Subgroups — #7614107

Order 512.

2630 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 318 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3292	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#61079	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#31070	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#28246	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28243	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#24294	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#24222	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#21710	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#21690	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#576	C₂²	1	8	yes	complemented
11	#3496	C₂²	1	4	yes	complemented
12	#3292	—	2	16	no	—
13	#3267	—	2	16	no	—
14	#3264	—	2	16	no	—
15	#3150	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#472	C₂²	1	8	yes	complemented
18	#3060	C₂²	1	8	yes	complemented
19	#3036	C₂²	1	8	yes	complemented
20	C₂×#453	C₂²	1	8	yes	complemented
21	#3012	C₂²	1	16	yes	complemented
22	C₂×#444	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂×#443	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂×#442	C₂²	1	4	yes	complemented
25	#2932	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#2051	C₂²	1	16	yes	complemented
28	#2039	C₂²	1	8	yes	complemented
29	#2006	C₂²	1	8	yes	complemented
30	#1975	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#1974	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#1972	C₂²	1	4	yes	complemented
33	#1962	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#1957	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#1849	C₂²	1	2	yes	complemented
36	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
37	#1815	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#1800	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#1792	C₂²	1	8	yes	complemented
40	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
41	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂³	1	8	yes	—
42	#576	—	2	32	no	—
43	#576	—	4	16	no	—
44	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
45	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂³	1	16	yes	—
46	C₂×#135	—	2	8	no	—
47	C₂×#135	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂×#135	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
50	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂×#131	C₂³	1	8	yes	—
52	#547	—	2	8	no	—
53	#546	—	2	16	no	—
54	D₄²	—	2	8	no	—
55	#537	C₂³	1	8	yes	—
56	#534	—	4	4	no	—
57	#532	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#121	—	4	4	no	—
60	C₂×C₄×D₄	—	4	2	no	—
61	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
62	#497	D₄	1	8	yes	complemented
63	#496	D₄	1	8	yes	complemented
64	#493	D₄	1	8	yes	complemented
65	#472	—	2	32	no	—
66	#470	—	2	8	no	—
67	#469	—	2	8	no	—
68	#465	—	2	16	no	—
69	#463	—	2	16	no	—
70	#461	—	2	8	no	—
71	#459	—	2	8	no	—
72	#453	—	2	32	no	—
73	#452	—	2	16	no	—
74	#450	—	2	16	no	—
75	#449	—	2	16	no	—
76	#447	—	2	16	no	—
77	#444	—	4	8	no	—
78	#443	—	2	16	no	—
79	#442	—	2	16	no	—
80	#435	—	2	16	no	—
81	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
84	#423	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×#104	C₂³	1	8	yes	—
86	C₂×#104	C₂³	1	8	yes	—
87	#417	C₂³	1	16	yes	—
88	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂×#100	C₂³	1	8	yes	—
90	#408	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	#390	—	4	2	no	—
96	#390	C₂³	1	4	yes	—
97	#384	C₂³	1	2	yes	—
98	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	#343	C₂³	1	8	yes	—
100	H(5,𝔽₂)	—	2	16	no	—
101	H(5,𝔽₂)	—	4	16	no	—
102	H(5,𝔽₂)	—	4	8	no	—
103	C₂×#41	—	2	16	no	—
104	C₂×#41	C₂⁴	1	8	yes	—
105	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
106	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
108	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
109	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
110	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
111	AGL(1,ℤ/8)	—	2	32	no	—
112	AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
113	AGL(1,ℤ/8)	—	4	64	no	—
114	#135	—	2	8	no	—
115	#135	—	2	8	no	—
116	#135	—	4	4	no	—
117	#135	—	4	4	no	—
118	#135	—	4	32	no	—
119	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
120	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
121	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
122	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
123	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
124	C₂×D₈	—	2	16	no	—
125	C₂×D₈	—	2	8	no	—
126	C₂×D₈	—	2	8	no	—
127	C₂×D₈	—	4	32	no	—
128	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
129	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	C₂×D₈	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
131	#131	—	2	16	no	—
132	#131	—	2	16	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
134	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
135	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
136	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
138	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	#127	—	4	2	no	—
140	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	#127	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
142	#124	C₂×D₄	1	8	yes	—
143	#123	—	4	16	no	—
144	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
145	#121	—	2	8	no	—
146	#121	—	2	16	no	—
147	#121	—	4	8	no	—
148	#121	—	4	8	no	—
149	#121	—	4	8	no	—
150	#120	—	4	16	no	—
151	C₄×D₄	—	2	8	no	—
152	C₄×D₄	—	2	8	no	—
153	C₄×D₄	—	2	8	no	—
154	C₄×D₄	—	8	8	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
165	#108	—	2	8	no	—
166	#108	—	4	4	no	—
167	#106	—	2	8	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
169	#104	—	2	16	no	—
170	#104	—	4	8	no	—
171	#103	—	2	16	no	—
172	#102	—	2	16	no	—
173	#102	—	2	16	no	—
174	#100	—	2	16	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
176	#97	—	2	4	no	—
177	#97	C₂×D₄	1	8	yes	—
178	C₄×C₈	—	4	1	no	—
179	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
180	C₂⁴	—	2	4	no	—
181	C₂⁴	—	4	8	no	—
182	#41	—	2	8	no	—
183	#41	—	2	8	no	—
184	#41	—	2	8	no	—
185	#41	—	2	8	no	—
186	#41	—	4	32	no	—
187	#41	—	8	16	no	—
188	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
189	C₂×D₄	—	2	8	no	—
190	C₂×D₄	—	2	8	no	—
191	C₂×D₄	—	2	8	no	—
192	C₂×D₄	—	2	8	no	—
193	C₂×D₄	—	2	4	no	—
194	C₂×D₄	—	4	8	no	—
195	C₂×D₄	—	4	16	no	—
196	C₂×D₄	—	4	32	no	—
197	C₂×D₄	—	4	8	no	—
198	C₂×D₄	—	8	4	no	—
199	C₂×D₄	—	8	4	no	—
200	C₂×D₄	—	8	16	no	—
201	C₂×D₄	—	8	16	no	—
202	C₂×D₄	—	8	16	no	—
203	C₂×D₄	—	16	8	no	—
204	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
205	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
206	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
214	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
216	Q₁₆	—	2	8	no	—
217	Q₁₆	—	4	4	no	—
218	SD₁₆	—	2	16	no	—
219	SD₁₆	—	4	8	no	—
220	SD₁₆	—	4	32	no	—
221	D₈	—	2	32	no	—
222	D₈	—	2	8	no	—
223	D₈	—	4	4	no	—
224	D₈	—	4	32	no	—
225	M₁₆	—	2	8	no	—
226	M₁₆	—	2	8	no	—
227	M₁₆	—	4	16	no	—
228	C₂×C₈	—	2	2	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	2	8	no	—
231	C₂×C₈	—	4	16	no	—
232	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
233	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
234	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
235	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
236	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
239	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
244	C₄²	—	2	1	no	—
245	C₄²	—	2	2	no	—
246	C₄²	—	4	4	no	—
247	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
248	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
249	C₂³	—	2	8	no	—
250	C₂³	—	2	8	no	—
251	C₂³	—	4	4	no	—
252	C₂³	—	4	4	no	—
253	C₂³	—	8	4	no	—
254	C₂³	—	8	4	no	—
255	C₂³	—	8	16	no	—
256	C₂³	—	16	8	no	—
257	C₂³	—	16	8	no	—
258	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
259	Q₈	—	2	8	no	—
260	Q₈	—	2	8	no	—
261	D₄	—	2	16	no	—
262	D₄	—	2	8	no	—
263	D₄	—	2	8	no	—
264	D₄	—	4	8	no	—
265	D₄	—	4	8	no	—
266	D₄	—	4	8	no	—
267	D₄	—	8	8	no	—
268	D₄	—	8	16	no	—
269	D₄	—	8	32	no	—
270	D₄	—	16	8	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	8	no	—
274	C₂×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂×C₄	—	4	8	no	—
276	C₂×C₄	—	4	8	no	—
277	C₂×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂×C₄	—	4	1	no	—
280	C₂×C₄	—	8	8	no	—
281	C₂×C₄	—	8	16	no	—
282	C₂×C₄	—	8	4	no	—
283	C₂×C₄	—	16	4	no	—
284	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
285	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
289	C₈	—	2	4	no	—
290	C₈	—	4	8	no	—
291	C₈	D₄²	1	8	yes	—
292	C₂²	—	2	2	no	—
293	C₂²	—	4	8	no	—
294	C₂²	—	4	8	no	—
295	C₂²	—	4	16	no	—
296	C₂²	—	8	8	no	—
297	C₂²	—	8	4	no	—
298	C₂²	—	8	4	no	—
299	C₂²	—	16	4	no	—
300	C₂²	—	32	16	no	—
301	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	#3496	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	#3549	1	1	yes	characteristic
304	C₄	—	2	4	no	—
305	C₄	—	2	4	no	—
306	C₄	—	4	8	no	—
307	C₄	—	8	1	no	—
308	C₄	—	8	4	no	—
309	C₄	C₂×D₄²	1	2	yes	—
310	C₄	#3496	1	2	yes	—
311	C₂	—	2	1	no	—
312	C₂	—	2	1	no	—
313	C₂	—	8	8	no	—
314	C₂	—	8	8	no	—
315	C₂	#59816	1	1	yes	characteristic
316	C₂	#61110	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3292	C₂	semidirect
2. #61079	C₂	semidirect
3. #31070	C₂	semidirect
4. #28246	C₂	semidirect
5. #28243	C₂	semidirect
6. #24294	C₂	semidirect
7. #24222	C₂	semidirect
8. #21710	C₂	semidirect
9. #21690	C₂	semidirect
10. C₂×#576	C₂²	semidirect
11. #3496	C₂²	semidirect
17. C₂×#472	C₂²	semidirect
18. #3060	C₂²	semidirect
19. #3036	C₂²	semidirect
20. C₂×#453	C₂²	semidirect
21. #3012	C₂²	semidirect
22. C₂×#444	C₂²	semidirect
23. C₂×#443	C₂²	semidirect
24. C₂×#442	C₂²	semidirect
25. #2932	C₂²	semidirect
26. C₄×#127	C₂²	semidirect
27. #2051	C₂²	semidirect
28. #2039	C₂²	semidirect
29. #2006	C₂²	semidirect
30. #1975	C₂²	semidirect
31. #1974	C₂²	semidirect
32. #1972	C₂²	semidirect
33. #1962	C₂²	semidirect
34. #1957	C₂²	semidirect
35. #1849	C₂²	semidirect
36. #1844	C₂²	semidirect
37. #1815	C₂²	semidirect
38. #1800	C₂²	semidirect
39. #1792	C₂²	semidirect
40. C₄×#97	C₂²	semidirect
62. #497	D₄	semidirect
63. #496	D₄	semidirect
64. #493	D₄	semidirect
130. C₂×D₈	C₂×D₄	semidirect
141. #127	C₂×D₄	semidirect
179. C₄×C₈	C₂×D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3292	2
#61079	2
#31070	2
#28246	2
#28243	2
#24294	2
#24222	2
#21710	2
#21690	2