Subgroups — #7234138

Order 512.

1521 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 271 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#52993	C₂	1	2	yes	maximal
2	#33273	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#32869	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#31732	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	#31683	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#27661	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#24781	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
8	#24268	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	#21683	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#467	C₂²	1	6	yes	—
12	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	3	yes	—
13	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	3	yes	—
14	C₂²×#107	C₂²	1	3	yes	—
15	#2841	—	2	6	no	—
16	#2834	—	2	2	no	—
17	#2760	—	2	2	no	—
18	#2693	—	2	6	no	—
19	#2645	C₂²	1	4	yes	—
20	#2486	C₂²	1	6	yes	—
21	#2417	C₂²	1	12	yes	—
22	#2409	C₂²	1	6	yes	—
23	#2397	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2086	C₂²	1	6	yes	—
25	#2075	C₂²	1	6	yes	—
26	#2068	C₂²	1	12	yes	—
27	#2056	C₂²	1	6	yes	—
28	#2036	C₂²	1	12	yes	—
29	#2001	C₂²	1	6	yes	—
30	#1969	C₂²	1	6	yes	—
31	#1955	C₂²	1	3	yes	—
32	#1955	C₂²	1	3	yes	—
33	#1942	C₂²	1	6	yes	—
34	#1935	C₂²	1	12	yes	—
35	#1872	C₂²	1	12	yes	—
36	#1843	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1823	C₂²	1	6	yes	—
38	#1808	C₂²	1	3	yes	—
39	#1808	C₂²	1	3	yes	—
40	#1787	C₂²	1	6	yes	—
41	#1726	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×Q₁₆	—	4	6	no	—
44	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	C₂³	1	3	yes	—
48	C₂×#123	—	2	6	no	—
49	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	12	yes	—
50	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
53	#467	—	4	12	no	—
54	C₈×D₄	—	4	6	no	—
55	C₈×D₄	—	4	6	no	—
56	C₂×#107	—	4	6	no	—
57	C₂×#107	C₂³	1	6	yes	—
58	C₂×#107	C₂³	1	6	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
61	C₂×#103	C₂³	1	12	yes	—
62	C₂×#103	C₂³	1	12	yes	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
64	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
65	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
66	C₂×#97	C₂³	1	3	yes	—
67	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
68	#401	—	2	4	no	—
69	#400	—	2	12	no	—
70	#399	D₄	1	1	yes	characteristic
71	#399	D₄	1	3	yes	—
72	#398	—	2	12	no	—
73	#398	—	2	6	no	—
74	#397	—	2	6	no	—
75	#396	—	2	12	no	—
76	#395	—	2	6	no	—
77	#393	—	2	6	no	—
78	#392	D₄	1	3	yes	—
79	#392	D₄	1	1	yes	characteristic
80	#391	C₂³	1	12	yes	—
81	#389	C₂³	1	12	yes	—
82	#386	—	2	6	no	—
83	#386	—	2	12	no	—
84	#385	—	2	6	no	—
85	#381	—	2	6	no	—
86	#380	—	2	12	no	—
87	#380	C₂³	1	6	yes	—
88	#380	C₂³	1	6	yes	—
89	#376	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	#340	C₂³	1	6	yes	—
91	#340	C₂³	1	6	yes	—
92	#340	C₂³	1	12	yes	—
93	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
94	C₂²×Q₈	—	4	6	no	—
95	C₂²×Q₈	—	4	6	no	—
96	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
97	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
98	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
99	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
100	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
101	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
103	C₂×Q₁₆	—	2	12	no	—
104	C₂×Q₁₆	—	4	6	no	—
105	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
109	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
113	#123	—	8	12	no	—
114	C₂²⋊Q₈	—	4	12	no	—
115	C₂²⋊Q₈	—	4	12	no	—
116	C₄×D₄	—	4	3	no	—
117	C₄×D₄	—	4	3	no	—
118	C₄×D₄	—	4	3	no	—
119	C₄×D₄	—	4	3	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
135	#107	—	2	12	no	—
136	#107	—	4	6	no	—
137	C₄⋊C₈	—	4	3	no	—
138	C₄⋊C₈	—	4	3	no	—
139	#103	—	4	12	no	—
140	#103	—	4	12	no	—
141	C₂²⋊C₈	—	4	6	no	—
142	C₂²⋊C₈	—	4	3	no	—
143	C₂²⋊C₈	—	4	3	no	—
144	#97	—	4	3	no	—
145	C₄×C₈	—	2	6	no	—
146	#95	—	2	6	no	—
147	#95	—	2	12	no	—
148	#95	—	2	6	no	—
149	#95	—	2	12	no	—
150	#95	—	2	12	no	—
151	#95	C₂×D₄	1	3	yes	—
152	#95	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂⁴	C₂²×D₄	1	3	yes	—
155	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
156	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
157	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
158	C₂×Q₈	—	8	6	no	—
159	C₂×Q₈	—	8	12	no	—
160	C₂×D₄	—	2	6	no	—
161	C₂×D₄	—	2	6	no	—
162	C₂×D₄	—	2	12	no	—
163	C₂×D₄	—	4	3	no	—
164	C₂×D₄	—	4	3	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
174	C₂²×C₄	—	8	6	no	—
175	C₂²×C₄	—	8	6	no	—
176	C₂²×C₄	—	8	6	no	—
177	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
182	Q₁₆	—	4	8	no	—
183	Q₁₆	—	4	8	no	—
184	C₂×C₈	—	2	3	no	—
185	C₂×C₈	—	2	6	no	—
186	C₂×C₈	—	2	3	no	—
187	C₂×C₈	—	2	3	no	—
188	C₂×C₈	—	2	6	no	—
189	C₂×C₈	—	4	12	no	—
190	C₂×C₈	—	4	4	no	—
191	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
192	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
193	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
194	C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
195	C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
196	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
197	C₄⋊C₄	—	8	12	no	—
198	C₄⋊C₄	—	8	12	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	4	3	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	4	3	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	8	12	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
205	C₄²	—	2	3	no	—
206	C₄²	—	2	3	no	—
207	C₂³	—	2	6	no	—
208	C₂³	—	2	3	no	—
209	C₂³	—	2	3	no	—
210	C₂³	—	2	3	no	—
211	C₂³	—	2	6	no	—
212	C₂³	—	2	3	no	—
213	C₂³	#576	1	2	yes	—
214	C₂³	#578	1	6	yes	—
215	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
216	Q₈	—	4	4	no	—
217	Q₈	—	4	12	no	—
218	Q₈	—	8	8	no	—
219	D₄	—	4	12	no	—
220	D₄	—	4	12	no	—
221	C₂×C₄	—	2	3	no	—
222	C₂×C₄	—	2	3	no	—
223	C₂×C₄	—	2	3	no	—
224	C₂×C₄	—	2	6	no	—
225	C₂×C₄	—	2	3	no	—
226	C₂×C₄	—	2	3	no	—
227	C₂×C₄	—	2	6	no	—
228	C₂×C₄	—	2	3	no	—
229	C₂×C₄	—	4	3	no	—
230	C₂×C₄	—	4	1	no	—
231	C₂×C₄	—	4	3	no	—
232	C₂×C₄	—	4	6	no	—
233	C₂×C₄	—	4	3	no	—
234	C₂×C₄	—	4	12	no	—
235	C₂×C₄	—	4	12	no	—
236	C₂×C₄	—	4	12	no	—
237	C₂×C₄	—	4	12	no	—
238	C₂×C₄	—	8	8	no	—
239	C₂×C₄	—	16	12	no	—
240	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
241	C₂×C₄	#585	1	3	yes	—
242	C₈	—	4	3	no	—
243	C₈	—	4	1	no	—
244	C₈	—	4	3	no	—
245	C₈	#560	1	4	yes	—
246	C₂²	—	2	12	no	—
247	C₂²	—	2	6	no	—
248	C₂²	—	2	6	no	—
249	C₂²	—	4	3	no	—
250	C₂²	—	4	3	no	—
251	C₂²	—	4	6	no	—
252	C₂²	—	4	1	no	—
253	C₂²	—	4	3	no	—
254	C₂²	#3496	1	3	yes	—
255	C₂²	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
256	C₂²	C₂×#578	1	3	yes	—
257	C₄	—	4	3	no	—
258	C₄	—	4	3	no	—
259	C₄	—	4	3	no	—
260	C₄	—	4	1	no	—
261	C₄	—	8	12	no	—
262	C₄	—	8	4	no	—
263	C₄	C₂×#560	1	1	yes	characteristic
264	C₄	#3551	1	3	yes	—
265	C₂	—	4	6	no	—
266	C₂	—	4	2	no	—
267	C₂	#46328	1	1	yes	characteristic
268	C₂	#62271	1	3	yes	—
269	C₂	#62272	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#2397	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #2397 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33273	C₂	semidirect
3. #32869	C₂	semidirect
4. #31732	C₂	semidirect
5. #31683	C₂	semidirect
6. #27661	C₂	semidirect
7. #24781	C₂	semidirect
8. #24268	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#52993	2
#33273	2
#32869	2
#31732	2
#31683	2
#27661	2
#24781	2
#24268	2
#21683	2