Subgroups — #7614109

Order 512.

1712 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 305 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#61370	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#31254	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#28825	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#28295	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#26501	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#24312	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#23201	C₂	1	2	yes	maximal
8	#21732	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₄×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#3501	C₂²	1	4	yes	—
11	#3389	—	2	8	no	—
12	#3384	—	2	8	no	—
13	#3380	—	2	4	no	—
14	#3380	—	2	8	no	—
15	Q₈×D₈	—	2	4	no	—
16	#3164	C₂²	1	8	yes	—
17	#3160	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#3081	C₂²	1	16	yes	—
20	#3077	C₂²	1	8	yes	—
21	#2960	C₂²	1	4	yes	—
22	#2948	C₂²	1	8	yes	—
23	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	—
24	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
25	#2063	C₂²	1	16	yes	—
26	#2060	C₂²	1	8	yes	—
27	#2027	C₂²	1	8	yes	—
28	#1994	C₂²	1	4	yes	—
29	#1978	C₂²	1	8	yes	—
30	#1970	C₂²	1	4	yes	—
31	#1957	C₂²	1	2	yes	—
32	#1952	C₂²	1	8	yes	—
33	#1945	C₂²	1	4	yes	—
34	#1945	C₂²	1	4	yes	—
35	#1887	C₂²	1	8	yes	—
36	#1856	C₂²	1	8	yes	—
37	#1848	C₂²	1	2	yes	—
38	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1800	C₂²	1	4	yes	—
40	#1772	C₂²	1	4	yes	—
41	#1772	C₂²	1	4	yes	—
42	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
44	#554	—	2	8	no	—
45	#554	—	2	16	no	—
46	D₄×Q₈	—	2	8	no	—
47	#544	C₂³	1	8	yes	—
48	#543	—	4	4	no	—
49	#533	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
52	#518	C₂³	1	8	yes	—
53	C₂×C₄×D₄	—	4	2	no	—
54	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
55	#501	—	2	16	no	—
56	#500	—	2	8	no	—
57	#500	D₄	1	2	yes	complemented
58	#500	D₄	1	2	yes	complemented
59	#499	—	2	8	no	—
60	#499	D₄	1	4	yes	complemented
61	#499	D₄	1	4	yes	complemented
62	#498	D₄	1	4	yes	complemented
63	#493	Q₈	1	8	yes	complemented
64	#478	—	2	16	no	—
65	#478	—	2	16	no	—
66	#478	—	2	16	no	—
67	#476	—	2	8	no	—
68	#476	—	2	16	no	—
69	#474	—	2	8	no	—
70	#474	—	2	16	no	—
71	#446	—	2	4	no	—
72	#446	—	2	4	no	—
73	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
74	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
75	#442	—	2	16	no	—
76	C₄×D₈	—	2	8	no	—
77	C₄×D₈	—	2	8	no	—
78	C₄×D₈	—	2	4	no	—
79	C₄×D₈	—	2	4	no	—
80	C₄×D₈	—	2	4	no	—
81	C₄×D₈	—	2	4	no	—
82	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
84	#428	C₂³	1	16	yes	—
85	#427	C₂³	1	4	yes	—
86	#427	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
88	#424	C₂³	1	8	yes	—
89	#423	C₂³	1	4	yes	—
90	#418	C₂³	1	16	yes	—
91	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
92	C₂×#100	C₂³	1	8	yes	—
93	#405	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	#390	—	4	2	no	—
99	#390	C₂³	1	4	yes	—
100	#384	C₂³	1	2	yes	—
101	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	#343	C₂³	1	8	yes	—
103	#339	C₂³	1	8	yes	—
104	#339	C₂³	1	8	yes	—
105	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
106	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
107	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
108	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
109	C₂×D₈	—	2	4	no	—
110	C₂×D₈	—	2	4	no	—
111	C₂×D₈	—	2	8	no	—
112	C₂×D₈	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
113	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
116	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
117	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
118	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
119	#127	—	4	2	no	—
120	#127	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
121	#125	—	2	16	no	—
122	#125	C₂×D₄	1	8	yes	—
123	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
124	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
125	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
126	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
127	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
128	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
129	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
130	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
131	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
132	C₄×D₄	—	2	16	no	—
133	C₄×D₄	—	2	16	no	—
134	C₄×D₄	—	2	8	no	—
135	C₄×D₄	—	2	8	no	—
136	C₄×D₄	—	8	8	no	—
137	#117	C₂⁴	1	8	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
147	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
150	#108	—	2	8	no	—
151	#108	—	4	4	no	—
152	#107	—	2	4	no	—
153	#107	—	2	4	no	—
154	#107	—	2	16	no	—
155	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	#106	—	2	16	no	—
160	#106	C₂×D₄	1	8	yes	—
161	#106	C₂×D₄	1	8	yes	—
162	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
164	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
165	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
166	#102	—	2	8	no	—
167	#102	—	2	8	no	—
168	#102	—	2	16	no	—
169	#102	—	2	16	no	—
170	#100	—	4	8	no	—
171	#97	—	2	8	no	—
172	C₄×C₈	—	2	8	no	—
173	C₄×C₈	—	2	4	no	—
174	C₄×C₈	—	4	1	no	—
175	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
180	C₂⁴	—	2	4	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
184	C₂×Q₈	—	16	8	no	—
185	C₂×D₄	—	2	8	no	—
186	C₂×D₄	—	2	8	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	4	8	no	—
189	C₂×D₄	—	8	4	no	—
190	C₂×D₄	—	8	4	no	—
191	C₂×D₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
192	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
200	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
203	D₈	—	2	16	no	—
204	D₈	—	2	16	no	—
205	M₁₆	—	2	8	no	—
206	M₁₆	—	2	8	no	—
207	C₂×C₈	—	2	2	no	—
208	C₂×C₈	—	2	2	no	—
209	C₂×C₈	—	2	8	no	—
210	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
211	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
213	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
214	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
215	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
216	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
221	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
222	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
223	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
224	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
225	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
226	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
230	C₄²	—	2	4	no	—
231	C₄²	—	2	8	no	—
232	C₄²	—	2	1	no	—
233	C₄²	—	2	2	no	—
234	C₄²	—	4	2	no	—
235	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
236	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
237	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
238	C₂³	—	2	8	no	—
239	C₂³	—	4	4	no	—
240	C₂³	—	4	4	no	—
241	C₂³	—	8	4	no	—
242	C₂³	—	8	4	no	—
243	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
244	Q₈	—	4	8	no	—
245	Q₈	—	8	4	no	—
246	Q₈	—	16	8	no	—
247	D₄	—	2	16	no	—
248	D₄	—	4	8	no	—
249	D₄	—	8	16	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	8	no	—
256	C₂×C₄	—	2	8	no	—
257	C₂×C₄	—	4	1	no	—
258	C₂×C₄	—	4	1	no	—
259	C₂×C₄	—	4	1	no	—
260	C₂×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂×C₄	—	8	8	no	—
262	C₂×C₄	—	8	4	no	—
263	C₂×C₄	—	16	4	no	—
264	C₂×C₄	—	16	8	no	—
265	C₂×C₄	—	16	8	no	—
266	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
267	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
270	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
273	C₈	—	2	2	no	—
274	C₈	—	2	2	no	—
275	C₈	—	4	8	no	—
276	C₈	D₄×Q₈	1	4	yes	—
277	C₈	D₄×Q₈	1	4	yes	—
278	C₂²	—	2	1	no	—
279	C₂²	—	2	1	no	—
280	C₂²	—	4	8	no	—
281	C₂²	—	8	8	no	—
282	C₂²	—	8	4	no	—
283	C₂²	—	8	4	no	—
284	C₂²	—	16	4	no	—
285	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
286	C₂²	#3501	1	1	yes	characteristic
287	C₂²	#3550	1	1	yes	characteristic
288	C₄	—	2	4	no	—
289	C₄	—	2	1	no	—
290	C₄	—	2	2	no	—
291	C₄	—	4	2	no	—
292	C₄	—	4	8	no	—
293	C₄	—	4	8	no	—
294	C₄	—	8	4	no	—
295	C₄	#3292	1	2	yes	—
296	C₄	C₂×D₄×Q₈	1	2	yes	—
297	C₄	#3497	1	2	yes	—
298	C₂	—	2	1	no	—
299	C₂	—	2	1	no	—
300	C₂	—	8	8	no	—
301	C₂	#59817	1	1	yes	characteristic
302	C₂	C₂×#3292	1	1	yes	characteristic
303	C₂	#61105	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#493	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #61370	C₂	semidirect
2. #31254	C₂	semidirect
3. #28825	C₂	semidirect
4. #28295	C₂	semidirect
5. #26501	C₂	semidirect
6. #24312	C₂	semidirect
8. #21732	C₂	semidirect
57. #500	D₄	semidirect
58. #500	D₄	semidirect
60. #499	D₄	semidirect
61. #499	D₄	semidirect
62. #498	D₄	semidirect
63. #493	Q₈	semidirect
112. C₂×D₈	C₂×Q₈	semidirect
120. #127	C₂×Q₈	semidirect
179. C₄×C₈	C₂×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#61370	2
#31254	2
#28825	2
#28295	2
#26501	2
#24312	2
#23201	2
#21732	2
C₄×#493	2