Subgroups — C₂×#31071 #7503361

Order 512.

3480 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 403 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#456	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3013	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#31071	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
4	C₂×#2052	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂×#2039	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1974	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#1956	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×#137	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂²×#135	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#537	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#456	—	2	16	no	—
14	C₂×#456	C₂²	1	16	yes	complemented
15	#3013	—	2	16	no	—
16	#3013	C₂²	1	32	yes	complemented
17	C₂×#452	—	2	4	no	—
18	C₂×#449	—	2	4	no	—
19	C₂×#451	—	2	4	no	—
20	C₂×#448	—	2	4	no	—
21	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂²×#103	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂²×#101	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#408	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#2052	C₂²	1	32	yes	complemented
30	#2039	C₂²	1	16	yes	complemented
31	#1974	C₂²	1	16	yes	complemented
32	#1956	C₂²	1	8	yes	complemented
33	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
35	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
36	C₂×2₋¹⁺⁴	—	4	2	no	—
37	C₂×2₋¹⁺⁴	—	4	4	no	—
38	C₂×2₋¹⁺⁴	—	4	8	no	—
39	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂³	1	8	yes	—
40	C₂²×#41	—	2	4	no	—
41	C₂²×#41	—	4	2	no	—
42	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂³×Q₈	—	2	4	no	—
44	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×#137	—	2	8	no	—
46	C₂×#137	—	2	16	no	—
47	C₂×#137	—	4	8	no	—
48	C₂×#137	C₂³	1	16	yes	—
49	C₂×#135	—	4	4	no	—
50	C₂×#135	—	4	4	no	—
51	C₂×#135	D₄	1	8	yes	—
52	C₂×#135	C₂³	1	8	yes	—
53	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
54	C₂²×Q₁₆	D₄	1	2	yes	—
55	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
56	C₂²×SD₁₆	D₄	1	4	yes	—
57	C₂²×D₈	D₄	1	2	yes	—
58	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	#537	—	2	8	no	—
61	#537	—	4	2	no	—
62	#537	C₂³	1	8	yes	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	8	yes	complemented
66	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
68	C₂×#121	—	2	4	no	—
69	C₂×#121	—	4	2	no	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	#456	—	2	64	no	—
75	#452	—	2	32	no	—
76	#451	—	2	32	no	—
77	#449	—	2	32	no	—
78	#448	—	2	32	no	—
79	C₂×#108	—	4	4	no	—
80	C₂×#108	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂×#104	—	2	16	no	—
82	C₂×#104	C₂³	1	16	yes	—
83	#417	—	2	8	no	—
84	#417	C₂³	1	16	yes	—
85	C₂×#103	—	2	4	no	—
86	C₂×#103	—	2	4	no	—
87	C₂×#103	—	2	4	no	—
88	C₂×#103	—	2	8	no	—
89	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
90	C₂×#102	—	2	4	no	—
91	C₂×#101	—	2	8	no	—
92	C₂×#101	C₂³	1	8	yes	—
93	#408	—	2	8	no	—
94	#408	C₂³	1	16	yes	—
95	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
96	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
97	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
99	#384	—	4	1	no	—
100	#384	C₂³	1	4	yes	—
101	#343	C₂³	1	8	yes	—
102	2₋¹⁺⁴	—	2	16	no	—
103	2₋¹⁺⁴	—	4	8	no	—
104	2₋¹⁺⁴	—	4	16	no	—
105	2₋¹⁺⁴	—	4	32	no	—
106	2₋¹⁺⁴	—	4	16	no	—
107	2₋¹⁺⁴	—	4	32	no	—
108	2₋¹⁺⁴	—	4	16	no	—
109	C₂×#41	—	2	4	no	—
110	C₂×#41	—	2	4	no	—
111	C₂×#41	—	2	16	no	—
112	C₂×#41	—	2	8	no	—
113	C₂×#41	—	2	8	no	—
114	C₂×#41	—	2	8	no	—
115	C₂×#41	—	2	8	no	—
116	C₂×#41	—	4	8	no	—
117	C₂×#41	—	4	8	no	—
118	C₂×#41	—	4	16	no	—
119	C₂×#41	—	4	8	no	—
120	C₂×#41	—	4	16	no	—
121	C₂×#41	—	4	16	no	—
122	C₂×#41	—	4	16	no	—
123	C₂×#41	C₂×D₄	1	8	yes	—
124	C₂×#41	C₂⁴	1	8	yes	—
125	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
128	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
129	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
130	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
131	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
132	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
133	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
134	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
135	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
137	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
138	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
139	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
140	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
141	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
143	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
147	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
148	#137	—	2	32	no	—
149	#137	—	4	16	no	—
150	#137	—	4	32	no	—
151	#135	—	4	16	no	—
152	#135	—	4	8	no	—
153	#135	—	4	8	no	—
154	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
155	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
156	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
157	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
158	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
159	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
160	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
161	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	16	yes	—
162	C₂×D₈	—	4	4	no	—
163	C₂×D₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
164	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
165	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
166	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
167	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
168	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
175	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
176	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
177	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
178	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
179	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
180	#121	—	2	16	no	—
181	#121	—	4	8	no	—
182	#121	—	4	8	no	—
183	#121	—	4	8	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
194	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
195	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
198	#108	—	4	8	no	—
199	#104	—	2	32	no	—
200	#103	—	2	16	no	—
201	#103	—	2	16	no	—
202	#103	—	2	16	no	—
203	#102	—	2	16	no	—
204	#101	—	2	16	no	—
205	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
206	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
207	C₄×C₈	—	4	4	no	—
208	C₂⁴	—	2	4	no	—
209	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
210	#41	—	2	16	no	—
211	#41	—	2	16	no	—
212	#41	—	2	8	no	—
213	#41	—	2	8	no	—
214	#41	—	2	8	no	—
215	#41	—	2	8	no	—
216	#41	—	4	32	no	—
217	#41	—	4	32	no	—
218	#41	—	4	32	no	—
219	#41	—	4	64	no	—
220	#41	—	4	32	no	—
221	#41	—	4	64	no	—
222	#41	—	4	8	no	—
223	#41	—	4	8	no	—
224	#41	—	4	8	no	—
225	#41	—	4	8	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
239	C₂×Q₈	—	4	64	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
242	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
243	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
244	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
245	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
246	C₂×D₄	—	2	8	no	—
247	C₂×D₄	—	2	8	no	—
248	C₂×D₄	—	2	8	no	—
249	C₂×D₄	—	2	8	no	—
250	C₂×D₄	—	2	4	no	—
251	C₂×D₄	—	4	8	no	—
252	C₂×D₄	—	4	16	no	—
253	C₂×D₄	—	4	8	no	—
254	C₂×D₄	—	4	8	no	—
255	C₂×D₄	—	4	8	no	—
256	C₂×D₄	—	16	4	no	—
257	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
285	Q₁₆	—	4	8	no	—
286	Q₁₆	—	4	32	no	—
287	SD₁₆	—	4	16	no	—
288	SD₁₆	—	4	32	no	—
289	D₈	—	4	8	no	—
290	M₁₆	—	2	8	no	—
291	M₁₆	—	2	8	no	—
292	M₁₆	—	4	8	no	—
293	C₂×C₈	—	2	4	no	—
294	C₂×C₈	—	2	4	no	—
295	C₂×C₈	—	2	8	no	—
296	C₂×C₈	—	2	4	no	—
297	C₂×C₈	—	2	4	no	—
298	C₂×C₈	—	2	8	no	—
299	C₂×C₈	—	4	8	no	—
300	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
301	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
302	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
306	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
308	C₄²	—	2	4	no	—
309	C₄²	—	2	2	no	—
310	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
311	C₂³	—	2	2	no	—
312	C₂³	—	2	2	no	—
313	C₂³	—	2	8	no	—
314	C₂³	—	4	8	no	—
315	C₂³	—	4	8	no	—
316	C₂³	—	4	8	no	—
317	C₂³	#534	1	2	yes	—
318	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
319	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
320	C₂³	H(3,𝔽₄)	1	2	yes	—
321	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
322	Q₈	—	2	8	no	—
323	Q₈	—	2	16	no	—
324	Q₈	—	2	8	no	—
325	Q₈	—	4	32	no	—
326	Q₈	—	4	8	no	—
327	Q₈	—	4	16	no	—
328	Q₈	—	4	8	no	—
329	D₄	—	2	8	no	—
330	D₄	—	2	8	no	—
331	D₄	—	4	32	no	—
332	D₄	—	4	8	no	—
333	D₄	—	4	16	no	—
334	D₄	—	4	8	no	—
335	D₄	—	4	8	no	—
336	D₄	—	16	8	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	16	no	—
339	C₂×C₄	—	2	4	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	8	no	—
342	C₂×C₄	—	2	8	no	—
343	C₂×C₄	—	4	64	no	—
344	C₂×C₄	—	4	8	no	—
345	C₂×C₄	—	4	8	no	—
346	C₂×C₄	—	4	8	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	8	no	—
350	C₂×C₄	—	4	16	no	—
351	C₂×C₄	—	4	8	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	8	4	no	—
354	C₂×C₄	—	8	4	no	—
355	C₂×C₄	—	16	2	no	—
356	C₂×C₄	#534	1	4	yes	—
357	C₂×C₄	#534	1	4	yes	—
358	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
361	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
362	C₂×C₄	H(3,𝔽₄)	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
367	C₈	—	2	4	no	—
368	C₈	—	2	4	no	—
369	C₈	—	4	8	no	—
370	C₂²	—	2	4	no	—
371	C₂²	—	2	4	no	—
372	C₂²	—	2	1	no	—
373	C₂²	—	2	1	no	—
374	C₂²	—	2	1	no	—
375	C₂²	—	2	1	no	—
376	C₂²	—	4	8	no	—
377	C₂²	—	4	8	no	—
378	C₂²	—	4	8	no	—
379	C₂²	—	8	16	no	—
380	C₂²	#2679	1	2	yes	—
381	C₂²	#2679	1	2	yes	—
382	C₂²	#3291	1	2	yes	—
383	C₂²	#3293	1	2	yes	—
384	C₂²	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
385	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	C₂×H(3,𝔽₄)	1	1	yes	characteristic
387	C₄	—	2	8	no	—
388	C₄	—	4	8	no	—
389	C₄	—	4	8	no	—
390	C₄	—	8	4	no	—
391	C₄	#2679	1	4	yes	—
392	C₄	C₂×#534	1	2	yes	—
393	C₄	C₂×D₄²	1	2	yes	—
394	C₂	—	2	1	no	—
395	C₂	—	2	2	no	—
396	C₂	—	2	1	no	—
397	C₂	—	8	8	no	—
398	C₂	#31071	1	4	yes	direct product factor
399	C₂	C₂×#2679	1	1	yes	characteristic
400	C₂	C₂×#3291	1	1	yes	characteristic
401	C₂	C₂×#3293	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#456	C₂	semidirect
2. C₂×#3013	C₂	semidirect
3. #31071	C₂	direct (N × H)
4. C₂×#2052	C₂	semidirect
5. C₂×#2039	C₂	semidirect
6. C₂×#1974	C₂	semidirect
7. C₂×#1956	C₂	semidirect
14. C₂×#456	C₂²	semidirect
16. #3013	C₂²	semidirect
29. #2052	C₂²	semidirect
30. #2039	C₂²	semidirect
31. #1974	C₂²	semidirect
32. #1956	C₂²	semidirect
65. C₂×C₄⋊Q₈	D₄	semidirect
177. C₄⋊Q₈	C₂×D₄	semidirect
398. C₂	#31071	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#456	2
C₂×#3013	2
#31071	2
C₂×#2052	2
C₂×#2039	2
C₂×#1974	2
C₂×#1956	2

Subgroups — C2×#31071 #7503361

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#31071 #7503361