C₂²	—	4	1024	no	—
305	C₂²	—	4	64	no	—
306	C₂²	—	4	896	no	—
307	C₂²	C₂×#2312	1	448	yes	direct product factor
308	C₂²	C₂³×#117	1	32	yes	—
309	C₂²	C₂³×#117	1	28	yes	—
310	C₂²	C₂²×#518	1	28	yes	—
311	C₂²	C₂²×#518	1	28	yes	—
312	C₂²	C₂²×#538	1	112	yes	—
313	C₂²	C₂⁶×C₄	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	C₂⁴×#41	1	2	yes	—
315	C₂²	C₂³×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
316	C₂²	C₂³×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
317	C₄	—	2	32	no	—
318	C₄	—	2	32	no	—
319	C₄	—	4	64	no	—
320	C₂	—	2	32	no	—
321	C₂	—	4	32	no	—
322	C₂	C₂²×#2312	1	56	yes	direct product factor
323	C₂	C₂⁴×#117	1	1	yes	characteristic
324	C₂	C₂³×#518	1	1	yes	characteristic
325	C₂	C₂³×#518	1	1	yes	characteristic
326	C₂	C₂³×#538	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁶	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂⁶×C₄
Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁷
prime radical	C₂⁸	C₂²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁶ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#2312	C₂	direct (N × H)
3. C₂³×#388	C₂	semidirect
4. C₂³×#380	C₂	semidirect
6. C₂³×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
10. C₂⁴×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
11. C₂⁴×C₂²⋊C₄	C₄	semidirect
17. C₂⁴×C₄²	C₂²	semidirect
18. C₂×#2312	C₂²	direct (N × H)
19. C₂²×#388	C₂²	semidirect
20. C₂²×#380	C₂²	semidirect
22. C₂²×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
23. C₂³×#95	C₂²	semidirect
24. C₂³×#95	C₂²	semidirect
42. C₂³×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
47. C₂³×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
54. C₂³×C₄²	C₂³	semidirect
55. #2312	C₂³	direct (N × H)
56. C₂×#388	C₂³	semidirect
57. C₂×#380	C₂³	semidirect
59. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
60. C₂²×#95	C₂³	semidirect
61. C₂²×#95	C₂³	semidirect
101. C₂²×C₄⋊C₄	C₂⁴	semidirect
106. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	semidirect
113. C₂²×C₄²	C₂⁴	semidirect
114. #388	C₂⁴	semidirect
115. #380	C₂⁴	semidirect
117. C₄×C₂²⋊C₄	C₂⁴	semidirect
118. C₂×#95	C₂⁴	semidirect
119. C₂×#95	C₂⁴	semidirect
175. C₂×C₄⋊C₄	C₂⁵	semidirect
180. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³×C₄	semidirect
186. C₂×C₄²	C₂⁵	semidirect
187. #95	C₂⁵	semidirect
188. #95	C₂⁵	semidirect
271. C₂³	#2312	direct (N × H)
307. C₂²	C₂×#2312	direct (N × H)
322. C₂	C₂²×#2312	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁵×C₂²⋊C₄	2
C₂²×#2312	2
C₂³×#388	2
C₂³×#380	2
C₂³×#379	2
C₂³×C₄×C₂²⋊C₄	2

Subgroups — C23×#2312 #72301873

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂³×#2312 #72301873