Subgroups — #7613861

Order 512.

1838 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 431 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#61414	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#61293	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#31228	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#28504	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28299	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#28243	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#26274	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#24799	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#24176	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#22689	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#21736	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#21710	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#21690	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#3506	C₂²	1	4	yes	—
15	#3401	—	2	8	no	—
16	#3399	—	2	8	no	—
17	#3347	—	2	8	no	—
18	#3345	—	2	8	no	—
19	#3162	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#3155	C₂²	1	4	yes	—
21	#3150	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#3096	C₂²	1	8	yes	—
24	#3077	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#472	C₂²	1	4	yes	—
26	#3058	C₂²	1	4	yes	—
27	#3045	C₂²	1	8	yes	—
28	#3036	C₂²	1	4	yes	—
29	#2961	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#444	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#443	C₂²	1	2	yes	—
32	#2952	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#442	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#442	C₂²	1	2	yes	—
35	#2932	C₂²	1	2	yes	—
36	#2912	C₂²	1	4	yes	—
37	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
38	#2063	C₂²	1	8	yes	—
39	#2051	C₂²	1	8	yes	—
40	#2037	C₂²	1	8	yes	—
41	#2002	C₂²	1	8	yes	—
42	#1994	C₂²	1	2	yes	—
43	#1978	C₂²	1	4	yes	—
44	#1975	C₂²	1	2	yes	—
45	#1974	C₂²	1	2	yes	—
46	#1972	C₂²	1	2	yes	—
47	#1972	C₂²	1	2	yes	—
48	#1962	C₂²	1	2	yes	—
49	#1957	C₂²	1	2	yes	—
50	#1951	C₂²	1	4	yes	—
51	#1946	C₂²	1	2	yes	—
52	#1945	C₂²	1	2	yes	—
53	#1883	C₂²	1	8	yes	—
54	#1859	C₂²	1	8	yes	—
55	#1849	C₂²	1	1	yes	characteristic
56	#1849	C₂²	1	1	yes	characteristic
57	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
58	#1815	C₂²	1	4	yes	—
59	#1800	C₂²	1	4	yes	—
60	#1773	C₂²	1	2	yes	—
61	#1772	C₂²	1	2	yes	—
62	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
63	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂³	1	8	yes	—
64	C₂×#135	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#135	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#131	C₂³	1	4	yes	—
69	#559	—	2	8	no	—
70	#556	—	2	4	no	—
71	#555	—	2	4	no	—
72	#553	—	2	8	no	—
73	#550	—	2	4	no	—
74	#547	—	2	4	no	—
75	#538	—	4	4	no	—
76	#535	C₂³	1	8	yes	—
77	#533	C₂³	1	2	yes	—
78	#532	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
80	#525	—	4	4	no	—
81	#520	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂×C₄×D₄	—	4	2	no	—
83	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
84	#501	D₄	1	8	yes	complemented
85	#497	D₄	1	4	yes	complemented
86	#496	—	2	8	no	—
87	#496	D₄	1	4	yes	complemented
88	#495	—	2	4	no	—
89	#493	—	2	4	no	—
90	#493	—	2	4	no	—
91	#482	—	2	8	no	—
92	#482	—	2	8	no	—
93	#481	—	2	8	no	—
94	#480	—	2	8	no	—
95	#478	—	2	8	no	—
96	#476	—	2	4	no	—
97	#474	—	2	4	no	—
98	#472	—	4	8	no	—
99	#469	—	2	4	no	—
100	#469	—	2	4	no	—
101	#466	—	2	8	no	—
102	#464	—	2	8	no	—
103	#463	—	2	8	no	—
104	#463	—	2	8	no	—
105	#461	—	2	4	no	—
106	#460	—	2	8	no	—
107	#459	—	2	8	no	—
108	#459	—	2	4	no	—
109	#446	—	2	8	no	—
110	#444	—	4	4	no	—
111	#443	—	2	8	no	—
112	#442	—	2	4	no	—
113	#442	—	2	8	no	—
114	#442	—	2	8	no	—
115	#441	—	2	4	no	—
116	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
117	#435	—	2	8	no	—
118	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
122	#428	—	2	8	no	—
123	#428	C₂³	1	8	yes	—
124	#427	—	2	4	no	—
125	#427	C₂³	1	2	yes	—
126	#427	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×#106	—	2	4	no	—
128	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
130	#424	C₂³	1	4	yes	—
131	#423	C₂³	1	2	yes	—
132	#423	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×#104	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×#104	C₂³	1	4	yes	—
135	#418	C₂³	1	8	yes	—
136	#417	C₂³	1	8	yes	—
137	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×#100	C₂³	1	8	yes	—
140	#408	C₂³	1	4	yes	—
141	#405	C₂³	1	4	yes	—
142	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
143	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
144	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
145	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
148	#390	—	4	2	no	—
149	#390	C₂³	1	4	yes	—
150	#384	C₂³	1	2	yes	—
151	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
152	#343	C₂³	1	8	yes	—
153	#339	C₂³	1	4	yes	—
154	#339	C₂³	1	4	yes	—
155	C₂×#41	—	4	4	no	—
156	C₂×#41	C₂⁴	1	4	yes	—
157	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
158	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
159	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
160	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
161	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
162	#135	—	2	4	no	—
163	#135	—	2	4	no	—
164	#135	—	4	2	no	—
165	#135	—	4	2	no	—
166	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
169	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	C₂×D₈	—	2	8	no	—
172	C₂×D₈	—	2	4	no	—
173	C₂×D₈	—	2	4	no	—
174	C₂×D₈	—	2	4	no	—
175	C₂×D₈	—	2	4	no	—
176	C₂×D₈	—	2	4	no	—
177	C₂×D₈	—	2	4	no	—
178	C₂×D₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂×D₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	#131	—	2	8	no	—
181	#131	—	2	8	no	—
182	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
183	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
184	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
185	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
192	#127	—	2	8	no	—
193	#127	—	2	4	no	—
194	#127	—	4	2	no	—
195	#127	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	#126	—	4	8	no	—
197	#125	C₂×D₄	1	4	yes	—
198	#124	—	2	8	no	—
199	#124	—	4	8	no	—
200	#124	C₂×D₄	1	4	yes	—
201	#123	—	4	8	no	—
202	#123	—	4	8	no	—
203	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
204	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
205	#121	—	2	4	no	—
206	#121	—	2	8	no	—
207	#121	—	2	8	no	—
208	#121	—	4	4	no	—
209	#121	—	4	8	no	—
210	#120	—	4	8	no	—
211	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
212	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
213	C₄×D₄	—	2	8	no	—
214	C₄×D₄	—	2	4	no	—
215	C₄×D₄	—	2	4	no	—
216	C₄×D₄	—	2	4	no	—
217	C₄×D₄	—	2	4	no	—
218	C₄×D₄	—	2	4	no	—
219	C₄×D₄	—	4	8	no	—
220	C₄×D₄	—	4	8	no	—
221	C₄×D₄	—	8	8	no	—
222	#117	—	2	8	no	—
223	#117	—	4	4	no	—
224	#117	C₂⁴	1	4	yes	—
225	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
226	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
227	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
228	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
230	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
231	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
233	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
234	#108	—	2	4	no	—
235	#108	—	2	4	no	—
236	#108	—	4	2	no	—
237	#108	—	4	2	no	—
238	#107	—	2	8	no	—
239	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
240	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
241	#106	—	2	4	no	—
242	#106	—	2	4	no	—
243	#106	—	2	8	no	—
244	#106	C₂×D₄	1	4	yes	—
245	#106	C₂×D₄	1	4	yes	—
246	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
247	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
248	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
249	#104	—	2	8	no	—
250	#104	—	4	4	no	—
251	#103	—	2	8	no	—
252	#102	—	2	8	no	—
253	#102	—	2	8	no	—
254	#102	—	2	8	no	—
255	#102	—	2	8	no	—
256	#102	—	2	8	no	—
257	#100	—	4	8	no	—
258	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
259	#97	—	2	4	no	—
260	#97	—	2	2	no	—
261	#97	—	2	2	no	—
262	#97	C₂×D₄	1	4	yes	—
263	#97	C₂×D₄	1	4	yes	—
264	C₄×C₈	—	2	4	no	—
265	C₄×C₈	—	4	1	no	—
266	C₄×C₈	#41	1	4	yes	complemented
267	C₂⁴	—	2	4	no	—
268	#41	—	2	4	no	—
269	#41	—	2	4	no	—
270	#41	—	2	4	no	—
271	#41	—	2	4	no	—
272	#41	—	16	8	no	—
273	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
274	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
275	C₂×D₄	—	2	4	no	—
276	C₂×D₄	—	2	4	no	—
277	C₂×D₄	—	2	4	no	—
278	C₂×D₄	—	2	4	no	—
279	C₂×D₄	—	2	4	no	—
280	C₂×D₄	—	2	4	no	—
281	C₂×D₄	—	2	4	no	—
282	C₂×D₄	—	2	4	no	—
283	C₂×D₄	—	4	8	no	—
284	C₂×D₄	—	4	8	no	—
285	C₂×D₄	—	4	8	no	—
286	C₂×D₄	—	8	4	no	—
287	C₂×D₄	—	8	4	no	—
288	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
289	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
292	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
294	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
297	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
298	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
299	Q₁₆	—	2	4	no	—
300	Q₁₆	—	4	2	no	—
301	SD₁₆	—	2	8	no	—
302	SD₁₆	—	4	4	no	—
303	SD₁₆	—	8	8	no	—
304	D₈	—	2	4	no	—
305	D₈	—	4	2	no	—
306	D₈	—	4	8	no	—
307	D₈	—	4	8	no	—
308	D₈	—	8	8	no	—
309	M₁₆	—	2	4	no	—
310	M₁₆	—	2	4	no	—
311	M₁₆	—	2	4	no	—
312	M₁₆	—	2	4	no	—
313	M₁₆	—	4	8	no	—
314	C₂×C₈	—	2	1	no	—
315	C₂×C₈	—	2	1	no	—
316	C₂×C₈	—	2	1	no	—
317	C₂×C₈	—	2	1	no	—
318	C₂×C₈	—	2	4	no	—
319	C₂×C₈	—	2	4	no	—
320	C₂×C₈	—	4	8	no	—
321	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
322	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
323	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
324	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
325	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
326	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
327	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
328	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
329	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
330	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
331	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
332	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
333	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
334	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
335	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
336	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
337	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
338	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
339	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
340	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
341	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
342	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
343	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
344	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
345	C₄²	—	2	4	no	—
346	C₄²	—	2	1	no	—
347	C₄²	—	2	1	no	—
348	C₄²	—	2	1	no	—
349	C₄²	—	4	8	no	—
350	C₄²	—	4	4	no	—
351	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
352	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
353	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
354	C₂³	—	2	4	no	—
355	C₂³	—	4	4	no	—
356	C₂³	—	4	4	no	—
357	C₂³	—	4	4	no	—
358	C₂³	—	8	4	no	—
359	C₂³	—	8	4	no	—
360	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
361	Q₈	—	2	4	no	—
362	Q₈	—	2	4	no	—
363	Q₈	—	8	4	no	—
364	D₄	—	2	4	no	—
365	D₄	—	2	4	no	—
366	D₄	—	4	4	no	—
367	D₄	—	4	4	no	—
368	D₄	—	4	4	no	—
369	D₄	—	4	4	no	—
370	D₄	—	4	4	no	—
371	D₄	—	4	4	no	—
372	D₄	—	8	4	no	—
373	D₄	—	8	16	no	—
374	D₄	—	16	8	no	—
375	D₄	—	16	8	no	—
376	C₂×C₄	—	2	4	no	—
377	C₂×C₄	—	2	2	no	—
378	C₂×C₄	—	2	8	no	—
379	C₂×C₄	—	2	4	no	—
380	C₂×C₄	—	4	2	no	—
381	C₂×C₄	—	4	4	no	—
382	C₂×C₄	—	4	4	no	—
383	C₂×C₄	—	4	2	no	—
384	C₂×C₄	—	4	4	no	—
385	C₂×C₄	—	4	1	no	—
386	C₂×C₄	—	8	8	no	—
387	C₂×C₄	—	8	4	no	—
388	C₂×C₄	—	16	4	no	—
389	C₂×C₄	—	16	8	no	—
390	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
391	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
396	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
397	C₈	—	2	2	no	—
398	C₈	—	2	2	no	—
399	C₈	—	4	4	no	—
400	C₈	—	4	4	no	—
401	C₈	#547	1	4	yes	—
402	C₈	#550	1	4	yes	—
403	C₂²	—	2	2	no	—
404	C₂²	—	4	4	no	—
405	C₂²	—	4	8	no	—
406	C₂²	—	8	8	no	—
407	C₂²	—	8	4	no	—
408	C₂²	—	8	4	no	—
409	C₂²	—	8	4	no	—
410	C₂²	—	16	4	no	—
411	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
412	C₂²	#3506	1	1	yes	characteristic
413	C₂²	#3548	1	1	yes	characteristic
414	C₄	—	2	4	no	—
415	C₄	—	2	4	no	—
416	C₄	—	4	4	no	—
417	C₄	—	4	8	no	—
418	C₄	—	8	1	no	—
419	C₄	—	8	4	no	—
420	C₄	C₂×#547	1	1	yes	characteristic
421	C₄	C₂×#550	1	1	yes	characteristic
422	C₄	#3496	1	1	yes	characteristic
423	C₄	#3497	1	1	yes	characteristic
424	C₂	—	2	1	no	—
425	C₂	—	2	1	no	—
426	C₂	—	8	4	no	—
427	C₂	—	16	4	no	—
428	C₂	#59815	1	1	yes	characteristic
429	C₂	#61110	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #61414	C₂	semidirect
2. #61293	C₂	semidirect
3. #31228	C₂	semidirect
4. #28504	C₂	semidirect
5. #28299	C₂	semidirect
6. #28243	C₂	semidirect
7. #26274	C₂	semidirect
8. #24799	C₂	semidirect
9. #24176	C₂	semidirect
10. #22689	C₂	semidirect
11. #21736	C₂	semidirect
12. #21710	C₂	semidirect
13. #21690	C₂	semidirect
84. #501	D₄	semidirect
85. #497	D₄	semidirect
87. #496	D₄	semidirect
266. C₄×C₈	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#61414	2
#61293	2
#31228	2
#28504	2
#28299	2
#28243	2
#26274	2
#24799	2
#24176	2
#22689	2
#21736	2
#21710	2
#21690	2