Subgroups — C₂³×#2372 #72325372

Order 1024.

119525 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 344 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#2372	C₂	1	112	yes	maximal, direct product factor
3	C₂³×#391	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂³×#388	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂³×#386	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₂³×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂³×#376	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂⁵×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂⁵×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂⁶×C₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×#124	C₄	1	64	yes	complemented
12	C₂³×#124	C₂²	1	56	yes	—
13	C₂⁴×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂⁴×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂⁴×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂⁴×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂⁴×C₄²	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂⁴×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂⁴×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#2372	C₂²	1	1792	yes	direct product factor
21	C₂²×#391	C₂²	1	112	yes	complemented
22	C₂²×#388	C₂²	1	224	yes	complemented
23	C₂²×#386	C₂²	1	112	yes	—
24	C₂²×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	224	yes	complemented
25	C₂²×#376	C₂²	1	112	yes	complemented
26	C₂³×#95	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂³×#95	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂³×#95	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂³×#95	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂⁷	C₂³	1	2	yes	—
31	C₂⁴×Q₈	—	4	8	no	—
32	C₂⁴×Q₈	—	4	8	no	—
33	C₂⁴×Q₈	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
34	C₂⁴×Q₈	C₂³	1	28	yes	—
35	C₂⁴×D₄	—	4	8	no	—
36	C₂⁴×D₄	—	4	8	no	—
37	C₂⁴×D₄	C₂×C₄	1	32	yes	—
38	C₂⁴×D₄	C₂³	1	28	yes	—
39	C₂⁵×C₄	—	2	64	no	—
40	C₂⁵×C₄	—	4	16	no	—
41	C₂⁵×C₄	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂⁵×C₄	C₂³	1	56	yes	—
43	C₂⁵×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂⁵×C₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂⁵×C₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂⁵×C₄	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂²×#124	C₂×C₄	1	1792	yes	complemented
48	C₂²×#124	C₂³	1	448	yes	—
49	C₂³×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
50	C₂³×C₄⋊C₄	C₂³	1	56	yes	—
51	C₂³×C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
52	C₂³×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
53	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	128	yes	complemented
54	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂³	1	112	yes	—
55	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂³	1	56	yes	—
56	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂³	1	112	yes	—
57	C₂³×C₄²	—	2	64	no	—
58	C₂³×C₄²	—	4	16	no	—
59	C₂³×C₄²	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
60	C₂³×C₄²	C₂³	1	112	yes	—
61	C₂³×C₄²	C₂³	1	56	yes	—
62	C₂³×C₄²	C₂³	1	28	yes	—
63	#2372	C₂³	1	4096	yes	direct product factor
64	C₂×#391	C₂³	1	896	yes	complemented
65	C₂×#388	C₂³	1	1792	yes	complemented
66	C₂×#386	C₂³	1	896	yes	—
67	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1792	yes	complemented
68	C₂×#376	C₂³	1	896	yes	complemented
69	C₂²×#95	C₂³	1	56	yes	—
70	C₂²×#95	C₂³	1	112	yes	—
71	C₂²×#95	C₂³	1	56	yes	—
72	C₂²×#95	C₂³	1	112	yes	—
73	C₂⁶	—	2	32	no	—
74	C₂⁶	—	2	32	no	—
75	C₂⁶	—	2	16	no	—
76	C₂⁶	—	2	16	no	—
77	C₂⁶	C₂²×C₄	1	32	yes	—
78	C₂⁶	C₂⁴	1	28	yes	—
79	C₂⁶	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
80	C₂³×Q₈	—	4	256	no	—
81	C₂³×Q₈	—	4	112	no	—
82	C₂³×Q₈	—	4	112	no	—
83	C₂³×Q₈	C₂²×C₄	1	448	yes	complemented
84	C₂³×Q₈	C₂⁴	1	112	yes	—
85	C₂³×D₄	—	4	256	no	—
86	C₂³×D₄	—	4	112	no	—
87	C₂³×D₄	—	4	112	no	—
88	C₂³×D₄	C₂²×C₄	1	448	yes	—
89	C₂³×D₄	C₂⁴	1	112	yes	—
90	C₂⁴×C₄	—	2	32	no	—
91	C₂⁴×C₄	—	2	32	no	—
92	C₂⁴×C₄	—	2	32	no	—
93	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
94	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
95	C₂⁴×C₄	—	2	16	no	—
96	C₂⁴×C₄	—	2	16	no	—
97	C₂⁴×C₄	—	2	32	no	—
98	C₂⁴×C₄	—	2	32	no	—
99	C₂⁴×C₄	—	2	32	no	—
100	C₂⁴×C₄	—	2	896	no	—
101	C₂⁴×C₄	—	4	224	no	—
102	C₂⁴×C₄	—	4	512	no	—
103	C₂⁴×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
104	C₂⁴×C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
105	C₂⁴×C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
106	C₂⁴×C₄	#41	1	64	yes	—
107	C₂⁴×C₄	C₂⁴	1	56	yes	—
108	C₂⁴×C₄	C₂⁴	1	224	yes	—
109	C₂⁴×C₄	C₂⁴	1	14	yes	—
110	C₂⁴×C₄	C₂⁴	1	28	yes	—
111	C₂⁴×C₄	C₂⁴	1	28	yes	—
112	C₂⁴×C₄	C₂⁴	1	56	yes	—
113	C₂×#124	C₂²×C₄	1	7168	yes	complemented
114	C₂×#124	C₂⁴	1	512	yes	—
115	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	224	no	—
116	C₂²×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	224	yes	—
117	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	896	no	—
118	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	224	no	—
119	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	1792	yes	complemented
120	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	448	yes	—
121	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	224	yes	—
122	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	448	yes	—
123	C₂²×C₄²	—	2	896	no	—
124	C₂²×C₄²	—	4	224	no	—
125	C₂²×C₄²	C₂²×C₄	1	448	yes	complemented
126	C₂²×C₄²	C₂⁴	1	448	yes	—
127	C₂²×C₄²	C₂⁴	1	224	yes	—
128	C₂²×C₄²	C₂⁴	1	112	yes	—
129	#391	C₂⁴	1	1024	yes	complemented
130	#388	C₂⁴	1	2048	yes	complemented
131	#386	C₂⁴	1	1024	yes	—
132	C₄×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	2048	yes	complemented
133	#376	C₂⁴	1	1024	yes	complemented
134	C₂×#95	C₂⁴	1	224	yes	—
135	C₂×#95	C₂⁴	1	448	yes	—
136	C₂×#95	C₂⁴	1	224	yes	—
137	C₂×#95	C₂⁴	1	448	yes	—
138	C₂⁵	—	2	512	no	—
139	C₂⁵	—	2	256	no	—
140	C₂⁵	—	2	224	no	—
141	C₂⁵	—	2	224	no	—
142	C₂⁵	—	2	112	no	—
143	C₂⁵	—	2	112	no	—
144	C₂⁵	—	4	128	no	—
145	C₂⁵	—	4	128	no	—
146	C₂⁵	—	4	256	no	—
147	C₂⁵	C₂³×C₄	1	224	yes	—
148	C₂⁵	C₂³×C₄	1	8	yes	—
149	C₂⁵	C₂×#41	1	32	yes	—
150	C₂⁵	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
151	C₂⁵	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
152	C₂⁵	C₂⁵	1	56	yes	—
153	C₂⁵	C₂⁵	1	7	yes	—
154	C₂²×Q₈	—	4	1792	no	—
155	C₂²×Q₈	—	4	224	no	—
156	C₂²×Q₈	—	4	224	no	—
157	C₂²×Q₈	C₂³×C₄	1	896	yes	complemented
158	C₂²×Q₈	C₂⁵	1	64	yes	—
159	C₂²×D₄	—	4	1792	no	—
160	C₂²×D₄	—	4	224	no	—
161	C₂²×D₄	—	4	224	no	—
162	C₂²×D₄	C₂³×C₄	1	896	yes	—
163	C₂²×D₄	C₂⁵	1	64	yes	—
164	C₂³×C₄	—	2	256	no	—
165	C₂³×C₄	—	2	128	no	—
166	C₂³×C₄	—	2	256	no	—
167	C₂³×C₄	—	2	512	no	—
168	C₂³×C₄	—	2	224	no	—
169	C₂³×C₄	—	2	224	no	—
170	C₂³×C₄	—	2	112	no	—
171	C₂³×C₄	—	2	224	no	—
172	C₂³×C₄	—	2	56	no	—
173	C₂³×C₄	—	2	56	no	—
174	C₂³×C₄	—	2	112	no	—
175	C₂³×C₄	—	2	224	no	—
176	C₂³×C₄	—	2	224	no	—
177	C₂³×C₄	—	2	224	no	—
178	C₂³×C₄	—	2	1792	no	—
179	C₂³×C₄	—	4	448	no	—
180	C₂³×C₄	—	4	3584	no	—
181	C₂³×C₄	—	4	256	no	—
182	C₂³×C₄	C₂³×C₄	1	224	yes	—
183	C₂³×C₄	C₂³×C₄	1	224	yes	—
184	C₂³×C₄	C₂³×C₄	1	112	yes	—
185	C₂³×C₄	C₂×#41	1	448	yes	—
186	C₂³×C₄	C₂⁵	1	112	yes	—
187	C₂³×C₄	C₂⁵	1	128	yes	—
188	C₂³×C₄	C₂⁵	1	56	yes	—
189	C₂³×C₄	C₂⁵	1	56	yes	—
190	C₂³×C₄	C₂⁵	1	28	yes	—
191	C₂³×C₄	C₂⁵	1	112	yes	—
192	#124	C₂³×C₄	1	4096	yes	complemented
193	C₂×C₄⋊C₄	—	4	448	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁵	1	128	yes	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1792	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	448	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³×C₄	1	3584	yes	complemented
198	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁵	1	256	yes	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁵	1	128	yes	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁵	1	256	yes	—
201	C₂×C₄²	—	2	1792	no	—
202	C₂×C₄²	—	4	448	no	—
203	C₂×C₄²	C₂³×C₄	1	896	yes	complemented
204	C₂×C₄²	C₂⁵	1	256	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂⁵	1	128	yes	—
206	C₂×C₄²	C₂⁵	1	64	yes	—
207	#95	C₂⁵	1	128	yes	—
208	#95	C₂⁵	1	256	yes	—
209	#95	C₂⁵	1	128	yes	—
210	#95	C₂⁵	1	256	yes	—
211	C₂⁴	—	2	224	no	—
212	C₂⁴	—	2	224	no	—
213	C₂⁴	—	2	112	no	—
214	C₂⁴	—	2	112	no	—
215	C₂⁴	—	2	1792	no	—
216	C₂⁴	—	2	896	no	—
217	C₂⁴	—	4	2048	no	—
218	C₂⁴	—	4	448	no	—
219	C₂⁴	—	4	448	no	—
220	C₂⁴	—	4	896	no	—
221	C₂⁴	C₄×#41	1	128	yes	—
222	C₂⁴	#518	1	64	yes	—
223	C₂⁴	#551	1	128	yes	—
224	C₂⁴	#555	1	128	yes	—
225	C₂⁴	C₂⁴×C₄	1	224	yes	—
226	C₂⁴	C₂⁴×C₄	1	28	yes	—
227	C₂⁴	C₂²×#41	1	112	yes	—
228	C₂⁴	C₂×H(5,𝔽₂)	1	28	yes	—
229	C₂⁴	C₂×H(5,𝔽₂)	1	28	yes	—
230	C₂⁴	C₂⁶	1	16	yes	—
231	C₂⁴	C₂⁶	1	7	yes	—
232	C₂×Q₈	—	4	1792	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	64	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	64	no	—
235	C₂×Q₈	C₂⁴×C₄	1	256	yes	complemented
236	C₂×D₄	—	4	1792	no	—
237	C₂×D₄	—	4	64	no	—
238	C₂×D₄	—	4	64	no	—
239	C₂×D₄	C₂⁴×C₄	1	256	yes	—
240	C₂²×C₄	—	2	224	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	224	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	224	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	112	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	112	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	56	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	56	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	896	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	448	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	896	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	1792	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	224	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	224	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	224	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	512	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	128	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	3584	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	896	no	—
258	C₂²×C₄	C₂⁴×C₄	1	224	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂⁴×C₄	1	112	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂⁴×C₄	1	224	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²×#41	1	448	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂⁶	1	32	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂⁶	1	8	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂⁶	1	16	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂⁶	1	16	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂⁶	1	32	yes	—
267	C₄⋊C₄	—	4	128	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	2	512	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	128	no	—
270	C₂²⋊C₄	C₂⁴×C₄	1	1024	yes	complemented
271	C₄²	—	2	512	no	—
272	C₄²	—	4	128	no	—
273	C₄²	C₂⁴×C₄	1	256	yes	complemented
274	C₂³	—	2	32	no	—
275	C₂³	—	2	32	no	—
276	C₂³	—	2	16	no	—
277	C₂³	—	2	16	no	—
278	C₂³	—	2	896	no	—
279	C₂³	—	2	448	no	—
280	C₂³	—	4	3584	no	—
281	C₂³	—	4	224	no	—
282	C₂³	—	4	224	no	—
283	C₂³	—	4	448	no	—
284	C₂³	#2372	1	512	yes	direct product factor
285	C₂³	C₂×C₄×#41	1	224	yes	—
286	C₂³	C₂×#518	1	112	yes	—
287	C₂³	C₂×#551	1	224	yes	—
288	C₂³	C₂×#555	1	224	yes	—
289	C₂³	C₂⁵×C₄	1	32	yes	—
290	C₂³	C₂⁵×C₄	1	14	yes	—
291	C₂³	C₂³×#41	1	56	yes	—
292	C₂³	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	14	yes	—
293	C₂³	C₂²×H(5,𝔽₂)	1	14	yes	—
294	C₂³	C₂⁷	1	1	yes	characteristic
295	Q₈	—	4	256	no	—
296	D₄	—	4	256	no	—
297	C₂×C₄	—	2	32	no	—
298	C₂×C₄	—	2	32	no	—
299	C₂×C₄	—	2	32	no	—
300	C₂×C₄	—	2	16	no	—
301	C₂×C₄	—	2	16	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	448	no	—
305	C₂×C₄	—	2	224	no	—
306	C₂×C₄	—	2	448	no	—
307	C₂×C₄	—	2	896	no	—
308	C₂×C₄	—	2	32	no	—
309	C₂×C₄	—	2	32	no	—
310	C₂×C₄	—	2	32	no	—
311	C₂×C₄	—	4	512	no	—
312	C₂×C₄	—	4	448	no	—
313	C₂×C₄	C₂⁵×C₄	1	32	yes	—
314	C₂×C₄	C₂⁵×C₄	1	16	yes	—
315	C₂×C₄	C₂⁵×C₄	1	32	yes	—
316	C₂×C₄	C₂³×#41	1	64	yes	—
317	C₂²	—	2	64	no	—
318	C₂²	—	2	32	no	—
319	C₂²	—	4	16	no	—
320	C₂²	—	4	16	no	—
321	C₂²	—	4	32	no	—
322	C₂²	—	4	896	no	—
323	C₂²	C₂×#2372	1	448	yes	direct product factor
324	C₂²	C₂²×C₄×#41	1	56	yes	—
325	C₂²	C₂²×#518	1	28	yes	—
326	C₂²	C₂²×#551	1	56	yes	—
327	C₂²	C₂²×#555	1	56	yes	—
328	C₂²	C₂⁶×C₄	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	C₂⁴×#41	1	4	yes	—
330	C₂²	C₂³×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	C₂³×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
332	C₄	—	2	32	no	—
333	C₄	—	2	16	no	—
334	C₄	—	2	32	no	—
335	C₄	—	2	64	no	—
336	C₄	—	4	32	no	—
337	C₂	—	4	32	no	—
338	C₂	C₂²×#2372	1	56	yes	direct product factor
339	C₂	C₂³×C₄×#41	1	2	yes	—
340	C₂	C₂³×#518	1	1	yes	characteristic
341	C₂	C₂³×#551	1	2	yes	—
342	C₂	C₂³×#555	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁶	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂⁶×C₄
Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁷
prime radical	C₂⁵×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁶ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#2372	C₂	direct (N × H)
3. C₂³×#391	C₂	semidirect
4. C₂³×#388	C₂	semidirect
6. C₂³×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
7. C₂³×#376	C₂	semidirect
11. C₂³×#124	C₄	semidirect
20. C₂×#2372	C₂²	direct (N × H)
21. C₂²×#391	C₂²	semidirect
22. C₂²×#388	C₂²	semidirect
24. C₂²×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
25. C₂²×#376	C₂²	semidirect
33. C₂⁴×Q₈	C₂×C₄	semidirect
47. C₂²×#124	C₂×C₄	semidirect
53. C₂³×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
59. C₂³×C₄²	C₂×C₄	semidirect
63. #2372	C₂³	direct (N × H)
64. C₂×#391	C₂³	semidirect
65. C₂×#388	C₂³	semidirect
67. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
68. C₂×#376	C₂³	semidirect
83. C₂³×Q₈	C₂²×C₄	semidirect
113. C₂×#124	C₂²×C₄	semidirect
119. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	semidirect
125. C₂²×C₄²	C₂²×C₄	semidirect
129. #391	C₂⁴	semidirect
130. #388	C₂⁴	semidirect
132. C₄×C₂²⋊C₄	C₂⁴	semidirect
133. #376	C₂⁴	semidirect
157. C₂²×Q₈	C₂³×C₄	semidirect
192. #124	C₂³×C₄	semidirect
197. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³×C₄	semidirect
203. C₂×C₄²	C₂³×C₄	semidirect
235. C₂×Q₈	C₂⁴×C₄	semidirect
270. C₂²⋊C₄	C₂⁴×C₄	semidirect
273. C₄²	C₂⁴×C₄	semidirect
284. C₂³	#2372	direct (N × H)
323. C₂²	C₂×#2372	direct (N × H)
338. C₂	C₂²×#2372	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×#124	2
C₂²×#2372	2
C₂³×#391	2
C₂³×#388	2
C₂³×#386	2
C₂³×C₄×C₂²⋊C₄	2
C₂³×#376	2

Subgroups — C23×#2372 #72325372

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂³×#2372 #72325372