Subgroups — C₂²×#34012 #72339116

Order 1024.

123269 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 297 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁵×C₄²	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#34012	C₂	1	96	yes	maximal, direct product factor
3	C₂²×#2285	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
4	C₂²×#2283	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
5	C₂²×#2280	C₂	1	6	yes	maximal
6	C₂²×C₄×#117	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	C₂⁶×C₄	C₂²	1	3	yes	—
8	C₂³×#117	C₂²	1	12	yes	—
9	C₂⁴×C₄²	C₄	1	64	yes	complemented
10	C₂⁴×C₄²	C₂²	1	6	yes	—
11	C₂⁴×C₄²	C₂²	1	3	yes	—
12	C₂⁴×C₄²	C₂²	1	3	yes	—
13	C₂⁴×C₄²	C₂²	1	48	yes	—
14	#34012	C₂²	1	1024	yes	direct product factor
15	C₂×#2285	C₂²	1	288	yes	complemented
16	C₂²×#384	C₂²	1	4	yes	complemented
17	C₂×#2283	C₂²	1	576	yes	complemented
18	C₂²×#383	C₂²	1	8	yes	complemented
19	C₂²×#382	C₂²	1	12	yes	complemented
20	C₂×#2280	C₂²	1	288	yes	—
21	C₂²×#381	C₂²	1	12	yes	—
22	C₂²×#380	C₂²	1	24	yes	—
23	C₂²×#379	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×C₄×#117	C₂²	1	288	yes	complemented
25	C₂²×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	24	yes	complemented
26	C₂²×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	24	yes	—
27	C₂²×#376	C₂²	1	12	yes	complemented
28	C₂²×C₄³	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₂⁷	C₂³	1	1	yes	characteristic
30	C₂⁵×C₄	—	2	96	no	—
31	C₂⁵×C₄	C₂×C₄	1	96	yes	—
32	C₂⁵×C₄	C₂³	1	6	yes	—
33	C₂⁵×C₄	C₂³	1	6	yes	—
34	C₂⁵×C₄	C₂³	1	3	yes	—
35	C₂⁵×C₄	C₂³	1	72	yes	—
36	C₂⁵×C₄	C₂³	1	3	yes	—
37	C₂²×#117	—	2	192	no	—
38	C₂²×#117	C₂³	1	288	yes	—
39	C₂³×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
40	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
41	C₂³×C₄²	C₂×C₄	1	192	yes	—
42	C₂³×C₄²	C₂×C₄	1	96	yes	—
43	C₂³×C₄²	C₂×C₄	1	96	yes	—
44	C₂³×C₄²	C₂×C₄	1	1536	yes	complemented
45	C₂³×C₄²	C₂³	1	24	yes	—
46	C₂³×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
47	C₂³×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
48	C₂³×C₄²	C₂³	1	72	yes	—
49	C₂³×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
50	C₂³×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂³×C₄²	C₂³	1	144	yes	—
52	C₂³×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₄²	C₂³	1	72	yes	—
54	C₂³×C₄²	C₂³	1	256	yes	—
55	C₂³×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#2285	C₂³	1	1536	yes	complemented
57	C₂×#384	C₂³	1	96	yes	complemented
58	#2283	C₂³	1	3072	yes	complemented
59	C₂×#383	C₂³	1	192	yes	complemented
60	C₂×#382	C₂³	1	288	yes	complemented
61	#2280	C₂³	1	1536	yes	—
62	C₂×#381	C₂³	1	288	yes	—
63	C₂×#380	C₂³	1	576	yes	—
64	C₂×#379	C₂³	1	96	yes	—
65	C₄×#117	C₂³	1	1536	yes	complemented
66	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	576	yes	complemented
67	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	576	yes	—
68	C₂×#376	C₂³	1	288	yes	complemented
69	C₂²×#95	C₂³	1	48	yes	—
70	C₂×C₄³	C₂³	1	96	yes	complemented
71	C₂⁶	—	2	48	no	—
72	C₂⁶	C₂²×C₄	1	16	yes	—
73	C₂⁶	C₂⁴	1	12	yes	—
74	C₂⁶	C₂⁴	1	3	yes	—
75	C₂⁴×C₄	—	2	48	no	—
76	C₂⁴×C₄	—	2	1536	no	—
77	C₂⁴×C₄	—	2	96	no	—
78	C₂⁴×C₄	—	2	96	no	—
79	C₂⁴×C₄	—	2	1152	no	—
80	C₂⁴×C₄	C₂²×C₄	1	48	yes	—
81	C₂⁴×C₄	C₂²×C₄	1	96	yes	—
82	C₂⁴×C₄	C₂²×C₄	1	96	yes	—
83	C₂⁴×C₄	C₂²×C₄	1	1152	yes	—
84	C₂⁴×C₄	C₂²×C₄	1	48	yes	—
85	C₂⁴×C₄	#41	1	96	yes	—
86	C₂⁴×C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
87	C₂⁴×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
88	C₂⁴×C₄	C₂⁴	1	72	yes	—
89	C₂⁴×C₄	C₂⁴	1	72	yes	—
90	C₂⁴×C₄	C₂⁴	1	36	yes	—
91	C₂⁴×C₄	C₂⁴	1	192	yes	—
92	C₂⁴×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
93	C₂⁴×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
94	C₂⁴×C₄	C₂⁴	1	36	yes	—
95	C₂×#117	—	2	2304	no	—
96	C₂×#117	C₂⁴	1	768	yes	—
97	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	192	no	—
98	C₂²×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	288	yes	—
99	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	192	no	—
100	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	288	yes	—
101	C₂²×C₄²	—	2	192	no	—
102	C₂²×C₄²	C₂²×C₄	1	32	yes	—
103	C₂²×C₄²	C₂²×C₄	1	48	yes	—
104	C₂²×C₄²	C₂²×C₄	1	48	yes	—
105	C₂²×C₄²	C₂²×C₄	1	96	yes	—
106	C₂²×C₄²	C₂²×C₄	1	16	yes	—
107	C₂²×C₄²	C₂²×C₄	1	16	yes	—
108	C₂²×C₄²	C₂²×C₄	1	2304	yes	—
109	C₂²×C₄²	C₂²×C₄	1	1152	yes	—
110	C₂²×C₄²	C₂²×C₄	1	1152	yes	—
111	C₂²×C₄²	C₂²×C₄	1	4096	yes	complemented
112	C₂²×C₄²	C₂⁴	1	288	yes	—
113	C₂²×C₄²	C₂⁴	1	36	yes	—
114	C₂²×C₄²	C₂⁴	1	72	yes	—
115	C₂²×C₄²	C₂⁴	1	192	yes	—
116	C₂²×C₄²	C₂⁴	1	36	yes	—
117	C₂²×C₄²	C₂⁴	1	24	yes	—
118	C₂²×C₄²	C₂⁴	1	384	yes	—
119	C₂²×C₄²	C₂⁴	1	12	yes	—
120	C₂²×C₄²	C₂⁴	1	192	yes	—
121	C₂²×C₄²	C₂⁴	1	12	yes	—
122	#384	C₂⁴	1	256	yes	complemented
123	#383	C₂⁴	1	512	yes	complemented
124	#382	C₂⁴	1	768	yes	complemented
125	#381	C₂⁴	1	768	yes	—
126	#380	C₂⁴	1	1536	yes	—
127	#379	C₂⁴	1	256	yes	—
128	C₄×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1536	yes	complemented
129	C₄×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	1536	yes	—
130	#376	C₂⁴	1	768	yes	complemented
131	C₂×#95	C₂⁴	1	576	yes	—
132	C₄³	C₂⁴	1	256	yes	complemented
133	C₂⁵	—	2	512	no	—
134	C₂⁵	—	2	384	no	—
135	C₂⁵	—	2	288	no	—
136	C₂⁵	—	2	48	no	—
137	C₂⁵	C₂³×C₄	1	96	yes	—
138	C₂⁵	C₂³×C₄	1	24	yes	—
139	C₂⁵	C₂×#41	1	48	yes	—
140	C₂⁵	C₂⁵	1	16	yes	—
141	C₂⁵	C₂⁵	1	18	yes	—
142	C₂⁵	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
143	C₂³×C₄	—	2	384	no	—
144	C₂³×C₄	—	2	288	no	—
145	C₂³×C₄	—	2	48	no	—
146	C₂³×C₄	—	2	768	no	—
147	C₂³×C₄	—	2	768	no	—
148	C₂³×C₄	—	2	9216	no	—
149	C₂³×C₄	—	2	576	no	—
150	C₂³×C₄	—	2	576	no	—
151	C₂³×C₄	—	2	1536	no	—
152	C₂³×C₄	—	2	192	no	—
153	C₂³×C₄	#117	1	768	yes	complemented
154	C₂³×C₄	C₂³×C₄	1	288	yes	—
155	C₂³×C₄	C₂³×C₄	1	48	yes	—
156	C₂³×C₄	C₂³×C₄	1	576	yes	—
157	C₂³×C₄	C₂³×C₄	1	576	yes	—
158	C₂³×C₄	C₂³×C₄	1	1536	yes	—
159	C₂³×C₄	C₂³×C₄	1	24	yes	—
160	C₂³×C₄	C₂³×C₄	1	24	yes	—
161	C₂³×C₄	C₂³×C₄	1	288	yes	—
162	C₂³×C₄	C₂×#41	1	48	yes	—
163	C₂³×C₄	C₂×#41	1	48	yes	—
164	C₂³×C₄	C₂×#41	1	576	yes	—
165	C₂³×C₄	C₂⁵	1	96	yes	—
166	C₂³×C₄	C₂⁵	1	36	yes	—
167	C₂³×C₄	C₂⁵	1	96	yes	—
168	C₂³×C₄	C₂⁵	1	96	yes	—
169	C₂³×C₄	C₂⁵	1	48	yes	—
170	C₂³×C₄	C₂⁵	1	18	yes	—
171	C₂³×C₄	C₂⁵	1	48	yes	—
172	C₂³×C₄	C₂⁵	1	18	yes	—
173	#117	—	2	3072	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1152	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁵	1	384	yes	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1152	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁵	1	384	yes	—
178	C₂×C₄²	—	2	1152	no	—
179	C₂×C₄²	C₂³×C₄	1	192	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂³×C₄	1	288	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂³×C₄	1	288	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂³×C₄	1	576	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂³×C₄	1	96	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂³×C₄	1	96	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂³×C₄	1	3072	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂³×C₄	1	1536	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂³×C₄	1	1536	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂⁵	1	384	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂⁵	1	16	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂⁵	1	48	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂⁵	1	96	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂⁵	1	48	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂⁵	1	32	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂⁵	1	16	yes	—
195	#95	C₂⁵	1	768	yes	—
196	C₂⁴	—	2	1536	no	—
197	C₂⁴	—	2	2048	no	—
198	C₂⁴	—	2	192	no	—
199	C₂⁴	—	2	144	no	—
200	C₂⁴	—	2	1152	no	—
201	C₂⁴	—	2	192	no	—
202	C₂⁴	—	2	384	no	—
203	C₂⁴	C₂×#117	1	192	yes	—
204	C₂⁴	C₂⁴×C₄	1	64	yes	—
205	C₂⁴	C₂⁴×C₄	1	72	yes	—
206	C₂⁴	C₂⁴×C₄	1	4	yes	—
207	C₂⁴	C₂²×#41	1	144	yes	—
208	C₂⁴	C₂²×#41	1	24	yes	—
209	C₂⁴	C₂⁶	1	12	yes	—
210	C₂⁴	C₂⁶	1	3	yes	—
211	C₂²×C₄	—	2	192	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	144	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	1152	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	192	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	384	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	384	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2304	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2304	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	6144	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	576	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	256	no	—
222	C₂²×C₄	C₂×#117	1	192	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×#117	1	192	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×#117	1	2304	yes	complemented
225	C₂²×C₄	C₂⁴×C₄	1	192	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂⁴×C₄	1	144	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂⁴×C₄	1	384	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂⁴×C₄	1	384	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂⁴×C₄	1	72	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂⁴×C₄	1	72	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂⁴×C₄	1	192	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×#41	1	144	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂²×#41	1	144	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×#41	1	384	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂⁶	1	64	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂⁶	1	24	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂⁶	1	12	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂⁶	1	12	yes	—
239	C₄⋊C₄	—	2	768	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	768	no	—
241	C₄²	—	2	768	no	—
242	C₄²	C₂⁴×C₄	1	128	yes	—
243	C₄²	C₂⁴×C₄	1	192	yes	—
244	C₄²	C₂⁴×C₄	1	192	yes	—
245	C₄²	C₂⁴×C₄	1	384	yes	—
246	C₄²	C₂⁴×C₄	1	64	yes	—
247	C₄²	C₂⁴×C₄	1	64	yes	—
248	C₂³	—	2	3072	no	—
249	C₂³	—	2	512	no	—
250	C₂³	—	2	48	no	—
251	C₂³	—	2	384	no	—
252	C₂³	—	2	288	no	—
253	C₂³	—	2	576	no	—
254	C₂³	—	2	768	no	—
255	C₂³	C₂²×#117	1	288	yes	—
256	C₂³	C₂²×#117	1	48	yes	—
257	C₂³	#3444	1	64	yes	—
258	C₂³	C₂⁵×C₄	1	24	yes	—
259	C₂³	C₂⁵×C₄	1	6	yes	—
260	C₂³	C₂³×#41	1	48	yes	—
261	C₂³	C₂³×#41	1	36	yes	—
262	C₂³	C₂⁷	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	—	2	48	no	—
264	C₂×C₄	—	2	384	no	—
265	C₂×C₄	—	2	288	no	—
266	C₂×C₄	—	2	768	no	—
267	C₂×C₄	—	2	768	no	—
268	C₂×C₄	—	2	192	no	—
269	C₂×C₄	—	4	384	no	—
270	C₂×C₄	C₂²×#117	1	288	yes	—
271	C₂×C₄	C₂²×#117	1	288	yes	—
272	C₂×C₄	C₂²×#117	1	768	yes	complemented
273	C₂×C₄	C₂⁵×C₄	1	48	yes	—
274	C₂×C₄	C₂⁵×C₄	1	24	yes	—
275	C₂×C₄	C₂⁵×C₄	1	24	yes	—
276	C₂×C₄	C₂³×#41	1	48	yes	—
277	C₂×C₄	C₂³×#41	1	48	yes	—
278	C₂²	—	2	512	no	—
279	C₂²	—	2	48	no	—
280	C₂²	—	2	576	no	—
281	C₂²	—	2	96	no	—
282	C₂²	#34012	1	64	yes	direct product factor
283	C₂²	C₂³×#117	1	48	yes	—
284	C₂²	C₂³×#117	1	36	yes	—
285	C₂²	C₂×#3444	1	48	yes	—
286	C₂²	C₂⁶×C₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂²	C₂⁴×#41	1	6	yes	—
288	C₄	—	2	48	no	—
289	C₄	—	4	64	no	—
290	C₄	C₂³×#117	1	48	yes	—
291	C₄	C₂³×#117	1	48	yes	—
292	C₂	—	2	48	no	—
293	C₂	C₂×#34012	1	24	yes	direct product factor
294	C₂	C₂⁴×#117	1	3	yes	—
295	C₂	C₂²×#3444	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³×C₄²	C₂³
commutator	C₂²	C₂⁶×C₄
Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁷
prime radical	C₂⁷	C₂³
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#34012	C₂	direct (N × H)
3. C₂²×#2285	C₂	semidirect
4. C₂²×#2283	C₂	semidirect
6. C₂²×C₄×#117	C₂	semidirect
9. C₂⁴×C₄²	C₄	semidirect
14. #34012	C₂²	direct (N × H)
15. C₂×#2285	C₂²	semidirect
16. C₂²×#384	C₂²	semidirect
17. C₂×#2283	C₂²	semidirect
18. C₂²×#383	C₂²	semidirect
19. C₂²×#382	C₂²	semidirect
24. C₂×C₄×#117	C₂²	semidirect
25. C₂²×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
27. C₂²×#376	C₂²	semidirect
28. C₂²×C₄³	C₂²	semidirect
44. C₂³×C₄²	C₂×C₄	semidirect
56. #2285	C₂³	semidirect
57. C₂×#384	C₂³	semidirect
58. #2283	C₂³	semidirect
59. C₂×#383	C₂³	semidirect
60. C₂×#382	C₂³	semidirect
65. C₄×#117	C₂³	semidirect
66. C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
68. C₂×#376	C₂³	semidirect
70. C₂×C₄³	C₂³	semidirect
111. C₂²×C₄²	C₂²×C₄	semidirect
122. #384	C₂⁴	semidirect
123. #383	C₂⁴	semidirect
124. #382	C₂⁴	semidirect
128. C₄×C₄⋊C₄	C₂⁴	semidirect
130. #376	C₂⁴	semidirect
132. C₄³	C₂⁴	semidirect
153. C₂³×C₄	#117	semidirect
224. C₂²×C₄	C₂×#117	semidirect
272. C₂×C₄	C₂²×#117	semidirect
282. C₂²	#34012	direct (N × H)
293. C₂	C₂×#34012	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁵×C₄²	2
C₂×#34012	2
C₂²×#2285	2
C₂²×#2283	2
C₂²×#2280	2
C₂²×C₄×#117	2

Subgroups — C22×#34012 #72339116

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#34012 #72339116