Subgroups — #7614114

Order 512.

1702 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 254 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#61378	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#31254	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#28824	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#28299	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#26504	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#24312	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#23201	C₂	1	2	yes	maximal
8	#21736	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#21690	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#3501	C₂²	1	4	yes	—
11	#3389	—	2	16	no	—
12	#3384	—	2	16	no	—
13	#3163	C₂²	1	8	yes	—
14	#3162	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#3081	C₂²	1	16	yes	—
17	#3077	C₂²	1	8	yes	—
18	#2961	C₂²	1	4	yes	—
19	#2948	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×#442	C₂²	1	4	yes	—
21	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
22	#2063	C₂²	1	16	yes	—
23	#2060	C₂²	1	8	yes	—
24	#2027	C₂²	1	8	yes	—
25	#1994	C₂²	1	4	yes	—
26	#1978	C₂²	1	8	yes	—
27	#1972	C₂²	1	4	yes	—
28	#1957	C₂²	1	2	yes	—
29	#1951	C₂²	1	8	yes	—
30	#1946	C₂²	1	4	yes	—
31	#1945	C₂²	1	4	yes	—
32	#1887	C₂²	1	8	yes	—
33	#1856	C₂²	1	8	yes	—
34	#1849	C₂²	1	2	yes	—
35	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1800	C₂²	1	4	yes	—
37	#1773	C₂²	1	4	yes	—
38	#1772	C₂²	1	4	yes	—
39	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
41	#554	—	2	8	no	—
42	#554	—	2	16	no	—
43	D₄×Q₈	—	2	8	no	—
44	#544	C₂³	1	8	yes	—
45	#543	—	4	4	no	—
46	#533	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
49	#518	C₂³	1	8	yes	—
50	C₂×C₄×D₄	—	4	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
52	#501	—	2	16	no	—
53	#501	D₄	1	16	yes	complemented
54	#499	—	2	8	no	—
55	#498	—	2	8	no	—
56	#493	Q₈	1	8	yes	complemented
57	#478	—	2	16	no	—
58	#478	—	2	16	no	—
59	#478	—	2	16	no	—
60	#476	—	2	8	no	—
61	#476	—	2	16	no	—
62	#474	—	2	8	no	—
63	#474	—	2	16	no	—
64	#446	—	2	16	no	—
65	#442	—	2	8	no	—
66	#442	—	2	8	no	—
67	#442	—	2	16	no	—
68	C₄×D₈	—	2	16	no	—
69	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
71	#428	C₂³	1	16	yes	—
72	#427	C₂³	1	4	yes	—
73	#427	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
75	#424	C₂³	1	8	yes	—
76	#423	C₂³	1	4	yes	—
77	#418	C₂³	1	16	yes	—
78	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
79	C₂×#100	C₂³	1	8	yes	—
80	#405	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#390	—	4	2	no	—
86	#390	C₂³	1	4	yes	—
87	#384	C₂³	1	2	yes	—
88	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#343	C₂³	1	8	yes	—
90	#339	C₂³	1	8	yes	—
91	#339	C₂³	1	8	yes	—
92	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
93	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
94	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
95	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
96	C₂×D₈	—	2	8	no	—
97	C₂×D₈	—	2	8	no	—
98	C₂×D₈	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
99	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
100	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
101	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
102	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
103	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
104	#127	—	4	2	no	—
105	#127	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
106	#125	—	2	16	no	—
107	#125	C₂×D₄	1	8	yes	—
108	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
109	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
110	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
111	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
112	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
113	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
114	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
115	C₄×D₄	—	2	16	no	—
116	C₄×D₄	—	2	16	no	—
117	C₄×D₄	—	2	8	no	—
118	C₄×D₄	—	2	8	no	—
119	C₄×D₄	—	8	8	no	—
120	#117	C₂⁴	1	8	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
132	#108	—	2	8	no	—
133	#108	—	4	4	no	—
134	#107	—	2	16	no	—
135	#107	C₂×D₄	1	8	yes	—
136	#107	C₂×D₄	1	8	yes	—
137	#106	—	2	8	no	—
138	#106	—	2	16	no	—
139	#106	C₂×D₄	1	8	yes	—
140	#106	C₂×D₄	1	8	yes	—
141	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
142	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
143	#102	—	2	16	no	—
144	#102	—	2	16	no	—
145	#102	—	2	16	no	—
146	#100	—	4	8	no	—
147	#97	—	2	8	no	—
148	#97	—	2	4	no	—
149	#97	C₂×D₄	1	8	yes	—
150	C₄×C₈	—	2	8	no	—
151	C₄×C₈	—	4	1	no	—
152	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
153	C₂⁴	—	2	4	no	—
154	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
155	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
156	C₂×Q₈	—	16	8	no	—
157	C₂×D₄	—	2	8	no	—
158	C₂×D₄	—	2	8	no	—
159	C₂×D₄	—	2	4	no	—
160	C₂×D₄	—	4	8	no	—
161	C₂×D₄	—	8	4	no	—
162	C₂×D₄	—	8	4	no	—
163	C₂×D₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
164	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
172	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
174	D₈	—	2	32	no	—
175	M₁₆	—	2	8	no	—
176	M₁₆	—	2	8	no	—
177	C₂×C₈	—	2	2	no	—
178	C₂×C₈	—	2	2	no	—
179	C₂×C₈	—	2	8	no	—
180	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
182	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
183	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
184	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
185	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
187	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
188	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
189	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
190	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
191	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
193	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
194	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
195	C₄²	—	2	8	no	—
196	C₄²	—	2	1	no	—
197	C₄²	—	2	2	no	—
198	C₄²	—	4	4	no	—
199	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
200	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
201	C₂³	—	2	8	no	—
202	C₂³	—	4	4	no	—
203	C₂³	—	4	4	no	—
204	C₂³	—	8	4	no	—
205	C₂³	—	8	4	no	—
206	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
207	Q₈	—	8	8	no	—
208	Q₈	—	16	8	no	—
209	D₄	—	2	16	no	—
210	D₄	—	4	8	no	—
211	D₄	—	8	16	no	—
212	C₂×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄	—	2	16	no	—
215	C₂×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂×C₄	—	4	1	no	—
219	C₂×C₄	—	8	8	no	—
220	C₂×C₄	—	8	4	no	—
221	C₂×C₄	—	16	4	no	—
222	C₂×C₄	—	16	8	no	—
223	C₂×C₄	—	16	8	no	—
224	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
225	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
226	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
228	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
229	C₈	—	2	4	no	—
230	C₈	—	4	8	no	—
231	C₈	D₄×Q₈	1	8	yes	—
232	C₂²	—	2	2	no	—
233	C₂²	—	4	8	no	—
234	C₂²	—	8	8	no	—
235	C₂²	—	8	4	no	—
236	C₂²	—	8	4	no	—
237	C₂²	—	16	4	no	—
238	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
239	C₂²	#3501	1	1	yes	characteristic
240	C₂²	#3550	1	1	yes	characteristic
241	C₄	—	2	4	no	—
242	C₄	—	2	4	no	—
243	C₄	—	4	16	no	—
244	C₄	—	8	1	no	—
245	C₄	—	8	4	no	—
246	C₄	C₂×D₄×Q₈	1	2	yes	—
247	C₄	#3497	1	2	yes	—
248	C₂	—	2	1	no	—
249	C₂	—	2	1	no	—
250	C₂	—	8	8	no	—
251	C₂	#59817	1	1	yes	characteristic
252	C₂	#61110	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#493	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #61378	C₂	semidirect
2. #31254	C₂	semidirect
3. #28824	C₂	semidirect
4. #28299	C₂	semidirect
5. #26504	C₂	semidirect
6. #24312	C₂	semidirect
8. #21736	C₂	semidirect
53. #501	D₄	semidirect
56. #493	Q₈	semidirect
98. C₂×D₈	C₂×Q₈	semidirect
105. #127	C₂×Q₈	semidirect
152. C₄×C₈	C₂×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#61378	2
#31254	2
#28824	2
#28299	2
#26504	2
#24312	2
#23201	2
#21736	2
#21690	2