Subgroups — #7614018

Order 512.

2792 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 440 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3284	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#59815	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#31059	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#28255	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#28251	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#28223	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#24265	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#24241	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#24238	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₄×#492	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₈×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#135	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#550	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#547	C₂²	1	4	yes	—
15	#3284	—	2	32	no	—
16	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#465	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂×#462	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#459	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#452	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×#449	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
26	#2682	—	2	4	no	—
27	#2541	—	2	2	no	—
28	#2538	C₂²	1	4	yes	—
29	#2537	C₂²	1	4	yes	—
30	#2445	—	2	4	no	—
31	#2416	—	2	4	no	—
32	#2407	C₂²	1	8	yes	—
33	D₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
34	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
35	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
36	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#2056	C₂²	1	4	yes	—
38	#2054	C₂²	1	4	yes	—
39	#2035	C₂²	1	8	yes	—
40	#2034	C₂²	1	8	yes	—
41	#2001	C₂²	1	4	yes	—
42	#1999	C₂²	1	4	yes	—
43	#1968	C₂²	1	4	yes	—
44	#1968	C₂²	1	4	yes	—
45	#1957	C₂²	1	2	yes	—
46	#1956	C₂²	1	2	yes	—
47	#1954	C₂²	1	2	yes	—
48	#1954	C₂²	1	4	yes	—
49	#1844	C₂²	1	2	yes	—
50	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	#1807	C₂²	1	4	yes	—
52	#1803	C₂²	1	4	yes	—
53	#1802	C₂²	1	4	yes	—
54	#1788	C₂²	1	8	yes	—
55	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×#41	C₂³	1	8	yes	—
57	C₂×#135	—	2	32	no	—
58	C₂×#135	—	4	8	no	—
59	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
64	#550	—	2	16	no	—
65	#550	—	4	8	no	—
66	#547	—	2	16	no	—
67	#547	—	4	8	no	—
68	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×#127	—	2	4	no	—
70	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#123	—	2	8	no	—
73	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
74	C₂×#121	—	2	4	no	—
75	C₂×#121	—	2	4	no	—
76	C₂×#121	—	2	8	no	—
77	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
78	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
86	#492	D₄	1	16	yes	complemented
87	#465	—	2	32	no	—
88	#462	—	2	16	no	—
89	#459	—	2	16	no	—
90	#452	—	2	32	no	—
91	#449	—	2	32	no	—
92	C₄×SD₁₆	—	2	16	no	—
93	C₄×SD₁₆	—	4	8	no	—
94	C₈×D₄	—	2	16	no	—
95	C₈×D₄	—	4	4	no	—
96	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
101	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
104	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
112	#396	—	2	8	no	—
113	#394	—	2	8	no	—
114	#394	—	2	8	no	—
115	#392	—	2	8	no	—
116	#391	C₂³	1	4	yes	—
117	#390	—	2	4	no	—
118	#390	—	2	2	no	—
119	#390	—	2	2	no	—
120	#390	D₄	1	4	yes	—
121	#390	D₄	1	2	yes	—
122	#390	C₂³	1	4	yes	—
123	#389	—	2	4	no	—
124	#389	—	2	2	no	—
125	#389	—	2	2	no	—
126	#386	—	2	8	no	—
127	#385	—	2	8	no	—
128	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
129	#384	C₂³	1	2	yes	—
130	#384	C₂³	1	2	yes	—
131	#380	—	2	4	no	—
132	#380	C₂³	1	8	yes	—
133	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
136	#340	C₂³	1	4	yes	—
137	#340	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂×#41	—	2	16	no	—
139	C₂×#41	—	2	16	no	—
140	C₂×#41	—	4	8	no	—
141	C₂×#41	—	4	8	no	—
142	C₂×#41	—	4	8	no	—
143	C₂×#41	—	4	8	no	—
144	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
145	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
146	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
147	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
152	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
153	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
154	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
155	#135	—	4	64	no	—
156	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
157	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
158	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
159	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
160	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
161	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
162	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	16	yes	—
163	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	16	yes	—
164	C₂×D₈	—	2	16	no	—
165	C₂×D₈	—	4	4	no	—
166	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
167	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
168	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
169	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
171	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
172	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
173	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
174	#127	—	2	4	no	—
175	#127	—	2	4	no	—
176	#127	—	4	16	no	—
177	#127	C₂×D₄	1	8	yes	—
178	#123	—	4	32	no	—
179	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
180	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
181	#121	—	2	16	no	—
182	#121	—	4	32	no	—
183	#121	—	4	8	no	—
184	#121	—	4	16	no	—
185	#121	—	8	8	no	—
186	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
187	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
188	C₄×D₄	—	2	8	no	—
189	C₄×D₄	—	2	8	no	—
190	C₄×D₄	—	2	8	no	—
191	C₄×D₄	—	2	8	no	—
192	C₄×D₄	—	4	2	no	—
193	C₄×D₄	—	4	2	no	—
194	C₄×D₄	—	4	16	no	—
195	C₄×D₄	—	4	8	no	—
196	C₄×D₄	—	8	4	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
207	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
209	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
218	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
219	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
220	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
224	#106	—	2	8	no	—
225	#106	—	4	4	no	—
226	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
227	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
228	#103	—	2	16	no	—
229	#103	—	2	8	no	—
230	#103	—	4	4	no	—
231	#102	—	2	16	no	—
232	#102	—	2	8	no	—
233	#102	—	4	4	no	—
234	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
235	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
236	C₄×C₈	—	2	2	no	—
237	C₄×C₈	—	2	4	no	—
238	C₄×C₈	—	4	1	no	—
239	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
240	#95	—	2	4	no	—
241	#95	—	2	4	no	—
242	#95	—	2	8	no	—
243	C₂⁴	—	2	4	no	—
244	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
245	#41	—	4	32	no	—
246	#41	—	8	16	no	—
247	#41	—	8	16	no	—
248	#41	—	8	16	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
250	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
251	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
252	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
253	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
254	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
255	C₂×D₄	—	2	8	no	—
256	C₂×D₄	—	2	8	no	—
257	C₂×D₄	—	2	8	no	—
258	C₂×D₄	—	2	4	no	—
259	C₂×D₄	—	2	8	no	—
260	C₂×D₄	—	2	8	no	—
261	C₂×D₄	—	2	4	no	—
262	C₂×D₄	—	2	4	no	—
263	C₂×D₄	—	2	4	no	—
264	C₂×D₄	—	2	4	no	—
265	C₂×D₄	—	2	4	no	—
266	C₂×D₄	—	4	2	no	—
267	C₂×D₄	—	4	2	no	—
268	C₂×D₄	—	4	16	no	—
269	C₂×D₄	—	4	16	no	—
270	C₂×D₄	—	4	16	no	—
271	C₂×D₄	—	4	4	no	—
272	C₂×D₄	—	4	4	no	—
273	C₂×D₄	—	8	2	no	—
274	C₂×D₄	—	8	2	no	—
275	C₂×D₄	—	8	8	no	—
276	C₂×D₄	—	8	8	no	—
277	C₂×D₄	—	8	8	no	—
278	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
279	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
281	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
287	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
288	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
289	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
290	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
291	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
292	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
294	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
295	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
297	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
298	Q₁₆	—	4	16	no	—
299	SD₁₆	—	2	32	no	—
300	SD₁₆	—	4	16	no	—
301	D₈	—	4	16	no	—
302	C₂×C₈	—	2	2	no	—
303	C₂×C₈	—	2	2	no	—
304	C₂×C₈	—	2	8	no	—
305	C₂×C₈	—	2	1	no	—
306	C₂×C₈	—	2	2	no	—
307	C₂×C₈	—	2	4	no	—
308	C₂×C₈	—	4	16	no	—
309	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
310	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
311	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
312	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
313	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
315	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
316	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
317	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
318	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
319	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
320	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
321	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
322	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
323	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
324	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
325	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
332	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
333	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
334	C₄²	—	2	4	no	—
335	C₄²	—	2	1	no	—
336	C₄²	—	2	1	no	—
337	C₄²	—	4	1	no	—
338	C₄²	—	4	8	no	—
339	C₄²	#135	1	4	yes	complemented
340	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
341	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
342	C₂³	—	2	4	no	—
343	C₂³	—	2	8	no	—
344	C₂³	—	2	8	no	—
345	C₂³	—	2	4	no	—
346	C₂³	—	2	4	no	—
347	C₂³	—	2	8	no	—
348	C₂³	—	4	4	no	—
349	C₂³	—	4	4	no	—
350	C₂³	—	4	4	no	—
351	C₂³	—	4	4	no	—
352	C₂³	—	4	4	no	—
353	C₂³	—	4	4	no	—
354	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
355	Q₈	—	2	8	no	—
356	Q₈	—	2	8	no	—
357	Q₈	—	4	4	no	—
358	Q₈	—	4	4	no	—
359	D₄	—	2	8	no	—
360	D₄	—	2	8	no	—
361	D₄	—	4	8	no	—
362	D₄	—	4	4	no	—
363	D₄	—	4	16	no	—
364	D₄	—	4	16	no	—
365	D₄	—	4	4	no	—
366	D₄	—	8	8	no	—
367	D₄	—	8	32	no	—
368	D₄	—	16	16	no	—
369	C₂×C₄	—	2	2	no	—
370	C₂×C₄	—	2	1	no	—
371	C₂×C₄	—	2	1	no	—
372	C₂×C₄	—	2	2	no	—
373	C₂×C₄	—	2	8	no	—
374	C₂×C₄	—	2	8	no	—
375	C₂×C₄	—	2	1	no	—
376	C₂×C₄	—	2	4	no	—
377	C₂×C₄	—	2	2	no	—
378	C₂×C₄	—	4	4	no	—
379	C₂×C₄	—	4	4	no	—
380	C₂×C₄	—	4	4	no	—
381	C₂×C₄	—	4	8	no	—
382	C₂×C₄	—	4	4	no	—
383	C₂×C₄	—	4	4	no	—
384	C₂×C₄	—	4	4	no	—
385	C₂×C₄	—	4	4	no	—
386	C₂×C₄	—	4	4	no	—
387	C₂×C₄	—	4	4	no	—
388	C₂×C₄	—	4	4	no	—
389	C₂×C₄	—	8	32	no	—
390	C₂×C₄	—	8	16	no	—
391	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
392	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
393	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
394	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
395	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
396	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
397	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
398	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
399	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
400	C₈	—	2	4	no	—
401	C₈	—	4	4	no	—
402	C₈	—	4	1	no	—
403	C₈	D₄²	1	4	yes	—
404	C₂²	—	4	4	no	—
405	C₂²	—	4	8	no	—
406	C₂²	—	4	8	no	—
407	C₂²	—	4	4	no	—
408	C₂²	—	4	8	no	—
409	C₂²	—	4	8	no	—
410	C₂²	—	4	4	no	—
411	C₂²	—	4	8	no	—
412	C₂²	—	8	4	no	—
413	C₂²	—	8	4	no	—
414	C₂²	—	8	4	no	—
415	C₂²	—	8	4	no	—
416	C₂²	C₂×D₄²	1	2	yes	—
417	C₂²	#3496	1	1	yes	characteristic
418	C₂²	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
419	C₂²	C₂×#577	1	2	yes	—
420	C₂²	#3584	1	1	yes	characteristic
421	C₄	—	2	2	no	—
422	C₄	—	2	4	no	—
423	C₄	—	4	1	no	—
424	C₄	—	4	4	no	—
425	C₄	—	4	8	no	—
426	C₄	—	8	4	no	—
427	C₄	—	8	4	no	—
428	C₄	#3284	1	8	yes	complemented
429	C₄	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
430	C₄	#3496	1	2	yes	—
431	C₄	#3549	1	1	yes	characteristic
432	C₂	—	8	4	no	—
433	C₂	—	8	8	no	—
434	C₂	#59816	1	1	yes	characteristic
435	C₂	C₂×#3284	1	2	yes	—
436	C₂	#61085	1	2	yes	—
437	C₂	#62248	1	1	yes	characteristic
438	C₂	#62331	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#127 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3284	C₂	semidirect
2. #59815	C₂	semidirect
3. #31059	C₂	semidirect
4. #28255	C₂	semidirect
5. #28251	C₂	semidirect
6. #28223	C₂	semidirect
7. #24265	C₂	semidirect
8. #24241	C₂	semidirect
9. #24238	C₂	semidirect
10. C₄×#492	C₂	semidirect
11. C₈×#127	C₂	semidirect
86. #492	D₄	semidirect
339. C₄²	#135	semidirect
428. C₄	#3284	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3284	2
#59815	2
#31059	2
#28255	2
#28251	2
#28223	2
#24265	2
#24241	2
#24238	2
C₄×#492	2
C₈×#127	2