Subgroups — #7614092

Order 512.

2640 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 363 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3292	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#61084	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#31070	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#28247	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28240	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#24291	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#24222	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#21705	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₄×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#576	C₂²	1	8	yes	complemented
11	#3496	C₂²	1	4	yes	complemented
12	#3292	—	2	16	no	—
13	#3283	—	2	4	no	—
14	#3280	—	2	8	no	—
15	D₄×D₈	—	2	4	no	—
16	#3273	—	2	8	no	—
17	#3272	—	2	8	no	—
18	#3147	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#472	C₂²	1	8	yes	complemented
21	#3061	C₂²	1	8	yes	complemented
22	#3036	C₂²	1	8	yes	complemented
23	C₂×#453	C₂²	1	8	yes	complemented
24	#3012	C₂²	1	16	yes	complemented
25	C₂×#443	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂×#443	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#2931	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	complemented
30	#2051	C₂²	1	16	yes	complemented
31	#2039	C₂²	1	8	yes	complemented
32	#2006	C₂²	1	8	yes	complemented
33	#1974	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#1974	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#1970	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#1962	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#1957	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#1848	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
40	#1816	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#1800	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#1792	C₂²	1	8	yes	complemented
43	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
44	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂³	1	8	yes	—
45	#576	—	2	32	no	—
46	#576	—	4	16	no	—
47	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
48	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂³	1	16	yes	—
49	C₂×#135	—	2	8	no	—
50	C₂×#135	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂×#135	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
53	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂×#131	C₂³	1	8	yes	—
55	#547	—	2	8	no	—
56	#546	—	2	16	no	—
57	D₄²	—	2	8	no	—
58	#537	C₂³	1	8	yes	—
59	#534	—	4	4	no	—
60	#532	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#121	—	4	4	no	—
63	C₂×C₄×D₄	—	4	2	no	—
64	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
65	#495	D₄	1	4	yes	complemented
66	#495	D₄	1	4	yes	complemented
67	#494	D₄	1	2	yes	complemented
68	#493	D₄	1	2	yes	complemented
69	#493	D₄	1	8	yes	complemented
70	#492	D₄	1	4	yes	complemented
71	#472	—	2	32	no	—
72	#468	—	2	16	no	—
73	#467	—	2	8	no	—
74	#466	—	2	8	no	—
75	#463	—	2	16	no	—
76	#461	—	2	8	no	—
77	#459	—	2	8	no	—
78	#453	—	2	32	no	—
79	#452	—	2	16	no	—
80	#450	—	2	16	no	—
81	#449	—	2	16	no	—
82	#447	—	2	16	no	—
83	#443	—	2	16	no	—
84	#443	—	4	8	no	—
85	C₄×D₈	—	2	4	no	—
86	C₄×D₈	—	2	4	no	—
87	C₄×D₈	—	2	4	no	—
88	C₄×D₈	—	2	4	no	—
89	#436	—	2	4	no	—
90	#436	—	2	4	no	—
91	C₈×D₄	—	2	4	no	—
92	C₈×D₄	—	2	4	no	—
93	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
96	#423	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×#104	C₂³	1	8	yes	—
98	C₂×#104	C₂³	1	8	yes	—
99	#417	C₂³	1	16	yes	—
100	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
101	C₂×#100	C₂³	1	8	yes	—
102	#408	C₂³	1	8	yes	—
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	#390	—	4	2	no	—
108	#390	C₂³	1	4	yes	—
109	#384	C₂³	1	2	yes	—
110	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	#343	C₂³	1	8	yes	—
112	H(5,𝔽₂)	—	2	16	no	—
113	H(5,𝔽₂)	—	4	16	no	—
114	H(5,𝔽₂)	—	4	8	no	—
115	C₂×#41	—	2	16	no	—
116	C₂×#41	C₂⁴	1	8	yes	—
117	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
118	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
119	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
120	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
121	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
122	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
123	AGL(1,ℤ/8)	—	2	32	no	—
124	AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
125	AGL(1,ℤ/8)	—	4	64	no	—
126	#135	—	2	8	no	—
127	#135	—	2	8	no	—
128	#135	—	4	4	no	—
129	#135	—	4	4	no	—
130	#135	—	4	32	no	—
131	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
134	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
135	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
136	C₂×D₈	—	2	16	no	—
137	C₂×D₈	—	2	4	no	—
138	C₂×D₈	—	2	4	no	—
139	C₂×D₈	—	2	8	no	—
140	C₂×D₈	—	4	32	no	—
141	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	C₂×D₈	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
144	#131	—	2	16	no	—
145	#131	—	2	16	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
147	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
148	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
149	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
151	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	#127	—	4	2	no	—
153	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	#127	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
155	#124	C₂×D₄	1	8	yes	—
156	#123	—	4	16	no	—
157	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
158	#121	—	2	4	no	—
159	#121	—	2	4	no	—
160	#121	—	2	16	no	—
161	#121	—	4	8	no	—
162	#121	—	4	8	no	—
163	#121	—	4	8	no	—
164	#120	—	4	16	no	—
165	C₄×D₄	—	2	4	no	—
166	C₄×D₄	—	2	4	no	—
167	C₄×D₄	—	2	8	no	—
168	C₄×D₄	—	2	8	no	—
169	C₄×D₄	—	8	8	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
181	#108	—	2	8	no	—
182	#108	—	4	4	no	—
183	#107	—	2	4	no	—
184	#107	—	2	4	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
187	#104	—	2	16	no	—
188	#104	—	4	8	no	—
189	#103	—	2	16	no	—
190	#102	—	2	16	no	—
191	#102	—	2	8	no	—
192	#102	—	2	8	no	—
193	#100	—	2	16	no	—
194	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
195	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
196	C₄×C₈	—	2	4	no	—
197	C₄×C₈	—	4	1	no	—
198	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
203	C₂⁴	—	2	4	no	—
204	C₂⁴	—	4	8	no	—
205	#41	—	2	8	no	—
206	#41	—	2	8	no	—
207	#41	—	2	8	no	—
208	#41	—	2	8	no	—
209	#41	—	4	32	no	—
210	#41	—	8	16	no	—
211	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
212	C₂×D₄	—	2	8	no	—
213	C₂×D₄	—	2	4	no	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×D₄	—	2	8	no	—
216	C₂×D₄	—	2	8	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	8	no	—
219	C₂×D₄	—	4	16	no	—
220	C₂×D₄	—	4	32	no	—
221	C₂×D₄	—	4	8	no	—
222	C₂×D₄	—	8	4	no	—
223	C₂×D₄	—	8	4	no	—
224	C₂×D₄	—	8	16	no	—
225	C₂×D₄	—	8	16	no	—
226	C₂×D₄	—	8	16	no	—
227	C₂×D₄	—	16	8	no	—
228	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
229	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
230	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
238	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
241	Q₁₆	—	2	8	no	—
242	Q₁₆	—	4	4	no	—
243	SD₁₆	—	2	16	no	—
244	SD₁₆	—	4	8	no	—
245	SD₁₆	—	4	32	no	—
246	D₈	—	2	16	no	—
247	D₈	—	2	16	no	—
248	D₈	—	2	8	no	—
249	D₈	—	4	4	no	—
250	D₈	—	4	32	no	—
251	M₁₆	—	2	8	no	—
252	M₁₆	—	2	8	no	—
253	M₁₆	—	4	16	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	8	no	—
257	C₂×C₈	—	4	16	no	—
258	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
259	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
260	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
263	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
264	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
268	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
274	C₄²	—	2	4	no	—
275	C₄²	—	2	1	no	—
276	C₄²	—	2	2	no	—
277	C₄²	—	4	2	no	—
278	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
279	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
280	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
281	C₂³	—	2	8	no	—
282	C₂³	—	2	8	no	—
283	C₂³	—	4	4	no	—
284	C₂³	—	4	4	no	—
285	C₂³	—	8	4	no	—
286	C₂³	—	8	4	no	—
287	C₂³	—	8	16	no	—
288	C₂³	—	16	8	no	—
289	C₂³	—	16	8	no	—
290	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
291	Q₈	—	2	8	no	—
292	Q₈	—	2	8	no	—
293	D₄	—	2	16	no	—
294	D₄	—	2	8	no	—
295	D₄	—	2	8	no	—
296	D₄	—	4	8	no	—
297	D₄	—	4	8	no	—
298	D₄	—	4	8	no	—
299	D₄	—	4	8	no	—
300	D₄	—	8	4	no	—
301	D₄	—	8	16	no	—
302	D₄	—	8	32	no	—
303	D₄	—	16	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	8	no	—
310	C₂×C₄	—	4	1	no	—
311	C₂×C₄	—	4	1	no	—
312	C₂×C₄	—	4	1	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	—	4	8	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	8	16	no	—
317	C₂×C₄	—	8	8	no	—
318	C₂×C₄	—	8	4	no	—
319	C₂×C₄	—	16	4	no	—
320	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
327	C₈	—	2	2	no	—
328	C₈	—	2	2	no	—
329	C₈	—	4	8	no	—
330	C₈	D₄²	1	4	yes	—
331	C₈	D₄²	1	4	yes	—
332	C₂²	—	2	1	no	—
333	C₂²	—	2	1	no	—
334	C₂²	—	4	8	no	—
335	C₂²	—	4	8	no	—
336	C₂²	—	4	8	no	—
337	C₂²	—	4	8	no	—
338	C₂²	—	8	8	no	—
339	C₂²	—	8	4	no	—
340	C₂²	—	8	4	no	—
341	C₂²	—	16	4	no	—
342	C₂²	—	32	16	no	—
343	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	#3496	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#3549	1	1	yes	characteristic
346	C₄	—	2	4	no	—
347	C₄	—	2	1	no	—
348	C₄	—	2	2	no	—
349	C₄	—	4	2	no	—
350	C₄	—	4	8	no	—
351	C₄	—	8	4	no	—
352	C₄	#3292	1	2	yes	complemented
353	C₄	C₂×D₄²	1	2	yes	—
354	C₄	#3496	1	2	yes	—
355	C₂	—	2	1	no	—
356	C₂	—	2	1	no	—
357	C₂	—	8	8	no	—
358	C₂	—	8	8	no	—
359	C₂	#59816	1	1	yes	characteristic
360	C₂	C₂×#3292	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#61105	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3292	C₂	semidirect
2. #61084	C₂	semidirect
3. #31070	C₂	semidirect
4. #28247	C₂	semidirect
5. #28240	C₂	semidirect
6. #24291	C₂	semidirect
7. #24222	C₂	semidirect
8. #21705	C₂	semidirect
9. C₄×#493	C₂	semidirect
10. C₂×#576	C₂²	semidirect
11. #3496	C₂²	semidirect
20. C₂×#472	C₂²	semidirect
21. #3061	C₂²	semidirect
22. #3036	C₂²	semidirect
23. C₂×#453	C₂²	semidirect
24. #3012	C₂²	semidirect
25. C₂×#443	C₂²	semidirect
26. C₂×#443	C₂²	semidirect
27. C₂×C₄×D₈	C₂²	semidirect
28. #2931	C₂²	semidirect
29. C₄×#127	C₂²	semidirect
30. #2051	C₂²	semidirect
31. #2039	C₂²	semidirect
32. #2006	C₂²	semidirect
33. #1974	C₂²	semidirect
34. #1974	C₂²	semidirect
35. #1970	C₂²	semidirect
36. #1962	C₂²	semidirect
37. #1957	C₂²	semidirect
38. #1848	C₂²	semidirect
39. #1845	C₂²	semidirect
40. #1816	C₂²	semidirect
41. #1800	C₂²	semidirect
42. #1792	C₂²	semidirect
43. C₄²×C₈	C₂²	semidirect
65. #495	D₄	semidirect
66. #495	D₄	semidirect
67. #494	D₄	semidirect
68. #493	D₄	semidirect
69. #493	D₄	semidirect
70. #492	D₄	semidirect
143. C₂×D₈	C₂×D₄	semidirect
154. #127	C₂×D₄	semidirect
202. C₄×C₈	C₂×D₄	semidirect
352. C₄	#3292	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3292	2
#61084	2
#31070	2
#28247	2
#28240	2
#24291	2
#24222	2
#21705	2
C₄×#493	2