Subgroups — #7233733

Order 512.

1953 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 435 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#46330	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#36179	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#33082	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#32801	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#32037	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	#30721	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	#30517	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#24446	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
9	#24055	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	#23865	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
11	#23357	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#137	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#547	C₂²	1	3	yes	—
14	C₂×#547	C₂²	1	3	yes	—
15	C₂×#483	C₂²	1	3	yes	—
16	C₂×#470	C₂²	1	6	yes	—
17	C₂×#452	C₂²	1	6	yes	—
18	C₂×#451	C₂²	1	3	yes	—
19	C₂×#417	C₂²	1	3	yes	—
20	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2863	C₂²	1	2	yes	—
22	#2856	—	2	1	no	—
23	#2843	—	2	1	no	—
24	#2784	—	2	3	no	—
25	#2748	—	2	3	no	—
26	#2542	C₂²	1	3	yes	—
27	#2542	C₂²	1	3	yes	—
28	#2501	—	2	3	no	—
29	#2501	—	2	3	no	—
30	#2487	C₂²	1	3	yes	—
31	#2417	C₂²	1	6	yes	—
32	#2409	C₂²	1	3	yes	—
33	#2380	—	2	1	no	—
34	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#384	—	2	1	no	—
36	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#2043	C₂²	1	6	yes	—
38	#2043	C₂²	1	6	yes	—
39	#2035	C₂²	1	6	yes	—
40	#2035	C₂²	1	6	yes	—
41	#2016	C₂²	1	6	yes	—
42	#2016	C₂²	1	6	yes	—
43	#2001	C₂²	1	6	yes	—
44	#2001	C₂²	1	6	yes	—
45	#1927	C₂²	1	6	yes	—
46	#1920	C₂²	1	6	yes	—
47	#1894	C₂²	1	3	yes	—
48	#1894	C₂²	1	3	yes	—
49	#1877	C₂²	1	6	yes	—
50	#1872	C₂²	1	6	yes	—
51	#1870	C₂²	1	6	yes	—
52	#1870	C₂²	1	3	yes	—
53	#1870	C₂²	1	3	yes	—
54	#1864	C₂²	1	6	yes	—
55	#1839	C₂²	1	2	yes	—
56	#1788	C₂²	1	3	yes	—
57	#1788	C₂²	1	3	yes	—
58	C₂²×#41	C₂³	1	3	yes	—
59	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#137	—	4	6	no	—
62	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	6	yes	—
63	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×M₁₆	C₂³	1	3	yes	—
66	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#547	—	4	6	no	—
68	#547	—	4	6	no	—
69	#547	—	4	6	no	—
70	#547	—	4	6	no	—
71	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	3	yes	—
72	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	3	yes	—
73	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×#123	—	2	6	no	—
75	C₂×#123	—	2	3	no	—
76	C₂×#123	—	2	3	no	—
77	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	3	yes	—
78	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
79	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	3	yes	—
80	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
81	C₂×#121	—	2	3	no	—
82	C₂×#121	—	2	3	no	—
83	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
84	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
85	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
86	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
87	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
88	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
89	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
90	#483	—	4	6	no	—
91	#470	—	4	12	no	—
92	#452	—	4	12	no	—
93	#451	—	4	6	no	—
94	C₂×#106	C₂³	1	6	yes	—
95	#417	—	4	6	no	—
96	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
97	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
98	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
99	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
100	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
101	C₂×#102	C₂³	1	6	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
105	#400	—	2	3	no	—
106	#399	—	2	3	no	—
107	#399	—	2	6	no	—
108	#399	—	2	3	no	—
109	#399	—	2	3	no	—
110	#398	—	2	6	no	—
111	#396	—	2	6	no	—
112	#395	—	2	3	no	—
113	#393	—	2	3	no	—
114	#391	C₂³	1	6	yes	—
115	#390	—	2	3	no	—
116	#390	—	2	3	no	—
117	#390	D₄	1	3	yes	—
118	#390	D₄	1	3	yes	—
119	#389	C₂³	1	6	yes	—
120	#387	—	2	6	no	—
121	#386	—	2	3	no	—
122	#386	—	2	6	no	—
123	#386	—	2	3	no	—
124	#385	—	2	3	no	—
125	#385	—	2	3	no	—
126	#384	—	2	3	no	—
127	#384	—	2	3	no	—
128	#384	—	2	1	no	—
129	#384	—	2	3	no	—
130	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
131	#383	—	2	2	no	—
132	#380	—	2	6	no	—
133	#380	C₂³	1	3	yes	—
134	#380	C₂³	1	3	yes	—
135	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
136	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
137	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
138	#340	C₂³	1	6	yes	—
139	#340	C₂³	1	6	yes	—
140	#336	C₂³	1	6	yes	—
141	#336	C₂³	1	6	yes	—
142	C₂×#41	—	2	6	no	—
143	C₂×#41	—	2	6	no	—
144	C₂×#41	—	2	12	no	—
145	C₂×#41	—	4	3	no	—
146	C₂×#41	—	4	3	no	—
147	C₂×#41	—	4	6	no	—
148	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
149	C₂²×Q₈	—	4	3	no	—
150	C₂²×Q₈	—	4	3	no	—
151	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	3	yes	—
153	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
154	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
155	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
156	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
157	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
158	C₂²×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
160	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
161	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
162	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
163	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
164	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
165	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
166	#137	—	4	16	no	—
167	C₂×Q₁₆	—	4	6	no	—
168	C₂×Q₁₆	—	4	6	no	—
169	C₂×Q₁₆	—	4	6	no	—
170	C₂×Q₁₆	—	4	6	no	—
171	C₂×SD₁₆	—	2	12	no	—
172	C₂×M₁₆	—	4	3	no	—
173	C₂×M₁₆	—	4	3	no	—
174	C₂×M₁₆	—	4	6	no	—
175	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
176	C₂²×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
177	C₄⋊Q₈	—	4	3	no	—
178	C₄⋊Q₈	—	4	3	no	—
179	C₄⋊Q₈	—	4	3	no	—
180	C₄⋊Q₈	—	4	3	no	—
181	#127	—	2	4	no	—
182	#123	—	4	24	no	—
183	#123	—	4	12	no	—
184	#123	—	4	12	no	—
185	C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
186	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
187	C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
188	C₂²⋊Q₈	—	4	6	no	—
189	C₂²⋊Q₈	—	4	3	no	—
190	C₂²⋊Q₈	—	4	3	no	—
191	C₂²⋊Q₈	—	4	6	no	—
192	C₂²⋊Q₈	—	4	6	no	—
193	#121	—	4	12	no	—
194	#121	—	4	12	no	—
195	C₄×D₄	—	2	6	no	—
196	C₄×D₄	—	2	6	no	—
197	C₄×D₄	—	4	3	no	—
198	C₄×D₄	—	4	3	no	—
199	C₄×D₄	—	4	3	no	—
200	C₄×D₄	—	4	3	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
216	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
217	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
218	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
219	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
220	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
221	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
222	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
223	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
224	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
225	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
226	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
227	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
228	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
229	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
230	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
231	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
232	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
234	#106	—	2	12	no	—
235	#103	—	2	12	no	—
236	#103	—	4	6	no	—
237	#103	—	4	6	no	—
238	#103	—	4	6	no	—
239	#103	—	4	6	no	—
240	#102	—	2	12	no	—
241	C₂²⋊C₈	—	4	3	no	—
242	C₂²⋊C₈	—	4	6	no	—
243	C₂²⋊C₈	—	4	3	no	—
244	#95	—	2	3	no	—
245	#95	—	2	3	no	—
246	#95	—	2	6	no	—
247	#95	—	2	3	no	—
248	#95	—	2	6	no	—
249	#95	—	2	6	no	—
250	C₂⁴	—	2	1	no	—
251	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂⁴	C₂²×D₄	1	3	yes	—
253	#41	—	4	4	no	—
254	#41	—	4	12	no	—
255	#41	—	8	6	no	—
256	#41	—	8	6	no	—
257	#41	—	8	12	no	—
258	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
259	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
260	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
261	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
262	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
263	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
264	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
265	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
266	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
267	C₂×Q₈	—	8	3	no	—
268	C₂×Q₈	—	8	6	no	—
269	C₂×D₄	—	2	6	no	—
270	C₂×D₄	—	2	6	no	—
271	C₂×D₄	—	2	3	no	—
272	C₂×D₄	—	4	3	no	—
273	C₂×D₄	—	4	3	no	—
274	C₂×D₄	—	4	3	no	—
275	C₂×D₄	—	4	3	no	—
276	C₂×D₄	—	4	12	no	—
277	C₂×D₄	—	4	6	no	—
278	C₂×D₄	—	4	6	no	—
279	C₂×D₄	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
280	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
281	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
283	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
284	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
285	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
286	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
287	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
288	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
289	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
292	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
293	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
294	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
295	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
296	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
297	C₂²×C₄	—	8	3	no	—
298	C₂²×C₄	—	8	3	no	—
299	C₂²×C₄	—	8	6	no	—
300	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
301	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
302	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
303	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
304	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
305	Q₁₆	—	4	8	no	—
306	Q₁₆	—	8	12	no	—
307	SD₁₆	—	4	8	no	—
308	M₁₆	—	4	4	no	—
309	M₁₆	—	8	6	no	—
310	C₂×C₈	—	2	6	no	—
311	C₂×C₈	—	2	6	no	—
312	C₂×C₈	—	2	6	no	—
313	C₂×C₈	—	2	6	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
315	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
316	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
318	C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
319	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
320	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
321	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
322	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
323	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
324	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
325	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
326	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
327	C₄⋊C₄	—	8	3	no	—
328	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
329	C₄⋊C₄	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
330	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
332	C₂²⋊C₄	—	4	3	no	—
333	C₂²⋊C₄	—	4	3	no	—
334	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
335	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
336	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
337	C₂²⋊C₄	—	8	3	no	—
338	C₂²⋊C₄	—	8	3	no	—
339	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
340	C₄²	—	2	3	no	—
341	C₄²	—	2	3	no	—
342	C₄²	—	4	3	no	—
343	C₄²	—	4	6	no	—
344	C₄²	#137	1	4	yes	complemented
345	C₂³	—	2	6	no	—
346	C₂³	—	2	3	no	—
347	C₂³	—	2	3	no	—
348	C₂³	—	2	6	no	—
349	C₂³	—	2	6	no	—
350	C₂³	—	2	3	no	—
351	C₂³	—	2	3	no	—
352	C₂³	—	2	1	no	—
353	C₂³	—	2	3	no	—
354	C₂³	—	4	3	no	—
355	C₂³	—	4	1	no	—
356	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
357	Q₈	—	4	2	no	—
358	Q₈	—	4	1	no	—
359	Q₈	—	4	3	no	—
360	Q₈	—	4	6	no	—
361	Q₈	—	4	6	no	—
362	Q₈	—	4	3	no	—
363	Q₈	—	4	3	no	—
364	Q₈	—	8	4	no	—
365	D₄	—	2	6	no	—
366	D₄	—	8	6	no	—
367	D₄	—	8	6	no	—
368	D₄	—	8	4	no	—
369	D₄	—	8	12	no	—
370	D₄	#560	1	4	yes	—
371	C₂×C₄	—	2	3	no	—
372	C₂×C₄	—	2	3	no	—
373	C₂×C₄	—	2	6	no	—
374	C₂×C₄	—	2	3	no	—
375	C₂×C₄	—	2	6	no	—
376	C₂×C₄	—	2	3	no	—
377	C₂×C₄	—	2	6	no	—
378	C₂×C₄	—	2	3	no	—
379	C₂×C₄	—	4	24	no	—
380	C₂×C₄	—	4	3	no	—
381	C₂×C₄	—	4	3	no	—
382	C₂×C₄	—	4	1	no	—
383	C₂×C₄	—	4	3	no	—
384	C₂×C₄	—	4	3	no	—
385	C₂×C₄	—	4	3	no	—
386	C₂×C₄	—	4	6	no	—
387	C₂×C₄	—	4	6	no	—
388	C₂×C₄	—	4	6	no	—
389	C₂×C₄	—	4	3	no	—
390	C₂×C₄	—	4	3	no	—
391	C₂×C₄	—	4	6	no	—
392	C₂×C₄	—	4	6	no	—
393	C₂×C₄	—	4	6	no	—
394	C₂×C₄	—	8	12	no	—
395	C₂×C₄	—	8	4	no	—
396	C₂×C₄	—	8	4	no	—
397	C₂×C₄	—	16	6	no	—
398	C₂×C₄	C₂×#137	1	6	yes	—
399	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
400	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
401	C₈	—	4	2	no	—
402	C₈	—	4	6	no	—
403	C₂²	—	2	4	no	—
404	C₂²	—	4	6	no	—
405	C₂²	—	4	6	no	—
406	C₂²	—	4	3	no	—
407	C₂²	—	4	3	no	—
408	C₂²	—	4	6	no	—
409	C₂²	—	4	3	no	—
410	C₂²	—	4	3	no	—
411	C₂²	—	4	6	no	—
412	C₂²	—	4	1	no	—
413	C₂²	—	4	3	no	—
414	C₂²	#3484	1	3	yes	—
415	C₂²	C₂²×#137	1	1	yes	characteristic
416	C₂²	#3586	1	3	yes	—
417	C₄	—	2	6	no	—
418	C₄	—	4	6	no	—
419	C₄	—	4	3	no	—
420	C₄	—	4	3	no	—
421	C₄	—	4	1	no	—
422	C₄	—	8	6	no	—
423	C₄	—	8	1	no	—
424	C₄	—	8	3	no	—
425	C₄	—	8	2	no	—
426	C₄	C₂×#560	1	1	yes	characteristic
427	C₄	#3543	1	3	yes	—
428	C₂	—	4	4	no	—
429	C₂	—	8	3	no	—
430	C₂	—	8	1	no	—
431	C₂	#46324	1	1	yes	characteristic
432	C₂	#61586	1	3	yes	—
433	C₂	#61676	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#36179	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#127 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #46330	C₂	semidirect
3. #33082	C₂	semidirect
4. #32801	C₂	semidirect
5. #32037	C₂	semidirect
6. #30721	C₂	semidirect
7. #30517	C₂	semidirect
8. #24446	C₂	semidirect
9. #24055	C₂	semidirect
10. #23865	C₂	semidirect
11. #23357	C₂	semidirect
344. C₄²	#137	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#46330	2
#36179	2
#33082	2
#32801	2
#32037	2
#30721	2
#30517	2
#24446	2
#24055	2
#23865	2
#23357	2