Subgroups — C₂×#32704 #7513955

Order 512.

1514 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 353 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#32704	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
2	C₂×#2102	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2031	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1994	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1962	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#1884	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₂×#1861	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2102	C₂²	1	16	yes	complemented
19	#2031	C₂²	1	32	yes	complemented
20	#1994	C₂²	1	16	yes	complemented
21	#1962	C₂²	1	8	yes	—
22	#1884	C₂²	1	16	yes	—
23	#1861	C₂²	1	32	yes	complemented
24	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
29	#568	—	4	4	no	—
30	#568	—	4	2	no	—
31	#568	C₂³	1	8	yes	—
32	C₂×#131	—	4	4	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	4	2	no	—
34	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
36	#533	—	2	4	no	—
37	#533	—	4	2	no	—
38	#533	—	4	2	no	—
39	#533	C₂³	1	8	yes	—
40	#532	—	4	1	no	—
41	#532	—	4	1	no	—
42	#532	Q₈	1	4	yes	complemented
43	#532	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	Q₈	1	1	yes	characteristic, complemented
46	C₂×#127	Q₈	1	1	yes	characteristic, complemented
47	C₂×#125	—	2	2	no	—
48	C₂×#124	Q₈	1	2	yes	complemented
49	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
50	C₂×#121	—	4	1	no	—
51	C₂×C₄×Q₈	—	4	2	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	4	1	no	—
53	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂²×C₄²	—	4	1	no	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
57	#430	—	4	2	no	—
58	#430	C₂³	1	8	yes	—
59	C₂×#108	—	4	2	no	—
60	#423	—	4	1	no	—
61	#423	—	4	2	no	—
62	#423	C₂³	1	4	yes	—
63	#423	C₂³	1	8	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
66	#421	—	4	4	no	—
67	#421	C₂³	1	16	yes	—
68	C₂×#104	—	2	4	no	—
69	C₂×#104	—	2	4	no	—
70	C₂×#104	—	2	8	no	—
71	C₂×#104	—	4	4	no	—
72	C₂×#104	C₂³	1	16	yes	—
73	#410	—	4	2	no	—
74	#410	C₂³	1	8	yes	—
75	C₂×#99	—	4	2	no	—
76	C₄³	—	4	1	no	—
77	C₄³	C₂³	1	4	yes	—
78	#344	C₂³	1	16	yes	—
79	#339	C₂³	1	16	yes	—
80	#339	C₂³	1	16	yes	—
81	H(3,ℤ/4)	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂×#41	—	2	2	no	—
83	C₂×#41	—	2	2	no	—
84	C₂×#41	—	2	4	no	—
85	C₂×#41	—	2	4	no	—
86	C₂×#41	—	2	4	no	—
87	C₂×#41	—	2	4	no	—
88	C₂×#41	C₂×Q₈	1	4	yes	—
89	C₂×#41	C₂⁴	1	4	yes	—
90	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
91	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
92	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
94	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
98	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
99	#131	—	4	16	no	—
100	#131	—	4	16	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
109	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
110	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
111	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
112	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
113	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
114	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
117	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
118	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
119	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
120	C₄⋊Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
121	#127	—	4	1	no	—
122	#127	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
123	#125	—	2	8	no	—
124	#125	—	4	4	no	—
125	#124	—	4	2	no	—
126	#124	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
127	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
128	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
129	#121	—	4	4	no	—
130	#121	—	4	4	no	—
131	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
132	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
133	C₄×D₄	—	4	4	no	—
134	C₄×D₄	—	4	4	no	—
135	#117	—	2	4	no	—
136	#117	—	2	4	no	—
137	#117	—	2	4	no	—
138	#117	C₂⁴	1	8	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
154	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
162	#108	—	4	8	no	—
163	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
164	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
165	#104	—	2	16	no	—
166	#104	—	2	16	no	—
167	#104	—	4	16	no	—
168	#99	—	4	8	no	—
169	C₂⁴	—	2	2	no	—
170	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
171	#41	—	2	8	no	—
172	#41	—	2	8	no	—
173	#41	—	2	8	no	—
174	#41	—	2	8	no	—
175	#41	—	4	4	no	—
176	#41	—	4	4	no	—
177	#41	—	4	4	no	—
178	#41	—	4	4	no	—
179	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
180	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
183	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
184	C₂×Q₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
185	C₂×D₄	—	2	4	no	—
186	C₂×D₄	—	2	4	no	—
187	C₂×D₄	—	2	2	no	—
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	4	4	no	—
191	C₂×D₄	—	4	4	no	—
192	C₂×D₄	—	4	4	no	—
193	C₂×D₄	—	8	4	no	—
194	C₂×D₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
223	M₁₆	—	2	8	no	—
224	M₁₆	—	2	8	no	—
225	M₁₆	—	2	8	no	—
226	M₁₆	—	4	16	no	—
227	M₁₆	—	4	4	no	—
228	M₁₆	—	4	4	no	—
229	M₁₆	—	4	4	no	—
230	C₂×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂×C₈	—	2	8	no	—
232	C₂×C₈	—	4	16	no	—
233	C₂×C₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	—	4	2	no	—
235	C₂×C₈	—	4	4	no	—
236	C₂×C₈	—	4	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
245	C₄²	—	2	4	no	—
246	C₄²	—	2	2	no	—
247	C₄²	—	2	2	no	—
248	C₄²	—	2	2	no	—
249	C₄²	—	2	1	no	—
250	C₄²	—	2	1	no	—
251	C₄²	—	2	2	no	—
252	C₄²	—	2	4	no	—
253	C₄²	—	2	8	no	—
254	C₄²	—	4	16	no	—
255	C₄²	—	4	4	no	—
256	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
257	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
258	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
259	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
260	C₂³	—	2	4	no	—
261	C₂³	—	4	2	no	—
262	C₂³	—	4	2	no	—
263	C₂³	—	4	2	no	—
264	C₂³	—	8	4	no	—
265	C₂³	#538	1	2	yes	—
266	C₂³	#538	1	2	yes	—
267	C₂³	#543	1	1	yes	characteristic
268	C₂³	#543	1	1	yes	characteristic
269	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
270	Q₈	—	2	8	no	—
271	Q₈	—	4	4	no	—
272	Q₈	—	8	16	no	—
273	D₄	—	2	8	no	—
274	D₄	—	4	8	no	—
275	D₄	—	4	8	no	—
276	D₄	—	4	4	no	—
277	D₄	—	8	8	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	8	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	—	4	8	no	—
287	C₂×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂×C₄	—	4	8	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	8	no	—
298	C₂×C₄	—	8	8	no	—
299	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#543	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	#543	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	H(3,𝔽₄)	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	H(3,𝔽₄)	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	H(3,𝔽₄)	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
317	C₈	—	4	4	no	—
318	C₈	—	4	8	no	—
319	C₂²	—	2	4	no	—
320	C₂²	—	2	2	no	—
321	C₂²	—	4	1	no	—
322	C₂²	—	4	2	no	—
323	C₂²	—	4	1	no	—
324	C₂²	—	4	4	no	—
325	C₂²	—	8	4	no	—
326	C₂²	—	8	4	no	—
327	C₂²	—	16	2	no	—
328	C₂²	#2804	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	#2804	1	2	yes	—
330	C₂²	#2804	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	C₂×#538	1	2	yes	—
332	C₂²	C₂×#543	1	1	yes	characteristic
333	C₄	—	2	4	no	—
334	C₄	—	2	8	no	—
335	C₄	—	4	4	no	—
336	C₄	—	4	2	no	—
337	C₄	—	4	4	no	—
338	C₄	—	8	8	no	—
339	C₄	#2804	1	1	yes	characteristic
340	C₄	#2804	1	1	yes	characteristic
341	C₄	#2804	1	2	yes	—
342	C₄	C₂×#554	1	2	yes	—
343	C₄	C₂×#559	1	1	yes	characteristic
344	C₄	C₂×H(3,𝔽₄)	1	1	yes	characteristic
345	C₂	—	2	2	no	—
346	C₂	—	2	1	no	—
347	C₂	—	2	1	no	—
348	C₂	—	2	2	no	—
349	C₂	—	8	4	no	—
350	C₂	#32704	1	2	yes	direct product factor
351	C₂	C₂×#2804	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	H(3,𝔽₄)
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂²	#2804
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #32704	C₂	direct (N × H)
2. C₂×#2102	C₂	semidirect
3. C₂×#2031	C₂	semidirect
4. C₂×#1994	C₂	semidirect
7. C₂×#1861	C₂	semidirect
18. #2102	C₂²	semidirect
19. #2031	C₂²	semidirect
20. #1994	C₂²	semidirect
23. #1861	C₂²	semidirect
42. #532	Q₈	semidirect
45. C₂×C₄⋊Q₈	Q₈	semidirect
46. C₂×#127	Q₈	semidirect
48. C₂×#124	Q₈	semidirect
120. C₄⋊Q₈	C₂×Q₈	semidirect
122. #127	C₂×Q₈	semidirect
126. #124	C₂×Q₈	semidirect
350. C₂	#32704	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#32704	2
C₂×#2102	2
C₂×#2031	2
C₂×#1994	2
C₂×#1962	2
C₂×#1884	2
C₂×#1861	2

Subgroups — C2×#32704 #7513955

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#32704 #7513955