Subgroups — #7598607

Order 512.

1696 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 365 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#59821	C₂	1	2	yes	maximal
2	#31723	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#29286	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#28554	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#28255	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#25570	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#25386	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#24970	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#22490	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₈×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₄×#487	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂×#556	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#467	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#462	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
18	#2727	—	2	4	no	—
19	#2548	—	2	2	no	—
20	#2542	C₂²	1	4	yes	—
21	#2538	C₂²	1	4	yes	—
22	#2512	—	2	4	no	—
23	#2448	—	2	4	no	—
24	#2415	C₂²	1	8	yes	—
25	#2354	C₂²	1	4	yes	—
26	Q₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
27	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#2086	C₂²	1	4	yes	—
31	#2075	C₂²	1	4	yes	—
32	#2056	C₂²	1	4	yes	—
33	#2036	C₂²	1	8	yes	—
34	#2001	C₂²	1	8	yes	—
35	#2001	C₂²	1	4	yes	—
36	#1990	C₂²	1	2	yes	—
37	#1988	C₂²	1	4	yes	—
38	#1956	C₂²	1	2	yes	—
39	#1954	C₂²	1	4	yes	—
40	#1954	C₂²	1	2	yes	—
41	#1947	C₂²	1	4	yes	—
42	#1933	C₂²	1	4	yes	—
43	#1933	C₂²	1	4	yes	—
44	#1892	C₂²	1	8	yes	—
45	#1873	C₂²	1	8	yes	—
46	#1873	C₂²	1	8	yes	—
47	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#1834	C₂²	1	2	yes	—
49	#1825	C₂²	1	8	yes	—
50	#1803	C₂²	1	4	yes	—
51	C₄×#103	C₂²	1	4	yes	—
52	C₄×#103	C₂²	1	4	yes	—
53	#1735	C₂²	1	4	yes	—
54	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
57	#556	—	2	16	no	—
58	#556	—	4	8	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#126	—	2	8	no	—
63	C₂×#124	—	2	4	no	—
64	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
66	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#117	C₂³	1	8	yes	—
72	#487	—	2	8	no	—
73	#467	—	4	8	no	—
74	#462	—	4	8	no	—
75	C₈×D₄	—	4	8	no	—
76	C₈×D₄	—	4	4	no	—
77	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
84	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	#399	—	2	8	no	—
92	#397	—	2	8	no	—
93	#396	—	2	8	no	—
94	#394	—	2	8	no	—
95	#391	—	2	2	no	—
96	#391	C₂³	1	4	yes	—
97	#390	—	2	4	no	—
98	#390	—	2	4	no	—
99	#390	—	2	4	no	—
100	#390	D₄	1	4	yes	—
101	#390	D₄	1	2	yes	—
102	#389	—	2	8	no	—
103	#389	—	2	4	no	—
104	#389	—	2	2	no	—
105	#389	—	2	2	no	—
106	#389	—	2	2	no	—
107	#389	C₂³	1	4	yes	—
108	#388	—	2	8	no	—
109	#388	—	2	8	no	—
110	#384	—	2	4	no	—
111	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
112	#384	C₂³	1	2	yes	—
113	#384	C₂³	1	2	yes	—
114	#380	C₂³	1	8	yes	—
115	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
116	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
119	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
120	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	#340	C₂³	1	4	yes	—
122	#340	C₂³	1	4	yes	—
123	#340	C₂³	1	4	yes	—
124	#340	C₂³	1	4	yes	—
125	#340	C₂³	1	8	yes	—
126	#340	C₂³	1	4	yes	—
127	#340	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
130	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
131	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
133	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
134	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
136	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
137	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
141	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
144	C₄⋊Q₈	#41	1	8	yes	—
145	#127	—	2	4	no	—
146	#126	—	4	32	no	—
147	#124	—	4	16	no	—
148	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
149	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
150	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
152	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
153	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
154	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
155	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
156	C₄×D₄	—	2	8	no	—
157	C₄×D₄	—	2	8	no	—
158	C₄×D₄	—	4	2	no	—
159	C₄×D₄	—	4	2	no	—
160	#117	—	2	16	no	—
161	#117	—	4	8	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
192	#107	—	4	4	no	—
193	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
194	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
195	#103	—	2	8	no	—
196	#103	—	2	8	no	—
197	#103	—	2	8	no	—
198	#103	—	4	4	no	—
199	#103	—	4	8	no	—
200	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
201	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
202	C₄×C₈	—	2	2	no	—
203	C₄×C₈	—	2	4	no	—
204	C₄×C₈	—	2	4	no	—
205	C₄×C₈	—	4	1	no	—
206	#95	—	2	8	no	—
207	#95	—	2	4	no	—
208	#95	—	2	4	no	—
209	#95	—	2	4	no	—
210	#95	—	2	4	no	—
211	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
212	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
221	C₂×D₄	—	2	8	no	—
222	C₂×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂×D₄	—	2	8	no	—
224	C₂×D₄	—	2	8	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
241	Q₁₆	—	8	8	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	1	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	8	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	8	8	no	—
251	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
252	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
270	C₄⋊C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
277	C₄²	—	2	4	no	—
278	C₄²	—	2	1	no	—
279	C₄²	—	2	1	no	—
280	C₄²	—	4	1	no	—
281	C₄²	—	4	16	no	—
282	C₄²	—	4	8	no	—
283	C₄²	—	4	8	no	—
284	C₄²	#135	1	4	yes	—
285	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
286	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
287	C₂³	—	2	4	no	—
288	C₂³	—	2	8	no	—
289	C₂³	—	2	4	no	—
290	C₂³	—	2	4	no	—
291	C₂³	—	2	8	no	—
292	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
293	Q₈	—	4	16	no	—
294	Q₈	—	4	4	no	—
295	Q₈	—	4	4	no	—
296	Q₈	—	4	4	no	—
297	Q₈	—	4	4	no	—
298	D₄	—	4	8	no	—
299	D₄	—	4	16	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	8	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	#578	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
332	C₈	—	2	2	no	—
333	C₈	—	4	1	no	—
334	C₈	—	4	2	no	—
335	C₈	—	4	4	no	—
336	C₂²	—	4	4	no	—
337	C₂²	—	4	8	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	4	4	no	—
340	C₂²	—	4	8	no	—
341	C₂²	C₂×#546	1	2	yes	—
342	C₂²	#3496	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	C₂×#578	1	2	yes	—
345	C₂²	#3584	1	1	yes	characteristic
346	C₄	—	2	4	no	—
347	C₄	—	2	2	no	—
348	C₄	—	4	4	no	—
349	C₄	—	4	1	no	—
350	C₄	—	4	8	no	—
351	C₄	—	8	4	no	—
352	C₄	—	8	4	no	—
353	C₄	—	8	4	no	—
354	C₄	#3302	1	8	yes	—
355	C₄	#3483	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#3517	1	2	yes	—
357	C₄	#3543	1	1	yes	characteristic
358	C₂	—	8	4	no	—
359	C₂	#59419	1	1	yes	characteristic
360	C₂	C₂×#3302	1	2	yes	—
361	C₂	#61214	1	2	yes	—
362	C₂	#62248	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#62329	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#127	D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#127 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #31723	C₂	semidirect
3. #29286	C₂	semidirect
4. #28554	C₂	semidirect
5. #28255	C₂	semidirect
6. #25570	C₂	semidirect
7. #25386	C₂	semidirect
8. #24970	C₂	semidirect
9. #22490	C₂	semidirect
11. C₄×#487	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#59821	2
#31723	2
#29286	2
#28554	2
#28255	2
#25570	2
#25386	2
#24970	2
#22490	2
C₈×#127	2
C₄×#487	2