Subgroups — #7614086

Order 512.

2468 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 379 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#61105	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#61100	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#31077	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#28250	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28249	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#24288	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#24287	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#21708	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#21707	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3584	C₂²	1	8	yes	complemented
11	#3584	C₂²	1	4	yes	complemented
12	#3293	—	2	4	no	—
13	#3292	—	2	4	no	—
14	#3291	—	2	8	no	—
15	#3290	—	2	8	no	—
16	#3290	—	2	8	no	—
17	#3289	—	2	8	no	—
18	#3288	—	2	8	no	—
19	#3150	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#3147	C₂²	1	2	yes	—
21	#3067	C₂²	1	8	yes	complemented
22	#3067	C₂²	1	8	yes	complemented
23	#3067	C₂²	1	8	yes	complemented
24	#3018	C₂²	1	8	yes	complemented
25	#3018	C₂²	1	16	yes	complemented
26	C₂×#444	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂×#443	C₂²	1	4	yes	complemented
28	C₂×#443	C₂²	1	4	yes	complemented
29	#2932	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#2931	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#2050	C₂²	1	16	yes	complemented
32	#2050	C₂²	1	8	yes	complemented
33	#2017	C₂²	1	8	yes	complemented
34	#1975	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#1975	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#1974	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#1963	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#1963	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#1849	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
40	#1848	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#1813	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#1813	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#1791	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#1726	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
45	#585	C₂³	1	8	yes	—
46	#578	—	2	8	no	—
47	#578	—	2	8	no	—
48	#578	—	2	8	no	—
49	#577	—	2	16	no	—
50	#577	—	2	16	no	—
51	#577	—	2	16	no	—
52	#576	—	2	8	no	—
53	#576	—	2	8	no	—
54	#576	—	2	8	no	—
55	#575	—	4	8	no	—
56	#575	—	4	4	no	—
57	#575	C₂³	1	16	yes	—
58	#575	C₂³	1	8	yes	—
59	C₂×#135	—	4	4	no	—
60	C₂×#135	—	4	8	no	—
61	C₂×#135	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂×#135	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×#135	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×#131	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×#131	C₂³	1	8	yes	—
66	#532	C₂³	1	4	yes	—
67	#532	C₂³	1	2	yes	—
68	#497	D₄	1	4	yes	complemented
69	#496	D₄	1	4	yes	complemented
70	#495	D₄	1	4	yes	complemented
71	#495	D₄	1	4	yes	complemented
72	#494	D₄	1	2	yes	complemented
73	#493	D₄	1	2	yes	complemented
74	#492	D₄	1	4	yes	complemented
75	#473	—	2	8	no	—
76	#473	—	2	8	no	—
77	#473	—	2	8	no	—
78	#472	—	2	8	no	—
79	#472	—	2	8	no	—
80	#472	—	2	8	no	—
81	#471	—	2	16	no	—
82	#471	—	2	16	no	—
83	#471	—	2	16	no	—
84	#456	—	2	8	no	—
85	#456	—	2	16	no	—
86	#455	—	2	8	no	—
87	#455	—	2	16	no	—
88	#454	—	2	8	no	—
89	#454	—	2	16	no	—
90	#453	—	2	8	no	—
91	#453	—	2	16	no	—
92	#444	—	2	16	no	—
93	#443	—	2	4	no	—
94	#443	—	2	4	no	—
95	#443	—	2	4	no	—
96	#443	—	2	4	no	—
97	#443	—	2	4	no	—
98	#443	—	2	4	no	—
99	#443	—	2	4	no	—
100	#443	—	2	4	no	—
101	#436	—	4	2	no	—
102	#435	—	4	8	no	—
103	C₈×D₄	—	4	2	no	—
104	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
107	#423	C₂³	1	4	yes	—
108	#423	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×#104	C₂³	1	8	yes	—
110	C₂×#104	C₂³	1	8	yes	—
111	C₂×#104	C₂³	1	8	yes	—
112	#413	C₂³	1	8	yes	—
113	#413	C₂³	1	16	yes	—
114	#408	C₂³	1	4	yes	—
115	#408	C₂³	1	8	yes	—
116	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
120	#376	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	#338	C₂³	1	8	yes	—
122	2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
123	2₋¹⁺⁴	—	2	16	no	—
124	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
125	H(5,𝔽₂)	—	2	16	no	—
126	H(5,𝔽₂)	—	4	8	no	—
127	C₂×#41	—	4	8	no	—
128	C₂×#41	—	4	16	no	—
129	C₂×#41	C₂⁴	1	8	yes	—
130	C₂×#41	C₂⁴	1	4	yes	—
131	#137	—	2	16	no	—
132	#137	—	2	16	no	—
133	#137	—	2	16	no	—
134	#137	—	4	16	no	—
135	#137	—	4	16	no	—
136	#137	—	4	16	no	—
137	AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
138	AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
139	AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
140	AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
141	AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
142	AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
143	#135	—	2	4	no	—
144	#135	—	2	4	no	—
145	#135	—	2	8	no	—
146	#135	—	2	4	no	—
147	#135	—	2	4	no	—
148	#135	—	2	4	no	—
149	#135	—	2	4	no	—
150	#135	—	2	8	no	—
151	#135	—	2	4	no	—
152	#135	—	2	4	no	—
153	#135	—	4	8	no	—
154	#135	—	4	16	no	—
155	#135	—	4	8	no	—
156	#135	—	4	8	no	—
157	#135	—	4	8	no	—
158	#135	—	4	8	no	—
159	#135	—	4	16	no	—
160	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
161	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
162	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
166	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
167	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
168	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
169	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
170	C₂×D₈	—	4	4	no	—
171	C₂×D₈	—	4	8	no	—
172	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	#131	—	2	8	no	—
176	#131	—	2	8	no	—
177	#131	—	2	8	no	—
178	#131	—	2	8	no	—
179	#131	—	2	8	no	—
180	#131	—	2	8	no	—
181	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
182	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
183	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
184	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
185	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
187	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
190	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
191	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
193	#127	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	#124	C₂×D₄	1	8	yes	—
195	#124	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	#121	—	4	2	no	—
197	#121	—	4	4	no	—
198	C₄×D₄	—	4	2	no	—
199	C₄×D₄	—	4	4	no	—
200	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
202	#108	—	2	4	no	—
203	#108	—	2	4	no	—
204	#108	—	2	4	no	—
205	#108	—	2	4	no	—
206	#108	—	2	8	no	—
207	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
208	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
209	#104	—	2	8	no	—
210	#104	—	2	8	no	—
211	#104	—	2	8	no	—
212	#104	—	2	8	no	—
213	#104	—	2	16	no	—
214	#101	—	2	8	no	—
215	#101	—	2	16	no	—
216	#100	—	2	8	no	—
217	#100	—	2	16	no	—
218	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
219	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
220	#97	—	2	4	no	—
221	#97	C₂×D₄	1	4	yes	—
222	C₄×C₈	—	2	1	no	—
223	C₄×C₈	—	2	1	no	—
224	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
226	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
227	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
228	#95	—	4	1	no	—
229	#41	—	2	8	no	—
230	#41	—	2	8	no	—
231	#41	—	2	8	no	—
232	#41	—	2	8	no	—
233	#41	—	2	8	no	—
234	#41	—	2	8	no	—
235	#41	—	4	16	no	—
236	#41	—	4	16	no	—
237	#41	—	4	16	no	—
238	#41	—	8	8	no	—
239	#41	—	8	16	no	—
240	#41	—	8	8	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
242	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
243	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
244	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
245	C₂×D₄	—	2	4	no	—
246	C₂×D₄	—	2	8	no	—
247	C₂×D₄	—	4	2	no	—
248	C₂×D₄	—	4	4	no	—
249	C₂×D₄	—	4	8	no	—
250	C₂×D₄	—	4	16	no	—
251	C₂×D₄	—	8	8	no	—
252	C₂×D₄	—	8	16	no	—
253	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
254	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
260	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
261	Q₁₆	—	2	4	no	—
262	Q₁₆	—	2	4	no	—
263	Q₁₆	—	2	8	no	—
264	Q₁₆	—	2	4	no	—
265	Q₁₆	—	2	4	no	—
266	Q₁₆	—	4	8	no	—
267	Q₁₆	—	4	16	no	—
268	SD₁₆	—	2	8	no	—
269	SD₁₆	—	2	8	no	—
270	SD₁₆	—	2	16	no	—
271	SD₁₆	—	2	8	no	—
272	SD₁₆	—	2	8	no	—
273	SD₁₆	—	4	16	no	—
274	SD₁₆	—	4	16	no	—
275	SD₁₆	—	4	16	no	—
276	D₈	—	2	4	no	—
277	D₈	—	2	4	no	—
278	D₈	—	2	8	no	—
279	D₈	—	2	4	no	—
280	D₈	—	2	4	no	—
281	D₈	—	4	8	no	—
282	D₈	—	4	16	no	—
283	M₁₆	—	2	8	no	—
284	M₁₆	—	2	8	no	—
285	M₁₆	—	2	8	no	—
286	M₁₆	—	4	8	no	—
287	M₁₆	—	4	8	no	—
288	M₁₆	—	4	8	no	—
289	C₂×C₈	—	2	1	no	—
290	C₂×C₈	—	2	2	no	—
291	C₂×C₈	—	2	4	no	—
292	C₂×C₈	—	2	8	no	—
293	C₂×C₈	—	4	4	no	—
294	C₂×C₈	—	4	8	no	—
295	C₂×C₈	—	4	4	no	—
296	C₂×C₈	—	4	8	no	—
297	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
298	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
299	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
300	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
301	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
302	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
305	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
309	C₄²	—	2	1	no	—
310	C₄²	—	2	2	no	—
311	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
312	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
313	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
314	C₂³	—	2	4	no	—
315	C₂³	—	2	8	no	—
316	C₂³	—	8	8	no	—
317	C₂³	#585	1	1	yes	characteristic
318	Q₈	—	2	8	no	—
319	Q₈	—	2	8	no	—
320	Q₈	—	2	8	no	—
321	Q₈	—	8	8	no	—
322	D₄	—	2	8	no	—
323	D₄	—	2	8	no	—
324	D₄	—	2	8	no	—
325	D₄	—	4	8	no	—
326	D₄	—	4	8	no	—
327	D₄	—	4	8	no	—
328	D₄	—	8	8	no	—
329	D₄	—	8	16	no	—
330	D₄	—	8	4	no	—
331	D₄	—	16	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	8	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	8	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	8	no	—
341	C₂×C₄	—	8	2	no	—
342	C₂×C₄	—	8	1	no	—
343	C₂×C₄	—	8	16	no	—
344	C₂×C₄	—	8	8	no	—
345	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
349	C₈	—	4	4	no	—
350	C₈	—	4	8	no	—
351	C₈	—	4	1	no	—
352	C₈	D₄²	1	1	yes	characteristic
353	C₈	D₄²	1	1	yes	characteristic
354	C₈	D₄²	1	4	yes	—
355	C₈	D₄²	1	4	yes	—
356	C₈	D₄²	1	2	yes	—
357	C₂²	—	4	1	no	—
358	C₂²	—	4	4	no	—
359	C₂²	—	4	8	no	—
360	C₂²	—	8	4	no	—
361	C₂²	—	8	8	no	—
362	C₂²	—	32	8	no	—
363	C₂²	#3496	1	2	yes	—
364	C₂²	#3496	1	1	yes	characteristic
365	C₄	—	4	2	no	—
366	C₄	—	4	2	no	—
367	C₄	—	4	2	no	—
368	C₄	—	4	4	no	—
369	C₄	—	4	8	no	—
370	C₄	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
371	C₄	C₂×D₄²	1	2	yes	—
372	C₄	#3549	1	1	yes	characteristic
373	C₂	—	2	2	no	—
374	C₂	—	2	1	no	—
375	C₂	—	8	4	no	—
376	C₂	—	8	8	no	—
377	C₂	#59816	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	#3549
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂	#59816
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #61105	C₂	semidirect
2. #61100	C₂	semidirect
3. #31077	C₂	semidirect
4. #28250	C₂	semidirect
5. #28249	C₂	semidirect
6. #24288	C₂	semidirect
7. #24287	C₂	semidirect
8. #21708	C₂	semidirect
9. #21707	C₂	semidirect
10. #3584	C₂²	semidirect
11. #3584	C₂²	semidirect
21. #3067	C₂²	semidirect
22. #3067	C₂²	semidirect
23. #3067	C₂²	semidirect
24. #3018	C₂²	semidirect
25. #3018	C₂²	semidirect
26. C₂×#444	C₂²	semidirect
27. C₂×#443	C₂²	semidirect
28. C₂×#443	C₂²	semidirect
29. #2932	C₂²	semidirect
30. #2931	C₂²	semidirect
31. #2050	C₂²	semidirect
32. #2050	C₂²	semidirect
33. #2017	C₂²	semidirect
34. #1975	C₂²	semidirect
35. #1975	C₂²	semidirect
36. #1974	C₂²	semidirect
37. #1963	C₂²	semidirect
38. #1963	C₂²	semidirect
39. #1849	C₂²	semidirect
40. #1848	C₂²	semidirect
41. #1813	C₂²	semidirect
42. #1813	C₂²	semidirect
43. #1791	C₂²	semidirect
44. #1726	C₂²	semidirect
68. #497	D₄	semidirect
69. #496	D₄	semidirect
70. #495	D₄	semidirect
71. #495	D₄	semidirect
72. #494	D₄	semidirect
73. #493	D₄	semidirect
74. #492	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#61105	2
#61100	2
#31077	2
#28250	2
#28249	2
#24288	2
#24287	2
#21708	2
#21707	2