Subgroups — #7614022

Order 512.

3560 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 354 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄×D₈	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#59816	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#31056	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#28251	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28227	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#24267	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#24236	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	C₄×#493	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₈×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂³×D₈	C₂²	1	4	yes	complemented
11	C₂×D₄²	—	2	2	no	—
12	C₂×D₄²	C₂²	1	8	yes	complemented
13	D₄×D₈	—	2	32	no	—
14	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#466	C₂²	1	8	yes	complemented
16	C₂×#459	C₂²	1	8	yes	complemented
17	C₂×#447	C₂²	1	16	yes	complemented
18	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
22	#2679	—	2	4	no	—
23	#2537	—	2	2	no	—
24	#2537	C₂²	1	8	yes	complemented
25	#2408	—	2	8	no	—
26	#2408	C₂²	1	8	yes	complemented
27	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×#127	C₂²	1	4	yes	complemented
29	#2054	C₂²	1	8	yes	complemented
30	#2033	C₂²	1	16	yes	complemented
31	#1999	C₂²	1	8	yes	complemented
32	#1970	C₂²	1	4	yes	complemented
33	#1970	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#1957	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#1954	C₂²	1	2	yes	complemented
36	#1954	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#1845	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
39	#1808	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#1802	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#1786	C₂²	1	8	yes	complemented
42	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
43	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
44	C₂³×D₄	C₂³	1	8	yes	—
45	C₂²×D₈	—	2	32	no	—
46	C₂²×D₈	—	4	8	no	—
47	C₂²×D₈	C₂³	1	8	yes	—
48	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
51	D₄²	—	2	32	no	—
52	D₄²	—	4	16	no	—
53	D₄²	—	4	16	no	—
54	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×#121	—	2	8	no	—
57	C₂×#121	—	2	8	no	—
58	C₂×#121	C₂³	1	16	yes	—
59	C₂×#120	—	2	8	no	—
60	C₂×#120	—	2	16	no	—
61	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	—
64	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
66	#493	D₄	1	16	yes	complemented
67	#466	—	2	32	no	—
68	#459	—	2	32	no	—
69	#447	—	2	64	no	—
70	C₄×D₈	—	2	16	no	—
71	C₄×D₈	—	4	8	no	—
72	C₈×D₄	—	2	16	no	—
73	C₈×D₄	—	4	4	no	—
74	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
79	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
80	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
87	#394	—	2	8	no	—
88	#394	—	2	16	no	—
89	#392	—	2	8	no	—
90	#390	—	2	4	no	—
91	#390	—	2	4	no	—
92	#390	D₄	1	4	yes	—
93	#390	D₄	1	2	yes	—
94	#390	C₂³	1	8	yes	—
95	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
96	#384	C₂³	1	4	yes	—
97	#380	—	2	8	no	—
98	#380	C₂³	1	8	yes	—
99	#379	—	2	8	no	—
100	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	#340	C₂³	1	8	yes	—
102	C₂⁵	—	2	8	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
108	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
109	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
110	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
111	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
112	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
113	C₂²×D₄	—	8	16	no	—
114	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
115	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂²×D₄	C₂⁴	1	8	yes	—
117	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
118	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
119	C₂×D₈	—	2	32	no	—
120	C₂×D₈	—	2	8	no	—
121	C₂×D₈	—	2	8	no	—
122	C₂×D₈	—	4	8	no	—
123	C₂×D₈	—	4	4	no	—
124	C₂×D₈	—	4	4	no	—
125	C₂×D₈	—	4	64	no	—
126	C₂×D₈	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
127	C₂×D₈	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
128	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
130	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	#127	—	2	8	no	—
135	#127	D₈	1	8	yes	complemented
136	#127	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
137	#121	—	2	32	no	—
138	#121	—	4	16	no	—
139	#121	—	4	32	no	—
140	#121	—	4	32	no	—
141	#120	—	4	64	no	—
142	#120	—	4	32	no	—
143	C₄×D₄	—	2	8	no	—
144	C₄×D₄	—	2	16	no	—
145	C₄×D₄	—	2	8	no	—
146	C₄×D₄	—	2	16	no	—
147	C₄×D₄	—	4	2	no	—
148	C₄×D₄	—	4	2	no	—
149	C₄×D₄	—	4	16	no	—
150	C₄×D₄	—	8	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
168	#107	—	2	8	no	—
169	#107	—	4	4	no	—
170	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
171	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
172	#102	—	2	32	no	—
173	#102	—	2	16	no	—
174	#102	—	4	8	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
176	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
177	C₄×C₈	—	2	2	no	—
178	C₄×C₈	—	2	4	no	—
179	C₄×C₈	—	4	1	no	—
180	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
181	#95	—	2	8	no	—
182	C₂⁴	—	2	8	no	—
183	C₂⁴	—	4	32	no	—
184	C₂⁴	—	4	16	no	—
185	C₂⁴	—	8	8	no	—
186	C₂⁴	—	8	16	no	—
187	C₂⁴	—	8	8	no	—
188	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
189	C₂×D₄	—	2	8	no	—
190	C₂×D₄	—	2	16	no	—
191	C₂×D₄	—	2	16	no	—
192	C₂×D₄	—	2	8	no	—
193	C₂×D₄	—	2	8	no	—
194	C₂×D₄	—	2	8	no	—
195	C₂×D₄	—	2	8	no	—
196	C₂×D₄	—	2	8	no	—
197	C₂×D₄	—	2	8	no	—
198	C₂×D₄	—	4	2	no	—
199	C₂×D₄	—	4	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	32	no	—
201	C₂×D₄	—	4	32	no	—
202	C₂×D₄	—	4	32	no	—
203	C₂×D₄	—	4	32	no	—
204	C₂×D₄	—	4	8	no	—
205	C₂×D₄	—	4	8	no	—
206	C₂×D₄	—	8	4	no	—
207	C₂×D₄	—	8	4	no	—
208	C₂×D₄	—	8	8	no	—
209	C₂×D₄	—	8	32	no	—
210	C₂×D₄	—	8	16	no	—
211	C₂×D₄	—	8	16	no	—
212	C₂×D₄	—	8	128	no	—
213	C₂×D₄	C₂×D₈	1	16	yes	complemented
214	C₂×D₄	C₂×D₈	1	8	yes	complemented
215	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
216	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
230	D₈	—	2	32	no	—
231	D₈	—	4	16	no	—
232	D₈	—	4	32	no	—
233	C₂×C₈	—	2	2	no	—
234	C₂×C₈	—	2	2	no	—
235	C₂×C₈	—	2	8	no	—
236	C₂×C₈	—	2	1	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂×C₈	—	4	16	no	—
240	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
241	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
242	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
243	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
248	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
256	C₄²	—	2	4	no	—
257	C₄²	—	2	1	no	—
258	C₄²	—	2	1	no	—
259	C₄²	—	4	1	no	—
260	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	complemented
261	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
262	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
263	C₂³	—	2	4	no	—
264	C₂³	—	2	8	no	—
265	C₂³	—	2	4	no	—
266	C₂³	—	2	8	no	—
267	C₂³	—	2	16	no	—
268	C₂³	—	4	8	no	—
269	C₂³	—	4	8	no	—
270	C₂³	—	4	8	no	—
271	C₂³	—	4	8	no	—
272	C₂³	—	4	8	no	—
273	C₂³	—	4	8	no	—
274	C₂³	—	8	64	no	—
275	C₂³	—	8	32	no	—
276	C₂³	—	16	16	no	—
277	C₂³	—	16	32	no	—
278	C₂³	—	16	16	no	—
279	C₂³	C₂²×D₈	1	8	yes	—
280	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
281	D₄	—	2	16	no	—
282	D₄	—	2	16	no	—
283	D₄	—	2	32	no	—
284	D₄	—	4	8	no	—
285	D₄	—	4	8	no	—
286	D₄	—	4	32	no	—
287	D₄	—	4	8	no	—
288	D₄	—	8	16	no	—
289	D₄	—	8	32	no	—
290	D₄	—	8	64	no	—
291	C₂×C₄	—	2	1	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	8	no	—
303	C₂×C₄	—	4	8	no	—
304	C₂×C₄	—	4	8	no	—
305	C₂×C₄	—	8	32	no	—
306	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
315	C₈	—	2	4	no	—
316	C₈	—	4	4	no	—
317	C₈	—	4	1	no	—
318	C₈	D₄²	1	4	yes	complemented
319	C₂²	—	2	8	no	—
320	C₂²	—	2	16	no	—
321	C₂²	—	4	4	no	—
322	C₂²	—	4	8	no	—
323	C₂²	—	4	4	no	—
324	C₂²	—	4	16	no	—
325	C₂²	—	4	16	no	—
326	C₂²	—	4	16	no	—
327	C₂²	—	8	8	no	—
328	C₂²	—	8	8	no	—
329	C₂²	—	8	8	no	—
330	C₂²	—	8	8	no	—
331	C₂²	—	16	64	no	—
332	C₂²	C₂×D₄²	1	2	yes	—
333	C₂²	#3496	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂×#576	1	2	yes	—
336	C₂²	#3584	1	1	yes	characteristic
337	C₄	—	2	2	no	—
338	C₄	—	2	4	no	—
339	C₄	—	4	1	no	—
340	C₄	—	4	4	no	—
341	C₄	—	8	8	no	—
342	C₄	D₄×D₈	1	8	yes	complemented
343	C₄	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
344	C₄	#3496	1	2	yes	—
345	C₄	#3549	1	1	yes	characteristic
346	C₂	—	4	8	no	—
347	C₂	—	8	16	no	—
348	C₂	#59816	1	1	yes	characteristic
349	C₂	C₂×D₄×D₈	1	2	yes	—
350	C₂	#61084	1	2	yes	—
351	C₂	#62245	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#62328	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#127 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×D₄×D₈	C₂	semidirect
2. #59816	C₂	semidirect
3. #31056	C₂	semidirect
4. #28251	C₂	semidirect
5. #28227	C₂	semidirect
6. #24267	C₂	semidirect
7. #24236	C₂	semidirect
8. C₄×#493	C₂	semidirect
9. C₈×#127	C₂	semidirect
10. C₂³×D₈	C₂²	semidirect
12. C₂×D₄²	C₂²	semidirect
15. C₂×#466	C₂²	semidirect
16. C₂×#459	C₂²	semidirect
17. C₂×#447	C₂²	semidirect
18. C₂×C₄×D₈	C₂²	semidirect
19. C₂×C₄×D₈	C₂²	semidirect
20. C₂×C₈×D₄	C₂²	semidirect
21. C₂×C₈×D₄	C₂²	semidirect
24. #2537	C₂²	semidirect
26. #2408	C₂²	semidirect
28. C₄×#127	C₂²	semidirect
29. #2054	C₂²	semidirect
30. #2033	C₂²	semidirect
31. #1999	C₂²	semidirect
32. #1970	C₂²	semidirect
33. #1970	C₂²	semidirect
34. #1957	C₂²	semidirect
35. #1954	C₂²	semidirect
36. #1954	C₂²	semidirect
37. #1845	C₂²	semidirect
38. #1842	C₂²	semidirect
39. #1808	C₂²	semidirect
40. #1802	C₂²	semidirect
41. #1786	C₂²	semidirect
42. C₄²×C₈	C₂²	semidirect
66. #493	D₄	semidirect
126. C₂×D₈	C₂×D₄	semidirect
127. C₂×D₈	C₂×D₄	semidirect
135. #127	D₈	semidirect
136. #127	C₂×D₄	semidirect
180. C₄×C₈	C₂×D₄	semidirect
213. C₂×D₄	C₂×D₈	semidirect
214. C₂×D₄	C₂×D₈	semidirect
260. C₄²	C₂×D₈	semidirect
318. C₈	D₄²	semidirect
342. C₄	D₄×D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄×D₈	2
#59816	2
#31056	2
#28251	2
#28227	2
#24267	2
#24236	2
C₄×#493	2
C₈×#127	2