Subgroups — C₂×#31236 #7503871

Order 512.

2026 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 400 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#479	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#2453	C₂	1	2	yes	maximal
3	#31236	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
4	C₂×#2068	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×#2066	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₂×#2059	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₂×#1969	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×#1942	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×#1939	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#1878	C₂	1	2	yes	maximal
11	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#125	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#479	—	2	16	no	—
15	C₂×#479	C₂²	1	16	yes	—
16	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×#103	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×#103	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×#103	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2453	—	2	8	no	—
27	#2453	C₂²	1	16	yes	—
28	C₂×#400	—	2	2	no	—
29	C₂×#398	—	2	2	no	—
30	C₂×#391	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#391	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#389	—	2	2	no	—
33	C₂×#389	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#389	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#387	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#2068	C₂²	1	16	yes	—
38	#2066	C₂²	1	16	yes	—
39	#2059	C₂²	1	16	yes	—
40	#1969	C₂²	1	8	yes	—
41	#1942	C₂²	1	8	yes	—
42	#1939	C₂²	1	8	yes	—
43	#1878	C₂²	1	16	yes	—
44	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×Q₁₆	—	4	2	no	—
49	C₂²×Q₁₆	—	4	2	no	—
50	C₂²×Q₁₆	Q₈	1	8	yes	—
51	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#125	—	2	8	no	—
56	C₂×#125	—	2	4	no	—
57	C₂×#125	—	4	4	no	—
58	C₂×#125	C₂³	1	8	yes	—
59	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
61	C₂×C₄×Q₈	—	4	4	no	—
62	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
76	#479	—	2	64	no	—
77	C₂×#107	—	4	2	no	—
78	C₂×#107	—	4	2	no	—
79	C₂×#107	D₄	1	8	yes	—
80	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×#106	—	2	8	no	—
84	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
86	C₂×C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
87	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
88	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×#103	—	2	8	no	—
90	C₂×#103	—	2	8	no	—
91	C₂×#103	—	4	4	no	—
92	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
93	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
97	#400	—	2	16	no	—
98	#398	—	2	16	no	—
99	#391	—	2	4	no	—
100	#391	—	2	4	no	—
101	#391	C₂³	1	8	yes	—
102	#391	C₂³	1	8	yes	—
103	#389	—	2	16	no	—
104	#389	—	2	4	no	—
105	#389	—	2	4	no	—
106	#389	C₂³	1	8	yes	—
107	#389	C₂³	1	8	yes	—
108	#387	—	2	16	no	—
109	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
110	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×#95	—	2	2	no	—
112	C₂×#95	—	2	2	no	—
113	C₂×#95	—	2	2	no	—
114	C₂×#95	—	2	2	no	—
115	C₂×#95	—	2	2	no	—
116	C₂×#95	—	2	2	no	—
117	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
118	#340	C₂³	1	8	yes	—
119	#340	C₂³	1	8	yes	—
120	#336	C₂³	1	8	yes	—
121	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
124	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
127	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
128	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
129	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
138	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
139	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
140	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
141	C₂×Q₁₆	C₂×Q₈	1	16	yes	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
154	#125	—	2	16	no	—
155	#125	—	4	8	no	—
156	#125	—	4	16	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
158	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
159	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
184	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
185	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
186	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
191	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
196	#107	—	4	4	no	—
197	#107	—	4	4	no	—
198	#107	C₂×D₄	1	16	yes	—
199	#106	—	2	16	no	—
200	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
201	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
202	#103	—	2	16	no	—
203	#103	—	2	16	no	—
204	#103	—	4	8	no	—
205	C₄×C₈	—	4	4	no	—
206	#95	—	2	8	no	—
207	#95	—	2	8	no	—
208	#95	—	2	8	no	—
209	#95	—	2	8	no	—
210	#95	—	2	8	no	—
211	#95	—	2	8	no	—
212	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
213	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
226	C₂×Q₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
267	Q₁₆	—	4	16	no	—
268	C₂×C₈	—	2	8	no	—
269	C₂×C₈	—	2	8	no	—
270	C₂×C₈	—	2	2	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	4	no	—
275	C₂×C₈	—	2	4	no	—
276	C₂×C₈	—	2	4	no	—
277	C₂×C₈	—	4	8	no	—
278	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
279	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
280	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
295	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
296	C₄²	—	2	4	no	—
297	C₄²	—	2	8	no	—
298	C₄²	—	2	4	no	—
299	C₄²	—	2	2	no	—
300	C₄²	—	2	4	no	—
301	C₄²	—	2	2	no	—
302	C₄²	—	4	16	no	—
303	C₂³	#537	1	2	yes	—
304	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
305	C₂³	D₄×Q₈	1	2	yes	—
306	C₂³	C₂×#135	1	2	yes	—
307	C₂³	#575	1	2	yes	—
308	C₂³	#578	1	2	yes	—
309	C₂³	#578	1	2	yes	—
310	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
311	Q₈	—	2	8	no	—
312	Q₈	—	2	8	no	—
313	Q₈	—	4	4	no	—
314	Q₈	—	4	16	no	—
315	Q₈	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	8	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	8	no	—
323	C₂×C₄	—	2	8	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	16	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	8	no	—
335	C₂×C₄	—	4	8	no	—
336	C₂×C₄	—	4	16	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	8	8	no	—
346	C₂×C₄	—	8	8	no	—
347	C₂×C₄	#537	1	4	yes	—
348	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#543	1	4	yes	—
350	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
353	C₂×C₄	#563	1	4	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
361	C₈	—	2	4	no	—
362	C₈	—	2	4	no	—
363	C₈	—	4	4	no	—
364	C₂²	#2683	1	4	yes	—
365	C₂²	#3250	1	4	yes	—
366	C₂²	#3261	1	4	yes	—
367	C₂²	#3277	1	4	yes	—
368	C₂²	#3283	1	4	yes	—
369	C₂²	#3383	1	4	yes	—
370	C₂²	#3390	1	4	yes	—
371	C₂²	C₂×#537	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	C₂×D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	C₂×#575	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
378	C₄	—	2	4	no	—
379	C₄	—	4	4	no	—
380	C₄	—	4	4	no	—
381	C₄	—	4	8	no	—
382	C₄	—	4	8	no	—
383	C₄	—	4	2	no	—
384	C₄	—	8	4	no	—
385	C₄	—	8	4	no	—
386	C₄	#2683	1	4	yes	—
387	C₄	C₂×#537	1	1	yes	characteristic
388	C₄	C₂×#543	1	1	yes	characteristic
389	C₄	C₂×D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
390	C₄	C₂×#563	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#31236	1	8	yes	direct product factor
392	C₂	C₂×#2683	1	1	yes	characteristic
393	C₂	C₂×#3250	1	1	yes	characteristic
394	C₂	C₂×#3261	1	1	yes	characteristic
395	C₂	C₂×#3277	1	1	yes	characteristic
396	C₂	C₂×#3283	1	1	yes	characteristic
397	C₂	C₂×#3383	1	1	yes	characteristic
398	C₂	C₂×#3390	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #31236	C₂	direct (N × H)
391. C₂	#31236	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#479	2
C₂×#2453	2
#31236	2
C₂×#2068	2
C₂×#2066	2
C₂×#2059	2
C₂×#1969	2
C₂×#1942	2
C₂×#1939	2
C₂×#1878	2

Subgroups — C2×#31236 #7503871

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#31236 #7503871