Subgroups — C₂×#31056 #7503319

Order 512.

5258 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 408 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#447	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	C₂×#2408	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#31056	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
4	C₂×#2054	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#2033	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1970	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#1954	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂⁴×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
9	C₂³×D₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂³×D₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#121	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×#120	—	2	2	no	—
13	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#447	—	2	32	no	—
15	C₂×#447	C₂²	1	32	yes	complemented
16	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	complemented
17	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
22	#2408	—	2	8	no	—
23	#2408	C₂²	1	16	yes	complemented
24	C₂×#394	—	2	2	no	—
25	C₂×#392	—	2	2	no	—
26	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂×#380	C₂²	1	2	yes	complemented
28	C₂×#379	—	2	2	no	—
29	#2054	C₂²	1	16	yes	complemented
30	#2033	C₂²	1	32	yes	complemented
31	#1970	C₂²	1	16	yes	complemented
32	#1954	C₂²	1	8	yes	complemented
33	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	complemented
34	C₂⁶	—	2	2	no	—
35	C₂³×D₄	—	2	16	no	—
36	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
37	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
38	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
39	C₂³×D₄	—	4	4	no	—
40	C₂³×D₄	—	4	4	no	—
41	C₂³×D₄	—	4	8	no	—
42	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂³×D₄	C₂³	1	8	yes	complemented
45	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×D₈	—	2	16	no	—
47	C₂²×D₈	—	4	4	no	—
48	C₂²×D₈	—	4	4	no	—
49	C₂²×D₈	—	4	4	no	—
50	C₂²×D₈	D₄	1	16	yes	complemented
51	C₂²×D₈	C₂³	1	8	yes	—
52	C₂²×D₈	C₂³	1	8	yes	—
53	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#121	—	2	8	no	—
56	C₂×#121	—	2	16	no	—
57	C₂×#121	—	4	8	no	—
58	C₂×#121	C₂³	1	16	yes	—
59	C₂×#120	—	2	16	no	—
60	C₂×#120	—	4	16	no	—
61	C₂×C₄×D₄	—	4	2	no	—
62	C₂×C₄×D₄	—	4	2	no	—
63	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
64	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
69	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#447	—	2	128	no	—
74	C₂×#107	—	4	4	no	—
75	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	complemented
76	C₂×C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	complemented
78	C₂×#102	—	2	16	no	—
79	C₂×#102	—	2	16	no	—
80	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	complemented
81	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	complemented
82	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	16	yes	complemented
84	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	complemented
86	#394	—	2	16	no	—
87	#392	—	2	16	no	—
88	#390	—	2	8	no	—
89	#390	C₂³	1	16	yes	complemented
90	#380	—	2	4	no	—
91	#380	C₂³	1	8	yes	complemented
92	#379	—	2	16	no	—
93	C₂×#95	—	2	2	no	—
94	#340	C₂³	1	8	yes	complemented
95	C₂⁵	—	2	4	no	—
96	C₂⁵	—	2	8	no	—
97	C₂⁵	—	4	16	no	—
98	C₂⁵	—	4	8	no	—
99	C₂⁵	—	4	8	no	—
100	C₂⁵	—	4	8	no	—
101	C₂⁵	—	8	8	no	—
102	C₂⁵	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
112	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
113	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
115	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
116	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
119	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
120	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
121	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	64	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
124	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
125	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
126	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
127	C₂²×D₄	D₈	1	8	yes	complemented
128	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
129	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	C₂²×D₄	C₂⁴	1	8	yes	—
131	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
132	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
133	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
134	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
135	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
142	C₂×D₈	—	2	32	no	—
143	C₂×D₈	—	4	32	no	—
144	C₂×D₈	—	4	8	no	—
145	C₂×D₈	—	4	8	no	—
146	C₂×D₈	—	4	8	no	—
147	C₂×D₈	—	4	32	no	—
148	C₂×D₈	C₂×D₄	1	32	yes	complemented
149	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
156	#121	—	2	32	no	—
157	#121	—	4	16	no	—
158	#121	—	4	32	no	—
159	#120	—	4	64	no	—
160	C₄×D₄	—	4	8	no	—
161	C₄×D₄	—	4	4	no	—
162	C₄×D₄	—	4	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
179	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
183	#107	—	4	8	no	—
184	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
185	#102	—	2	32	no	—
186	#102	—	2	32	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	2	32	no	—
188	C₄×C₈	—	4	4	no	—
189	#95	—	2	8	no	—
190	C₂⁴	—	2	4	no	—
191	C₂⁴	—	2	8	no	—
192	C₂⁴	—	2	4	no	—
193	C₂⁴	—	2	8	no	—
194	C₂⁴	—	2	16	no	—
195	C₂⁴	—	2	8	no	—
196	C₂⁴	—	4	32	no	—
197	C₂⁴	—	4	16	no	—
198	C₂⁴	—	4	16	no	—
199	C₂⁴	—	4	64	no	—
200	C₂⁴	—	4	8	no	—
201	C₂⁴	—	4	8	no	—
202	C₂⁴	—	4	8	no	—
203	C₂⁴	—	4	8	no	—
204	C₂⁴	—	4	8	no	—
205	C₂⁴	—	4	8	no	—
206	C₂⁴	—	4	16	no	—
207	C₂⁴	—	8	16	no	—
208	C₂⁴	—	8	64	no	—
209	C₂⁴	—	8	32	no	—
210	C₂⁴	—	8	64	no	—
211	C₂⁴	—	8	32	no	—
212	C₂⁴	C₂×D₈	1	8	yes	—
213	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
214	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂×D₄	—	2	32	no	—
216	C₂×D₄	—	2	32	no	—
217	C₂×D₄	—	2	16	no	—
218	C₂×D₄	—	2	8	no	—
219	C₂×D₄	—	2	8	no	—
220	C₂×D₄	—	2	8	no	—
221	C₂×D₄	—	2	8	no	—
222	C₂×D₄	—	2	8	no	—
223	C₂×D₄	—	4	4	no	—
224	C₂×D₄	—	4	16	no	—
225	C₂×D₄	—	4	4	no	—
226	C₂×D₄	—	4	32	no	—
227	C₂×D₄	—	4	16	no	—
228	C₂×D₄	—	4	32	no	—
229	C₂×D₄	—	4	64	no	—
230	C₂×D₄	—	4	64	no	—
231	C₂×D₄	—	4	128	no	—
232	C₂×D₄	—	4	32	no	—
233	C₂×D₄	—	4	32	no	—
234	C₂×D₄	—	4	32	no	—
235	C₂×D₄	—	4	16	no	—
236	C₂×D₄	—	4	8	no	—
237	C₂×D₄	—	4	8	no	—
238	C₂×D₄	—	4	16	no	—
239	C₂×D₄	—	8	16	no	—
240	C₂×D₄	—	8	64	no	—
241	C₂×D₄	C₂×D₈	1	16	yes	complemented
242	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
262	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
272	D₈	—	4	32	no	—
273	D₈	—	4	32	no	—
274	C₂×C₈	—	2	16	no	—
275	C₂×C₈	—	2	4	no	—
276	C₂×C₈	—	2	4	no	—
277	C₂×C₈	—	2	8	no	—
278	C₂×C₈	—	2	4	no	—
279	C₂×C₈	—	4	8	no	—
280	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
281	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
290	C₄²	—	2	4	no	—
291	C₄²	—	2	2	no	—
292	C₄²	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	2	16	no	—
294	C₂³	—	2	4	no	—
295	C₂³	—	2	8	no	—
296	C₂³	—	2	32	no	—
297	C₂³	—	2	4	no	—
298	C₂³	—	2	8	no	—
299	C₂³	—	2	16	no	—
300	C₂³	—	4	8	no	—
301	C₂³	—	4	8	no	—
302	C₂³	—	4	16	no	—
303	C₂³	—	4	64	no	—
304	C₂³	—	4	8	no	—
305	C₂³	—	4	32	no	—
306	C₂³	—	4	8	no	—
307	C₂³	—	4	32	no	—
308	C₂³	—	4	32	no	—
309	C₂³	—	4	8	no	—
310	C₂³	—	4	8	no	—
311	C₂³	—	4	8	no	—
312	C₂³	—	4	8	no	—
313	C₂³	—	8	64	no	—
314	C₂³	—	8	32	no	—
315	C₂³	—	8	64	no	—
316	C₂³	—	8	32	no	—
317	C₂³	—	8	256	no	—
318	C₂³	—	8	16	no	—
319	C₂³	—	8	16	no	—
320	C₂³	—	8	16	no	—
321	C₂³	—	8	16	no	—
322	C₂³	#534	1	2	yes	—
323	C₂³	D₄²	1	4	yes	—
324	C₂³	C₂²×D₈	1	8	yes	—
325	C₂³	C₂²×D₈	1	2	yes	—
326	C₂³	#575	1	2	yes	—
327	C₂³	#576	1	4	yes	—
328	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
329	D₄	—	2	16	no	—
330	D₄	—	2	16	no	—
331	D₄	—	4	16	no	—
332	D₄	—	4	64	no	—
333	D₄	—	4	8	no	—
334	D₄	—	4	32	no	—
335	D₄	—	4	8	no	—
336	D₄	—	8	64	no	—
337	C₂×C₄	—	2	8	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	8	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	8	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	8	no	—
347	C₂×C₄	—	4	16	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	8	no	—
351	C₂×C₄	—	4	8	no	—
352	C₂×C₄	—	4	8	no	—
353	C₂×C₄	—	8	16	no	—
354	C₂×C₄	#534	1	8	yes	—
355	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
357	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
358	C₂×C₄	H(3,𝔽₄)	1	4	yes	—
359	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
360	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
364	C₈	—	2	8	no	—
365	C₈	—	4	4	no	—
366	C₂²	—	2	8	no	—
367	C₂²	—	2	16	no	—
368	C₂²	—	4	4	no	—
369	C₂²	—	4	32	no	—
370	C₂²	—	4	8	no	—
371	C₂²	—	4	4	no	—
372	C₂²	—	4	16	no	—
373	C₂²	—	4	16	no	—
374	C₂²	—	4	16	no	—
375	C₂²	—	8	128	no	—
376	C₂²	—	8	8	no	—
377	C₂²	—	8	8	no	—
378	C₂²	—	8	64	no	—
379	C₂²	—	8	8	no	—
380	C₂²	—	8	8	no	—
381	C₂²	#2679	1	4	yes	—
382	C₂²	#3186	1	4	yes	—
383	C₂²	#3199	1	4	yes	—
384	C₂²	#3273	1	8	yes	—
385	C₂²	D₄×D₈	1	8	yes	—
386	C₂²	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	C₂×D₄²	1	2	yes	—
388	C₂²	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	C₂×#575	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	C₂×#576	1	2	yes	—
391	C₄	—	2	4	no	—
392	C₄	—	4	2	no	—
393	C₄	—	4	4	no	—
394	C₄	—	8	8	no	—
395	C₄	#2679	1	4	yes	—
396	C₄	C₂×#534	1	2	yes	—
397	C₄	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
398	C₄	C₂×H(3,𝔽₄)	1	1	yes	characteristic
399	C₂	—	4	8	no	—
400	C₂	—	8	16	no	—
401	C₂	#31056	1	8	yes	direct product factor
402	C₂	C₂×#2679	1	1	yes	characteristic
403	C₂	C₂×#3186	1	1	yes	characteristic
404	C₂	C₂×#3199	1	1	yes	characteristic
405	C₂	C₂×#3273	1	2	yes	—
406	C₂	C₂×D₄×D₈	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#447	C₂	semidirect
2. C₂×#2408	C₂	semidirect
3. #31056	C₂	direct (N × H)
4. C₂×#2054	C₂	semidirect
5. C₂×#2033	C₂	semidirect
6. C₂×#1970	C₂	semidirect
7. C₂×#1954	C₂	semidirect
8. C₂⁴×D₄	C₂²	semidirect
15. C₂×#447	C₂²	semidirect
16. C₂²×#107	C₂²	semidirect
17. C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
18. C₂²×#102	C₂²	semidirect
19. C₂²×#102	C₂²	semidirect
20. C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
21. C₂²×C₄×C₈	C₂²	semidirect
23. #2408	C₂²	semidirect
26. C₂×#390	C₂²	semidirect
27. C₂×#380	C₂²	semidirect
29. #2054	C₂²	semidirect
30. #2033	C₂²	semidirect
31. #1970	C₂²	semidirect
32. #1954	C₂²	semidirect
33. C₂×#340	C₂²	semidirect
44. C₂³×D₄	C₂³	semidirect
50. C₂²×D₈	D₄	semidirect
75. C₂×#107	C₂³	semidirect
77. C₂×C₄⋊C₈	C₂³	semidirect
80. C₂×#102	C₂³	semidirect
81. C₂×#102	C₂³	semidirect
83. C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	semidirect
85. C₂×C₄×C₈	C₂³	semidirect
89. #390	C₂³	semidirect
91. #380	C₂³	semidirect
94. #340	C₂³	semidirect
127. C₂²×D₄	D₈	semidirect
148. C₂×D₈	C₂×D₄	semidirect
241. C₂×D₄	C₂×D₈	semidirect
401. C₂	#31056	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#447	2
C₂×#2408	2
#31056	2
C₂×#2054	2
C₂×#2033	2
C₂×#1970	2
C₂×#1954	2

Subgroups — C2×#31056 #7503319

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#31056 #7503319