Subgroups — #759295

Order 512.

7306 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 383 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₂²⋊Q₈	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#2434	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#16254	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#15178	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#14720	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#14139	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#14127	C₂	1	4	yes	maximal
8	C₄×#379	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
12	C₂²×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
13	C₂²×C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
14	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
21	#2434	—	2	32	no	—
22	C₂×#395	C₂²	1	16	yes	complemented
23	C₂×#391	C₂²	1	8	yes	complemented
24	C₂×#385	C₂²	1	16	yes	—
25	C₂×#379	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
28	#1444	C₂²	1	16	yes	complemented
29	#1441	C₂²	1	16	yes	complemented
30	#1439	C₂²	1	16	yes	—
31	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂²⋊#95	C₂²	1	16	yes	—
33	C₂²⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂⁶	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×Q₈	—	2	16	no	—
37	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
38	C₂³×Q₈	—	2	16	no	—
39	C₂³×Q₈	—	4	8	no	—
40	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂⁴×C₄	—	2	16	no	—
43	C₂⁴×C₄	—	4	4	no	—
44	C₂⁴×C₄	D₄	1	8	yes	—
45	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
53	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	256	no	—
54	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
55	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
56	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
57	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
58	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
59	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
60	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
61	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
62	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
63	C₂×C₂²⋊Q₈	D₄	1	32	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
74	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
75	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
76	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
77	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
78	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
80	#395	—	2	64	no	—
81	#391	—	2	32	no	—
82	#385	—	2	64	no	—
83	#379	Q₈	1	16	yes	complemented
84	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
85	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
86	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂×#95	C₂³	1	32	yes	—
88	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
89	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂⁵	—	2	8	no	—
91	C₂⁵	—	2	8	no	—
92	C₂⁵	—	4	2	no	—
93	C₂⁵	—	4	2	no	—
94	C₂⁵	C₂×D₄	1	4	yes	—
95	C₂⁵	C₂×Q₈	1	8	yes	—
96	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
97	C₂⁵	C₂⁴	1	2	yes	—
98	C₂²×Q₈	—	2	64	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
103	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
104	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
106	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
107	C₂²×Q₈	—	4	128	no	—
108	C₂²×Q₈	—	4	32	no	—
109	C₂²×Q₈	—	4	32	no	—
110	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
111	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	64	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
125	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
126	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
127	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
128	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
129	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
130	C₂³×C₄	—	4	64	no	—
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
142	C₄⋊Q₈	—	4	64	no	—
143	C₂²⋊Q₈	—	2	128	no	—
144	C₂²⋊Q₈	—	2	128	no	—
145	C₂²⋊Q₈	—	2	128	no	—
146	C₂²⋊Q₈	—	2	128	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	128	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	32	yes	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	128	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	32	yes	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	32	yes	complemented
174	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
175	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
177	#95	—	2	16	no	—
178	#95	—	2	64	no	—
179	#95	—	4	16	no	—
180	#95	—	4	4	no	—
181	C₂⁴	—	2	4	no	—
182	C₂⁴	—	2	4	no	—
183	C₂⁴	—	2	4	no	—
184	C₂⁴	—	2	4	no	—
185	C₂⁴	—	2	16	no	—
186	C₂⁴	—	2	16	no	—
187	C₂⁴	—	2	64	no	—
188	C₂⁴	—	2	4	no	—
189	C₂⁴	—	2	2	no	—
190	C₂⁴	—	2	4	no	—
191	C₂⁴	—	2	2	no	—
192	C₂⁴	—	4	4	no	—
193	C₂⁴	—	4	4	no	—
194	C₂⁴	—	4	16	no	—
195	C₂⁴	—	4	16	no	—
196	C₂⁴	—	4	32	no	—
197	C₂⁴	—	4	16	no	—
198	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	16	yes	complemented
199	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
200	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
201	C₂⁴	C₂²×D₄	1	8	yes	—
202	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
203	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
204	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
205	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
206	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	64	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	64	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	256	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	128	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
254	C₂²×C₄	#120	1	32	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	16	yes	—
263	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
264	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	64	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
273	C₄²	—	4	16	no	—
274	C₂³	—	2	4	no	—
275	C₂³	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	2	4	no	—
277	C₂³	—	2	4	no	—
278	C₂³	—	2	16	no	—
279	C₂³	—	2	16	no	—
280	C₂³	—	2	16	no	—
281	C₂³	—	2	16	no	—
282	C₂³	—	2	16	no	—
283	C₂³	—	2	16	no	—
284	C₂³	—	2	4	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	2	4	no	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	—	2	64	no	—
289	C₂³	—	2	16	no	—
290	C₂³	—	2	8	no	—
291	C₂³	—	4	16	no	—
292	C₂³	—	4	16	no	—
293	C₂³	—	4	16	no	—
294	C₂³	—	4	128	no	—
295	C₂³	—	4	32	no	—
296	C₂³	—	4	4	no	—
297	C₂³	—	4	8	no	—
298	C₂³	—	4	4	no	—
299	C₂³	C₂×#120	1	8	yes	—
300	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
301	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
302	C₂³	#536	1	8	yes	—
303	C₂³	D₄×Q₈	1	32	yes	—
304	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
305	C₂³	C₂³×D₄	1	4	yes	—
306	C₂³	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
307	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
308	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
309	C₂³	#585	1	2	yes	—
310	Q₈	—	4	64	no	—
311	Q₈	—	4	64	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	16	no	—
315	C₂×C₄	—	2	64	no	—
316	C₂×C₄	—	2	16	no	—
317	C₂×C₄	—	2	16	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	32	no	—
321	C₂×C₄	—	2	32	no	—
322	C₂×C₄	—	2	32	no	—
323	C₂×C₄	—	2	16	no	—
324	C₂×C₄	—	4	16	no	—
325	C₂×C₄	—	4	32	no	—
326	C₂×C₄	—	4	64	no	—
327	C₂×C₄	—	4	64	no	—
328	C₂×C₄	—	4	8	no	—
329	C₂×C₄	—	4	8	no	—
330	C₂×C₄	—	4	8	no	—
331	C₂×C₄	—	4	8	no	—
332	C₂×C₄	—	4	8	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	16	no	—
335	C₂×C₄	—	4	16	no	—
336	C₂×C₄	—	4	16	no	—
337	C₂×C₄	—	4	8	no	—
338	C₂×C₄	—	4	16	no	—
339	C₂×C₄	C₂×#120	1	8	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×#120	1	8	yes	—
341	C₂×C₄	#534	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	D₄²	1	16	yes	—
343	C₂²	—	2	8	no	—
344	C₂²	—	2	8	no	—
345	C₂²	—	2	64	no	—
346	C₂²	—	2	8	no	—
347	C₂²	—	2	8	no	—
348	C₂²	—	2	8	no	—
349	C₂²	—	2	8	no	—
350	C₂²	—	2	8	no	—
351	C₂²	—	2	4	no	—
352	C₂²	—	4	64	no	—
353	C₂²	—	4	2	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	4	16	no	—
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	#2434	1	16	yes	complemented
358	C₂²	C₂²×#120	1	2	yes	—
359	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	C₂×#536	1	2	yes	—
362	C₂²	#3449	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂×D₄²	1	4	yes	—
364	C₂²	C₂×D₄×Q₈	1	8	yes	—
365	C₂²	#3489	1	8	yes	—
366	C₂²	#3501	1	4	yes	—
367	C₂²	#3538	1	4	yes	—
368	C₄	—	2	8	no	—
369	C₄	—	4	2	no	—
370	C₄	—	4	16	no	—
371	C₄	—	4	16	no	—
372	C₄	—	4	16	no	—
373	C₄	#2403	1	8	yes	—
374	C₂	—	2	16	no	—
375	C₂	—	4	4	no	—
376	C₂	C₂×#2403	1	1	yes	characteristic
377	C₂	C₂×#2434	1	2	yes	—
378	C₂	#35011	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#35305	1	2	yes	—
380	C₂	#37453	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#58998	1	8	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂⁶	C₂³
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2434	C₂	semidirect
3. #16254	C₂	semidirect
4. #15178	C₂	semidirect
5. #14720	C₂	semidirect
6. #14139	C₂	semidirect
11. C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
22. C₂×#395	C₂²	semidirect
23. C₂×#391	C₂²	semidirect
28. #1444	C₂²	semidirect
29. #1441	C₂²	semidirect
31. C₄⋊#95	C₂²	semidirect
83. #379	Q₈	semidirect
173. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	semidirect
174. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	semidirect
198. C₂⁴	C₄⋊Q₈	semidirect
357. C₂²	#2434	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₂²⋊Q₈	2
C₂×#2434	2
#16254	2
#15178	2
#14720	2
#14139	2
#14127	2
C₄×#379	2