Subgroups — #7613862

Order 512.

1722 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 413 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#61416	C₂	1	2	yes	maximal
2	#61292	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#31230	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#28505	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28300	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#28244	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#26273	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#24800	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#24179	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#22689	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#21736	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#21710	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	#21691	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#3507	C₂²	1	4	yes	—
15	#3401	—	2	8	no	—
16	#3398	—	2	8	no	—
17	#3349	—	2	8	no	—
18	#3344	—	2	8	no	—
19	#3162	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#3156	C₂²	1	4	yes	—
21	#3150	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#3097	C₂²	1	8	yes	—
24	#3078	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#473	C₂²	1	4	yes	—
26	#3059	C₂²	1	4	yes	—
27	#3046	C₂²	1	8	yes	—
28	#3037	C₂²	1	4	yes	—
29	#2961	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#444	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#443	C₂²	1	2	yes	—
32	#2952	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#441	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#441	C₂²	1	2	yes	—
35	#2932	C₂²	1	2	yes	—
36	#2912	C₂²	1	4	yes	—
37	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
38	#2064	C₂²	1	8	yes	—
39	#2052	C₂²	1	8	yes	—
40	#2038	C₂²	1	8	yes	—
41	#2005	C₂²	1	8	yes	—
42	#1994	C₂²	1	2	yes	—
43	#1979	C₂²	1	4	yes	—
44	#1975	C₂²	1	2	yes	—
45	#1974	C₂²	1	2	yes	—
46	#1971	C₂²	1	2	yes	—
47	#1971	C₂²	1	2	yes	—
48	#1962	C₂²	1	2	yes	—
49	#1956	C₂²	1	2	yes	—
50	#1951	C₂²	1	4	yes	—
51	#1946	C₂²	1	2	yes	—
52	#1945	C₂²	1	2	yes	—
53	#1882	C₂²	1	8	yes	—
54	#1859	C₂²	1	8	yes	—
55	#1849	C₂²	1	1	yes	characteristic
56	#1849	C₂²	1	1	yes	characteristic
57	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
58	#1815	C₂²	1	4	yes	—
59	#1801	C₂²	1	4	yes	—
60	#1773	C₂²	1	2	yes	—
61	#1772	C₂²	1	2	yes	—
62	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#137	C₂³	1	8	yes	—
64	C₂×#135	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#135	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#131	C₂³	1	4	yes	—
69	#559	—	2	4	no	—
70	#557	—	2	4	no	—
71	#556	—	2	4	no	—
72	#556	—	2	8	no	—
73	#554	—	2	4	no	—
74	#552	—	2	8	no	—
75	#539	—	4	4	no	—
76	#536	C₂³	1	8	yes	—
77	#533	C₂³	1	2	yes	—
78	#532	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
80	#529	—	4	4	no	—
81	#520	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
83	#501	D₄	1	8	yes	—
84	#497	—	2	8	no	—
85	#497	D₄	1	4	yes	—
86	#496	D₄	1	4	yes	—
87	#495	—	2	4	no	—
88	#494	—	2	4	no	—
89	#494	—	2	4	no	—
90	#485	—	2	8	no	—
91	#485	—	2	8	no	—
92	#484	—	2	8	no	—
93	#483	—	2	8	no	—
94	#479	—	2	8	no	—
95	#477	—	2	4	no	—
96	#475	—	2	4	no	—
97	#473	—	4	8	no	—
98	#470	—	2	4	no	—
99	#470	—	2	4	no	—
100	#467	—	2	8	no	—
101	#464	—	2	8	no	—
102	#464	—	2	8	no	—
103	#463	—	2	8	no	—
104	#462	—	2	8	no	—
105	#462	—	2	4	no	—
106	#461	—	2	8	no	—
107	#460	—	2	4	no	—
108	#446	—	2	8	no	—
109	#444	—	4	4	no	—
110	#443	—	2	8	no	—
111	#442	—	2	4	no	—
112	#441	—	2	4	no	—
113	#441	—	2	8	no	—
114	#441	—	2	8	no	—
115	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
116	#435	—	2	8	no	—
117	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
121	#428	—	2	8	no	—
122	#428	C₂³	1	8	yes	—
123	#427	—	2	4	no	—
124	#427	C₂³	1	2	yes	—
125	#427	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×#106	—	2	4	no	—
127	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
129	#424	C₂³	1	4	yes	—
130	#423	C₂³	1	2	yes	—
131	#423	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×#104	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×#104	C₂³	1	4	yes	—
134	#419	C₂³	1	8	yes	—
135	#417	C₂³	1	8	yes	—
136	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
137	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂×#101	C₂³	1	8	yes	—
139	#408	C₂³	1	4	yes	—
140	#405	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
142	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
143	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
144	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
147	#391	C₂³	1	4	yes	—
148	#389	—	4	2	no	—
149	#384	C₂³	1	2	yes	—
150	C₄×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
151	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
152	#343	C₂³	1	8	yes	—
153	#339	C₂³	1	4	yes	—
154	#339	C₂³	1	4	yes	—
155	C₂×#41	C₂⁴	1	4	yes	—
156	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
157	#137	—	4	8	no	—
158	#137	—	4	8	no	—
159	#135	—	2	4	no	—
160	#135	—	2	4	no	—
161	#135	—	4	2	no	—
162	#135	—	4	2	no	—
163	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
164	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
165	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
166	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
167	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
168	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
169	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
170	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
173	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₂×D₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×D₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	#131	—	2	8	no	—
178	#131	—	2	8	no	—
179	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
180	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
181	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
182	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
187	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
188	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
189	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
190	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
192	#127	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	#126	—	4	8	no	—
194	#126	—	4	8	no	—
195	#125	—	4	4	no	—
196	#125	—	4	8	no	—
197	#125	C₂×D₄	1	4	yes	—
198	#124	—	2	8	no	—
199	#124	—	4	4	no	—
200	#124	C₂×D₄	1	4	yes	—
201	#123	—	4	8	no	—
202	#123	—	4	8	no	—
203	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
204	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
205	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
206	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
207	#121	—	2	4	no	—
208	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
209	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
210	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
211	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
212	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
213	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
214	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
215	C₄×D₄	—	2	8	no	—
216	C₄×D₄	—	2	4	no	—
217	C₄×D₄	—	4	8	no	—
218	C₄×D₄	—	4	4	no	—
219	#117	—	2	8	no	—
220	#117	—	4	8	no	—
221	#117	C₂⁴	1	4	yes	—
222	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
223	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
225	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
226	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
227	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
228	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
230	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
232	#108	—	2	4	no	—
233	#108	—	2	4	no	—
234	#108	—	4	2	no	—
235	#108	—	4	2	no	—
236	#107	—	2	8	no	—
237	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
238	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
239	#106	—	2	4	no	—
240	#106	—	2	4	no	—
241	#106	—	2	8	no	—
242	#106	C₂×D₄	1	4	yes	—
243	#106	C₂×D₄	1	4	yes	—
244	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
245	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
246	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
247	#104	—	2	8	no	—
248	#104	—	4	4	no	—
249	#103	—	2	8	no	—
250	#103	—	2	8	no	—
251	#103	—	2	8	no	—
252	#103	—	2	8	no	—
253	#103	—	2	8	no	—
254	#102	—	2	8	no	—
255	#101	—	4	8	no	—
256	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
257	#97	—	2	4	no	—
258	#97	—	2	2	no	—
259	#97	—	2	2	no	—
260	#97	C₂×D₄	1	4	yes	—
261	#97	C₂×D₄	1	4	yes	—
262	C₄×C₈	—	2	4	no	—
263	C₄×C₈	—	4	1	no	—
264	C₄×C₈	#41	1	4	yes	—
265	#95	—	4	4	no	—
266	#41	—	2	4	no	—
267	#41	—	2	4	no	—
268	#41	—	2	4	no	—
269	#41	—	2	4	no	—
270	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
271	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
272	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
273	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
274	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
275	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
276	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
277	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
278	C₂×D₄	—	2	4	no	—
279	C₂×D₄	—	2	4	no	—
280	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
281	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
287	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
289	Q₁₆	—	2	4	no	—
290	Q₁₆	—	4	2	no	—
291	Q₁₆	—	4	8	no	—
292	Q₁₆	—	4	8	no	—
293	Q₁₆	—	8	8	no	—
294	SD₁₆	—	2	8	no	—
295	SD₁₆	—	4	4	no	—
296	SD₁₆	—	8	8	no	—
297	D₈	—	2	4	no	—
298	D₈	—	4	2	no	—
299	M₁₆	—	2	4	no	—
300	M₁₆	—	2	4	no	—
301	M₁₆	—	2	4	no	—
302	M₁₆	—	2	4	no	—
303	M₁₆	—	4	8	no	—
304	C₂×C₈	—	2	1	no	—
305	C₂×C₈	—	2	1	no	—
306	C₂×C₈	—	2	1	no	—
307	C₂×C₈	—	2	1	no	—
308	C₂×C₈	—	2	4	no	—
309	C₂×C₈	—	2	4	no	—
310	C₂×C₈	—	4	8	no	—
311	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
312	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
313	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
314	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
315	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
316	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
317	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
318	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
319	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
320	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
321	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
322	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
323	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
324	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
325	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
326	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
327	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
328	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
329	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
330	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
331	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
332	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
333	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
334	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
335	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
336	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
337	C₄²	—	2	4	no	—
338	C₄²	—	2	1	no	—
339	C₄²	—	2	1	no	—
340	C₄²	—	2	1	no	—
341	C₄²	—	4	8	no	—
342	C₄²	—	4	4	no	—
343	C₄²	—	4	4	no	—
344	C₄²	—	4	4	no	—
345	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
346	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
347	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
348	C₂³	—	2	4	no	—
349	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
350	Q₈	—	2	4	no	—
351	Q₈	—	2	4	no	—
352	Q₈	—	4	4	no	—
353	Q₈	—	4	4	no	—
354	Q₈	—	4	4	no	—
355	Q₈	—	4	4	no	—
356	Q₈	—	8	4	no	—
357	D₄	—	2	4	no	—
358	D₄	—	2	4	no	—
359	D₄	—	4	4	no	—
360	D₄	—	4	4	no	—
361	D₄	—	8	4	no	—
362	C₂×C₄	—	2	4	no	—
363	C₂×C₄	—	2	2	no	—
364	C₂×C₄	—	2	8	no	—
365	C₂×C₄	—	2	4	no	—
366	C₂×C₄	—	4	2	no	—
367	C₂×C₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	2	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	4	4	no	—
372	C₂×C₄	—	4	4	no	—
373	C₂×C₄	—	4	1	no	—
374	C₂×C₄	—	4	4	no	—
375	C₂×C₄	—	8	4	no	—
376	C₂×C₄	—	16	8	no	—
377	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
378	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
384	C₈	—	2	2	no	—
385	C₈	—	2	2	no	—
386	C₈	—	4	4	no	—
387	C₈	—	4	4	no	—
388	C₈	#547	1	4	yes	—
389	C₈	#550	1	4	yes	—
390	C₂²	—	2	2	no	—
391	C₂²	—	4	4	no	—
392	C₂²	—	4	8	no	—
393	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	#3506	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	#3548	1	1	yes	characteristic
396	C₄	—	2	4	no	—
397	C₄	—	2	4	no	—
398	C₄	—	4	4	no	—
399	C₄	—	4	8	no	—
400	C₄	—	8	1	no	—
401	C₄	—	8	4	no	—
402	C₄	—	8	4	no	—
403	C₄	C₂×#547	1	1	yes	characteristic
404	C₄	C₂×#550	1	1	yes	characteristic
405	C₄	#3496	1	1	yes	characteristic
406	C₄	#3497	1	1	yes	characteristic
407	C₂	—	2	1	no	—
408	C₂	—	2	1	no	—
409	C₂	—	8	4	no	—
410	C₂	#59815	1	1	yes	characteristic
411	C₂	#61111	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#3150	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #61292	C₂	semidirect
3. #31230	C₂	semidirect
4. #28505	C₂	semidirect
5. #28300	C₂	semidirect
6. #28244	C₂	semidirect
7. #26273	C₂	semidirect
8. #24800	C₂	semidirect
9. #24179	C₂	semidirect
10. #22689	C₂	semidirect
11. #21736	C₂	semidirect
13. #21691	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#61416	2
#61292	2
#31230	2
#28505	2
#28300	2
#28244	2
#26273	2
#24800	2
#24179	2
#22689	2
#21736	2
#21710	2
#21691	2