Subgroups — #7613876

Order 512.

1712 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 445 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#61416	C₂	1	2	yes	maximal
2	#61286	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#31233	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#28505	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28300	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#28241	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#26273	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#24798	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#24183	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#22691	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#21733	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#21708	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	#21698	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#3507	C₂²	1	4	yes	—
15	#3401	—	2	8	no	—
16	#3398	—	2	8	no	—
17	#3356	—	2	4	no	—
18	#3352	—	2	4	no	—
19	#3342	—	2	2	no	—
20	#3338	—	2	2	no	—
21	#3336	—	2	4	no	—
22	#3160	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#3156	C₂²	1	4	yes	—
24	#3150	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#3097	C₂²	1	8	yes	—
27	#3078	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#473	C₂²	1	4	yes	—
29	#3059	C₂²	1	4	yes	—
30	#3046	C₂²	1	8	yes	—
31	#3037	C₂²	1	4	yes	—
32	#2961	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#443	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#443	C₂²	1	2	yes	—
35	#2952	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×#441	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
38	#2931	C₂²	1	2	yes	—
39	#2913	C₂²	1	4	yes	—
40	#2327	C₂²	1	2	yes	—
41	#2064	C₂²	1	8	yes	—
42	#2052	C₂²	1	8	yes	—
43	#2038	C₂²	1	8	yes	—
44	#2005	C₂²	1	8	yes	—
45	#1995	C₂²	1	2	yes	—
46	#1979	C₂²	1	4	yes	—
47	#1975	C₂²	1	2	yes	—
48	#1975	C₂²	1	2	yes	—
49	#1971	C₂²	1	2	yes	—
50	#1969	C₂²	1	2	yes	—
51	#1963	C₂²	1	2	yes	—
52	#1960	C₂²	1	2	yes	—
53	#1951	C₂²	1	4	yes	—
54	#1946	C₂²	1	2	yes	—
55	#1945	C₂²	1	2	yes	—
56	#1882	C₂²	1	8	yes	—
57	#1860	C₂²	1	8	yes	—
58	#1849	C₂²	1	1	yes	characteristic
59	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	#1846	C₂²	1	1	yes	characteristic
61	#1816	C₂²	1	4	yes	—
62	#1801	C₂²	1	4	yes	—
63	#1773	C₂²	1	2	yes	—
64	#1772	C₂²	1	2	yes	—
65	#1726	C₂²	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#137	C₂³	1	8	yes	—
67	C₂×#135	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#135	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#131	C₂³	1	4	yes	—
72	#559	—	2	4	no	—
73	#557	—	2	4	no	—
74	#556	—	2	4	no	—
75	#556	—	2	8	no	—
76	#554	—	2	4	no	—
77	#552	—	2	8	no	—
78	#539	—	4	4	no	—
79	#536	C₂³	1	8	yes	—
80	#533	C₂³	1	2	yes	—
81	#532	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
83	#529	—	4	4	no	—
84	#520	C₂³	1	8	yes	—
85	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
86	#500	D₄	1	2	yes	—
87	#499	D₄	1	2	yes	—
88	#499	D₄	1	2	yes	—
89	#498	D₄	1	2	yes	—
90	#497	—	2	8	no	—
91	#497	D₄	1	4	yes	—
92	#496	D₄	1	4	yes	—
93	#495	—	2	4	no	—
94	#494	—	2	4	no	—
95	#494	—	2	4	no	—
96	#485	—	2	8	no	—
97	#485	—	2	8	no	—
98	#484	—	2	8	no	—
99	#483	—	2	8	no	—
100	#479	—	2	8	no	—
101	#477	—	2	4	no	—
102	#475	—	2	4	no	—
103	#473	—	4	8	no	—
104	#470	—	2	8	no	—
105	#467	—	2	4	no	—
106	#467	—	2	4	no	—
107	#464	—	2	8	no	—
108	#464	—	2	8	no	—
109	#463	—	2	8	no	—
110	#462	—	2	8	no	—
111	#462	—	2	4	no	—
112	#461	—	2	8	no	—
113	#460	—	2	4	no	—
114	#446	—	2	8	no	—
115	#443	—	2	8	no	—
116	#443	—	4	4	no	—
117	#442	—	2	4	no	—
118	#441	—	2	4	no	—
119	#441	—	2	8	no	—
120	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
121	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
122	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
123	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
124	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
125	#436	—	2	2	no	—
126	#436	—	2	2	no	—
127	C₈×D₄	—	2	2	no	—
128	C₈×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
133	#428	—	2	8	no	—
134	#428	C₂³	1	8	yes	—
135	#427	—	2	4	no	—
136	#427	C₂³	1	2	yes	—
137	#427	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×#107	—	2	4	no	—
139	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
141	#424	C₂³	1	4	yes	—
142	#423	C₂³	1	2	yes	—
143	#423	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×#104	C₂³	1	4	yes	—
145	C₂×#104	C₂³	1	4	yes	—
146	#419	C₂³	1	8	yes	—
147	#417	C₂³	1	8	yes	—
148	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
149	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
150	C₂×#101	C₂³	1	8	yes	—
151	#408	C₂³	1	4	yes	—
152	#405	C₂³	1	4	yes	—
153	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
154	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
155	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
159	#391	C₂³	1	4	yes	—
160	#387	—	4	4	no	—
161	#382	C₂³	1	2	yes	—
162	#376	C₂³	1	1	yes	characteristic
163	#343	C₂³	1	8	yes	—
164	#339	C₂³	1	4	yes	—
165	#339	C₂³	1	4	yes	—
166	C₂×#41	C₂⁴	1	4	yes	—
167	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
168	#137	—	4	8	no	—
169	#137	—	4	8	no	—
170	#135	—	2	4	no	—
171	#135	—	2	4	no	—
172	#135	—	4	2	no	—
173	#135	—	4	2	no	—
174	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
175	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
176	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
177	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
178	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
179	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
180	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
181	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
182	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
185	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
186	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
187	C₂×D₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×D₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	#131	—	2	8	no	—
190	#131	—	2	8	no	—
191	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
192	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
193	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
194	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
199	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
200	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
201	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
202	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
204	#127	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	#126	—	4	8	no	—
206	#126	—	4	8	no	—
207	#125	—	4	4	no	—
208	#125	—	4	8	no	—
209	#125	C₂×D₄	1	4	yes	—
210	#124	—	2	8	no	—
211	#124	—	4	4	no	—
212	#124	C₂×D₄	1	4	yes	—
213	#123	—	4	8	no	—
214	#123	—	4	8	no	—
215	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
216	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
217	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
218	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
219	#121	—	2	2	no	—
220	#121	—	2	2	no	—
221	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
222	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
223	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
224	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
225	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
226	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
227	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
228	C₄×D₄	—	2	8	no	—
229	C₄×D₄	—	2	2	no	—
230	C₄×D₄	—	2	2	no	—
231	C₄×D₄	—	4	8	no	—
232	C₄×D₄	—	4	4	no	—
233	#117	—	2	8	no	—
234	#117	—	4	8	no	—
235	#117	C₂⁴	1	4	yes	—
236	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
237	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
239	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
240	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
244	#108	—	2	4	no	—
245	#108	—	2	4	no	—
246	#108	—	4	2	no	—
247	#108	—	4	2	no	—
248	#107	—	2	2	no	—
249	#107	—	2	2	no	—
250	#107	—	2	8	no	—
251	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
252	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
253	#106	—	2	4	no	—
254	#106	—	2	8	no	—
255	#106	C₂×D₄	1	4	yes	—
256	#106	C₂×D₄	1	4	yes	—
257	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
258	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
259	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
260	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
261	#104	—	2	8	no	—
262	#104	—	4	4	no	—
263	#103	—	2	8	no	—
264	#103	—	2	4	no	—
265	#103	—	2	4	no	—
266	#103	—	2	8	no	—
267	#103	—	2	8	no	—
268	#103	—	2	8	no	—
269	#102	—	2	8	no	—
270	#101	—	4	8	no	—
271	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
272	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
273	#97	—	2	4	no	—
274	#97	—	2	2	no	—
275	#97	—	4	1	no	—
276	#97	C₂×D₄	1	4	yes	—
277	C₄×C₈	—	2	4	no	—
278	C₄×C₈	—	2	2	no	—
279	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₄×C₈	#41	1	4	yes	—
284	#95	—	2	2	no	—
285	#95	—	4	2	no	—
286	#95	—	4	4	no	—
287	#41	—	2	4	no	—
288	#41	—	2	4	no	—
289	#41	—	2	4	no	—
290	#41	—	2	4	no	—
291	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
292	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
293	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
294	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
295	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
296	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
297	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
298	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
299	C₂×D₄	—	2	4	no	—
300	C₂×D₄	—	2	2	no	—
301	C₂×D₄	—	2	2	no	—
302	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
303	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
310	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
311	Q₁₆	—	2	4	no	—
312	Q₁₆	—	4	2	no	—
313	Q₁₆	—	4	8	no	—
314	Q₁₆	—	4	4	no	—
315	Q₁₆	—	4	4	no	—
316	Q₁₆	—	8	8	no	—
317	SD₁₆	—	2	8	no	—
318	SD₁₆	—	4	4	no	—
319	SD₁₆	—	8	8	no	—
320	D₈	—	2	4	no	—
321	D₈	—	4	2	no	—
322	M₁₆	—	2	4	no	—
323	M₁₆	—	2	4	no	—
324	M₁₆	—	2	4	no	—
325	M₁₆	—	2	4	no	—
326	M₁₆	—	4	8	no	—
327	C₂×C₈	—	2	1	no	—
328	C₂×C₈	—	2	1	no	—
329	C₂×C₈	—	2	1	no	—
330	C₂×C₈	—	2	1	no	—
331	C₂×C₈	—	2	4	no	—
332	C₂×C₈	—	2	4	no	—
333	C₂×C₈	—	4	8	no	—
334	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
337	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
338	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
341	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
342	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
343	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
344	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
345	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
346	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
347	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
348	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
349	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
350	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
351	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
352	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
353	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
354	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
355	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
356	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
357	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
358	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
359	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
360	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
361	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
362	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
363	C₄²	—	2	4	no	—
364	C₄²	—	2	1	no	—
365	C₄²	—	2	1	no	—
366	C₄²	—	2	1	no	—
367	C₄²	—	4	8	no	—
368	C₄²	—	4	4	no	—
369	C₄²	—	4	4	no	—
370	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
371	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
372	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
373	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
374	C₂³	—	2	4	no	—
375	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
376	Q₈	—	2	4	no	—
377	Q₈	—	2	4	no	—
378	Q₈	—	4	4	no	—
379	Q₈	—	4	4	no	—
380	Q₈	—	4	4	no	—
381	Q₈	—	4	4	no	—
382	Q₈	—	8	4	no	—
383	D₄	—	2	4	no	—
384	D₄	—	2	4	no	—
385	D₄	—	4	4	no	—
386	D₄	—	4	4	no	—
387	D₄	—	4	4	no	—
388	D₄	—	8	2	no	—
389	C₂×C₄	—	2	8	no	—
390	C₂×C₄	—	2	4	no	—
391	C₂×C₄	—	2	2	no	—
392	C₂×C₄	—	4	2	no	—
393	C₂×C₄	—	4	2	no	—
394	C₂×C₄	—	4	4	no	—
395	C₂×C₄	—	4	4	no	—
396	C₂×C₄	—	4	2	no	—
397	C₂×C₄	—	4	4	no	—
398	C₂×C₄	—	4	4	no	—
399	C₂×C₄	—	4	4	no	—
400	C₂×C₄	—	4	1	no	—
401	C₂×C₄	—	4	4	no	—
402	C₂×C₄	—	8	4	no	—
403	C₂×C₄	—	16	8	no	—
404	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
405	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
406	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
407	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
408	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
409	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
410	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
411	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
412	C₈	—	2	2	no	—
413	C₈	—	2	1	no	—
414	C₈	—	2	1	no	—
415	C₈	—	4	4	no	—
416	C₈	—	4	4	no	—
417	C₈	#547	1	4	yes	—
418	C₈	#550	1	2	yes	—
419	C₈	#550	1	2	yes	—
420	C₂²	—	2	2	no	—
421	C₂²	—	4	4	no	—
422	C₂²	—	4	4	no	—
423	C₂²	—	4	4	no	—
424	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
425	C₂²	#3506	1	1	yes	characteristic
426	C₂²	#3548	1	1	yes	characteristic
427	C₄	—	2	2	no	—
428	C₄	—	2	2	no	—
429	C₄	—	4	2	no	—
430	C₄	—	4	4	no	—
431	C₄	—	4	8	no	—
432	C₄	—	8	1	no	—
433	C₄	—	8	4	no	—
434	C₄	—	8	4	no	—
435	C₄	C₂×#547	1	1	yes	characteristic
436	C₄	C₂×#550	1	1	yes	characteristic
437	C₄	#3496	1	1	yes	characteristic
438	C₄	#3497	1	1	yes	characteristic
439	C₂	—	2	1	no	—
440	C₂	—	2	1	no	—
441	C₂	—	8	4	no	—
442	C₂	#59815	1	1	yes	characteristic
443	C₂	#61108	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#3150	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #61286	C₂	semidirect
3. #31233	C₂	semidirect
4. #28505	C₂	semidirect
5. #28300	C₂	semidirect
6. #28241	C₂	semidirect
7. #26273	C₂	semidirect
8. #24798	C₂	semidirect
9. #24183	C₂	semidirect
10. #22691	C₂	semidirect
11. #21733	C₂	semidirect
13. #21698	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#61416	2
#61286	2
#31233	2
#28505	2
#28300	2
#28241	2
#26273	2
#24798	2
#24183	2
#22691	2
#21733	2
#21708	2
#21698	2