Subgroups — #7614135

Order 512.

1780 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 416 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×Q₈×Q₁₆	C₂	1	2	yes	maximal
2	#59832	C₂	1	2	yes	maximal
3	#31239	C₂	1	4	yes	maximal
4	#28813	C₂	1	2	yes	maximal
5	#28284	C₂	1	2	yes	maximal
6	#28265	C₂	1	2	yes	maximal
7	#26485	C₂	1	4	yes	maximal
8	#26466	C₂	1	4	yes	maximal
9	#24333	C₂	1	4	yes	maximal
10	#23184	C₂	1	2	yes	maximal
11	C₄×#500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₈×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	C₄×#494	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
14	C₂×Q₈²	C₂²	1	4	yes	—
15	Q₈×Q₁₆	—	2	16	no	—
16	C₂×#500	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#477	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×#477	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
25	#2734	—	2	4	no	—
26	#2582	C₂²	1	4	yes	—
27	#2551	—	2	2	no	—
28	#2551	C₂²	1	4	yes	—
29	#2546	—	2	4	no	—
30	#2451	—	2	4	no	—
31	#2451	C₂²	1	8	yes	—
32	#2365	—	2	2	no	—
33	#2365	C₂²	1	4	yes	—
34	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
35	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
36	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#2068	C₂²	1	8	yes	—
38	#2068	C₂²	1	8	yes	—
39	#2057	C₂²	1	8	yes	—
40	#2024	C₂²	1	8	yes	—
41	#1990	C₂²	1	2	yes	—
42	#1984	C₂²	1	2	yes	—
43	#1981	C₂²	1	4	yes	—
44	#1969	C₂²	1	2	yes	—
45	#1969	C₂²	1	4	yes	—
46	#1969	C₂²	1	2	yes	—
47	#1956	C₂²	1	2	yes	—
48	#1947	C₂²	1	4	yes	—
49	#1942	C₂²	1	2	yes	—
50	#1942	C₂²	1	4	yes	—
51	#1942	C₂²	1	2	yes	—
52	#1939	C₂²	1	2	yes	—
53	#1939	C₂²	1	2	yes	—
54	#1878	C₂²	1	8	yes	—
55	#1863	C₂²	1	8	yes	—
56	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
57	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
58	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
59	#1803	C₂²	1	4	yes	—
60	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
61	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
62	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
63	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
64	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
67	Q₈²	—	2	16	no	—
68	Q₈²	—	4	8	no	—
69	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
71	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
75	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
77	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
80	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
81	#500	—	2	16	no	—
82	#500	D₄	1	8	yes	—
83	#494	Q₈	1	8	yes	complemented
84	#477	—	2	16	no	—
85	#477	—	2	32	no	—
86	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
87	C₄×Q₁₆	—	2	16	no	—
88	C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
89	C₄×Q₁₆	—	4	4	no	—
90	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
103	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
104	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	#398	—	2	8	no	—
113	#398	—	2	8	no	—
114	#395	—	2	8	no	—
115	#395	—	2	8	no	—
116	#391	—	2	4	no	—
117	#391	—	2	2	no	—
118	#391	—	2	8	no	—
119	#391	D₄	1	2	yes	—
120	#391	C₂³	1	4	yes	—
121	#391	C₂³	1	8	yes	—
122	#389	—	2	4	no	—
123	#389	—	2	4	no	—
124	#389	—	2	4	no	—
125	#389	—	2	2	no	—
126	#389	—	2	2	no	—
127	#389	—	2	2	no	—
128	#389	D₄	1	2	yes	—
129	#389	D₄	1	2	yes	—
130	#389	C₂³	1	4	yes	—
131	#389	C₂³	1	8	yes	—
132	#387	—	2	8	no	—
133	#387	—	2	8	no	—
134	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
135	#384	C₂³	1	2	yes	—
136	#384	C₂³	1	2	yes	—
137	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
142	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
143	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
144	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
145	#340	C₂³	1	4	yes	—
146	#340	C₂³	1	8	yes	—
147	#340	C₂³	1	4	yes	—
148	#336	C₂³	1	4	yes	—
149	#336	C₂³	1	4	yes	—
150	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
151	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
152	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
154	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
155	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
156	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
157	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
158	C₂×Q₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
159	C₂×Q₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
160	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
162	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
165	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
166	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
167	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
169	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
170	C₄⋊Q₈	—	4	32	no	—
171	C₄⋊Q₈	—	8	8	no	—
172	C₄⋊Q₈	Q₁₆	1	8	yes	complemented
173	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
174	C₄⋊Q₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
175	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
176	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
177	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
178	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
179	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
180	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
181	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
182	C₄×Q₈	—	8	4	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
202	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
204	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
206	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
215	#107	—	2	4	no	—
216	#107	—	2	4	no	—
217	#107	—	2	16	no	—
218	#107	—	4	2	no	—
219	#107	—	4	2	no	—
220	#107	C₂×D₄	1	8	yes	—
221	#107	C₂×D₄	1	8	yes	—
222	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
223	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
224	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
225	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
226	#103	—	2	8	no	—
227	#103	—	2	16	no	—
228	#103	—	4	8	no	—
229	#103	—	4	4	no	—
230	C₄×C₈	—	2	8	no	—
231	C₄×C₈	—	2	2	no	—
232	C₄×C₈	—	2	2	no	—
233	C₄×C₈	—	2	2	no	—
234	C₄×C₈	—	4	1	no	—
235	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
236	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
237	#95	—	2	4	no	—
238	#95	—	2	4	no	—
239	#95	—	2	8	no	—
240	#95	—	2	4	no	—
241	#95	—	2	4	no	—
242	#95	—	2	8	no	—
243	#95	—	2	8	no	—
244	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
245	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
246	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
247	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
248	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
250	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
251	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
252	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
253	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
254	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
255	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
256	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
257	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
258	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
259	C₂×Q₈	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
260	C₂×Q₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
261	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
274	Q₁₆	—	2	16	no	—
275	Q₁₆	—	4	8	no	—
276	C₂×C₈	—	2	1	no	—
277	C₂×C₈	—	2	1	no	—
278	C₂×C₈	—	2	1	no	—
279	C₂×C₈	—	2	1	no	—
280	C₂×C₈	—	2	4	no	—
281	C₂×C₈	—	2	1	no	—
282	C₂×C₈	—	2	1	no	—
283	C₂×C₈	—	2	1	no	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	—	2	4	no	—
286	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
287	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
288	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
290	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
291	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
308	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
309	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
310	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
312	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
313	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
314	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
315	C₄²	—	2	2	no	—
316	C₄²	—	2	2	no	—
317	C₄²	—	2	4	no	—
318	C₄²	—	2	4	no	—
319	C₄²	—	2	1	no	—
320	C₄²	—	2	1	no	—
321	C₄²	—	4	1	no	—
322	C₄²	—	4	16	no	—
323	C₄²	—	4	8	no	—
324	C₄²	—	4	8	no	—
325	C₄²	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
326	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
327	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
328	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
329	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
330	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
331	Q₈	—	2	16	no	—
332	Q₈	—	2	8	no	—
333	Q₈	—	2	8	no	—
334	Q₈	—	4	4	no	—
335	Q₈	—	4	4	no	—
336	Q₈	—	8	8	no	—
337	Q₈	—	16	16	no	—
338	C₂×C₄	—	2	1	no	—
339	C₂×C₄	—	2	1	no	—
340	C₂×C₄	—	2	1	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	1	no	—
343	C₂×C₄	—	2	1	no	—
344	C₂×C₄	—	2	1	no	—
345	C₂×C₄	—	2	4	no	—
346	C₂×C₄	—	2	4	no	—
347	C₂×C₄	—	2	4	no	—
348	C₂×C₄	—	2	8	no	—
349	C₂×C₄	—	2	8	no	—
350	C₂×C₄	—	2	1	no	—
351	C₂×C₄	—	2	1	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	2	1	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	4	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	8	yes	—
370	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
380	C₈	—	2	2	no	—
381	C₈	—	2	2	no	—
382	C₈	—	4	4	no	—
383	C₈	—	4	1	no	—
384	C₈	D₄×Q₈	1	4	yes	—
385	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	C₂×D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	#3497	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	C₂³×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	#3584	1	1	yes	characteristic
392	C₄	—	2	8	no	—
393	C₄	—	2	2	no	—
394	C₄	—	2	2	no	—
395	C₄	—	2	2	no	—
396	C₄	—	4	4	no	—
397	C₄	—	4	8	no	—
398	C₄	—	4	1	no	—
399	C₄	—	4	8	no	—
400	C₄	—	8	4	no	—
401	C₄	—	8	4	no	—
402	C₄	D₄×Q₁₆	1	4	yes	—
403	C₄	Q₈×Q₁₆	1	4	yes	complemented
404	C₄	C₂×D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
405	C₄	#3497	1	1	yes	characteristic
406	C₄	#3501	1	1	yes	characteristic
407	C₄	#3550	1	1	yes	characteristic
408	C₂	#59817	1	1	yes	characteristic
409	C₂	C₂×D₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
410	C₂	#61084	1	1	yes	characteristic
411	C₂	C₂×Q₈×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
412	C₂	#61372	1	1	yes	characteristic
413	C₂	#62360	1	1	yes	characteristic
414	C₂	#62375	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
83. #494	Q₈	semidirect
172. C₄⋊Q₈	Q₁₆	semidirect
403. C₄	Q₈×Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×Q₈×Q₁₆	2
#59832	2
#31239	2
#28813	2
#28284	2
#28265	2
#26485	2
#26466	2
#24333	2
#23184	2
C₄×#500	2
C₈×C₄⋊Q₈	2
C₄×#494	2