Subgroups — C₂×#31554 #7505073

Order 512.

2026 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 403 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2423	C₂	1	2	yes	maximal
2	#31554	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
3	C₂×#2100	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#2076	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#2068	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#2001	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂×#1892	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂×#1878	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#1850	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#1803	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#103	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#103	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#103	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2423	—	2	8	no	—
22	#2423	C₂²	1	16	yes	—
23	C₂×#399	—	2	2	no	—
24	C₂×#398	—	2	2	no	—
25	C₂×#391	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#389	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#388	—	2	2	no	—
28	C₂×#387	—	2	2	no	—
29	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#380	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#2100	C₂²	1	16	yes	complemented
33	#2076	C₂²	1	8	yes	—
34	#2068	C₂²	1	16	yes	complemented
35	#2001	C₂²	1	8	yes	—
36	#1892	C₂²	1	16	yes	—
37	#1878	C₂²	1	16	yes	complemented
38	#1850	C₂²	1	8	yes	—
39	#1803	C₂²	1	16	yes	complemented
40	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×Q₁₆	—	2	8	no	—
49	C₂²×Q₁₆	—	4	2	no	—
50	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂³×C₈	—	4	2	no	—
52	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
53	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
58	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
59	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
60	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
61	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
63	C₂×C₄×Q₈	—	4	4	no	—
64	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×#107	—	4	2	no	—
80	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂×#103	—	4	4	no	—
84	C₂×#103	—	4	4	no	—
85	C₂×#103	—	4	4	no	—
86	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
88	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
91	#399	—	2	16	no	—
92	#398	—	2	16	no	—
93	#391	—	2	4	no	—
94	#391	C₂³	1	8	yes	—
95	#389	—	2	4	no	—
96	#389	C₂³	1	8	yes	—
97	#388	—	2	16	no	—
98	#387	—	2	16	no	—
99	#384	—	2	4	no	—
100	#384	C₂³	1	8	yes	—
101	#380	—	2	4	no	—
102	#380	C₂³	1	8	yes	—
103	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
104	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×#95	—	2	2	no	—
106	C₂×#95	—	2	2	no	—
107	C₂×#95	—	2	2	no	—
108	C₂×#95	—	2	2	no	—
109	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
110	#340	C₂³	1	4	yes	—
111	#340	C₂³	1	8	yes	—
112	#340	C₂³	1	8	yes	—
113	#340	C₂³	1	8	yes	—
114	#340	C₂³	1	4	yes	—
115	#336	C₂³	1	8	yes	—
116	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×Q₈	#41	1	8	yes	—
124	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
125	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
139	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
140	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
141	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
150	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
151	C₂²×C₈	—	4	16	no	—
152	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
155	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
156	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
157	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
158	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
159	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
160	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	Q₁₆	1	8	yes	complemented
189	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
191	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
194	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
197	#107	—	4	4	no	—
198	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
199	#103	—	4	8	no	—
200	#103	—	4	8	no	—
201	#103	—	4	8	no	—
202	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
203	#95	—	2	8	no	—
204	#95	—	2	8	no	—
205	#95	—	2	8	no	—
206	#95	—	2	8	no	—
207	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
208	C₂⁴	—	2	2	no	—
209	C₂⁴	—	2	4	no	—
210	C₂⁴	—	2	2	no	—
211	C₂⁴	—	2	4	no	—
212	C₂⁴	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
213	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
214	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
227	C₂×Q₈	C₂×#41	1	8	yes	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
270	Q₁₆	—	4	16	no	—
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	4	no	—
275	C₂×C₈	—	2	4	no	—
276	C₂×C₈	—	2	4	no	—
277	C₂×C₈	—	2	4	no	—
278	C₂×C₈	—	4	16	no	—
279	C₂×C₈	—	4	4	no	—
280	C₂×C₈	—	4	4	no	—
281	C₂×C₈	—	4	8	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
295	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
299	C₂²⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	16	yes	complemented
300	C₄²	—	2	8	no	—
301	C₄²	—	2	4	no	—
302	C₄²	—	2	4	no	—
303	C₄²	—	4	16	no	—
304	C₂³	—	2	2	no	—
305	C₂³	—	2	4	no	—
306	C₂³	—	2	8	no	—
307	C₂³	—	2	16	no	—
308	C₂³	—	2	2	no	—
309	C₂³	—	2	4	no	—
310	C₂³	—	4	4	no	—
311	C₂³	—	4	4	no	—
312	C₂³	—	4	8	no	—
313	C₂³	#537	1	2	yes	—
314	C₂³	#546	1	4	yes	—
315	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	4	yes	—
316	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
317	C₂³	#575	1	2	yes	—
318	C₂³	#577	1	4	yes	—
319	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
320	Q₈	—	2	8	no	—
321	Q₈	—	2	8	no	—
322	Q₈	—	4	4	no	—
323	Q₈	—	4	16	no	—
324	Q₈	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	16	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	8	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	16	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	8	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	8	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	8	8	no	—
353	C₂×C₄	—	8	8	no	—
354	C₂×C₄	—	8	8	no	—
355	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#539	1	8	yes	—
357	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
358	C₂×C₄	#551	1	4	yes	—
359	C₂×C₄	#560	1	4	yes	—
360	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	8	yes	—
361	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
365	C₈	—	4	2	no	—
366	C₈	—	4	2	no	—
367	C₈	—	4	4	no	—
368	C₂²	—	2	8	no	—
369	C₂²	—	2	4	no	—
370	C₂²	—	4	16	no	—
371	C₂²	—	4	2	no	—
372	C₂²	—	4	4	no	—
373	C₂²	—	4	2	no	—
374	C₂²	#2693	1	4	yes	—
375	C₂²	#3249	1	4	yes	—
376	C₂²	#3263	1	4	yes	—
377	C₂²	#3299	1	8	yes	—
378	C₂²	#3317	1	8	yes	—
379	C₂²	C₂×#537	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	C₂×#546	1	2	yes	—
381	C₂²	C₂³×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	C₂×#575	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	C₂×#577	1	2	yes	—
384	C₄	—	2	8	no	—
385	C₄	—	4	2	no	—
386	C₄	—	4	8	no	—
387	C₄	—	4	4	no	—
388	C₄	—	8	4	no	—
389	C₄	—	8	4	no	—
390	C₄	—	8	4	no	—
391	C₄	#2693	1	4	yes	—
392	C₄	C₂×#539	1	2	yes	—
393	C₄	C₂×#551	1	1	yes	characteristic
394	C₄	C₂×#560	1	1	yes	characteristic
395	C₂	—	4	4	no	—
396	C₂	#31554	1	8	yes	direct product factor
397	C₂	C₂×#2693	1	1	yes	characteristic
398	C₂	C₂×#3249	1	1	yes	characteristic
399	C₂	C₂×#3263	1	1	yes	characteristic
400	C₂	C₂×#3299	1	2	yes	—
401	C₂	C₂×#3317	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #31554	C₂	direct (N × H)
3. C₂×#2100	C₂	semidirect
5. C₂×#2068	C₂	semidirect
8. C₂×#1878	C₂	semidirect
10. C₂×#1803	C₂	semidirect
32. #2100	C₂²	semidirect
34. #2068	C₂²	semidirect
37. #1878	C₂²	semidirect
39. #1803	C₂²	semidirect
188. C₂×C₂²⋊C₄	Q₁₆	semidirect
299. C₂²⋊C₄	C₂×Q₁₆	semidirect
396. C₂	#31554	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2423	2
#31554	2
C₂×#2100	2
C₂×#2076	2
C₂×#2068	2
C₂×#2001	2
C₂×#1892	2
C₂×#1878	2
C₂×#1850	2
C₂×#1803	2

Subgroups — C2×#31554 #7505073

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#31554 #7505073