Subgroups — #7615321

Order 512.

1436 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 403 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#59871	C₂	1	2	yes	maximal
2	#32650	C₂	1	4	yes	maximal
3	#28827	C₂	1	2	yes	maximal
4	#28531	C₂	1	2	yes	maximal
5	#28284	C₂	1	2	yes	maximal
6	#28265	C₂	1	4	yes	maximal
7	#26532	C₂	1	4	yes	maximal
8	#24817	C₂	1	4	yes	maximal
9	#23184	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₄⋊C₄×Q₁₆	C₂	1	2	yes	maximal
11	C₄×#500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₈×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	C₄×#494	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
14	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#477	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
21	#2806	—	2	4	no	—
22	#2584	—	2	4	no	—
23	#2582	C₂²	1	8	yes	—
24	#2567	C₂²	1	4	yes	—
25	#2552	—	2	2	no	—
26	#2552	C₂²	1	4	yes	—
27	#2507	—	2	4	no	—
28	#2369	—	2	2	no	—
29	#2365	C₂²	1	4	yes	—
30	Q₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
31	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#2095	C₂²	1	8	yes	—
35	#2083	C₂²	1	8	yes	—
36	#2068	C₂²	1	8	yes	—
37	#2068	C₂²	1	8	yes	—
38	#1990	C₂²	1	2	yes	—
39	#1984	C₂²	1	2	yes	—
40	#1981	C₂²	1	4	yes	—
41	#1969	C₂²	1	2	yes	—
42	#1969	C₂²	1	4	yes	—
43	#1969	C₂²	1	2	yes	—
44	#1956	C₂²	1	2	yes	—
45	#1947	C₂²	1	4	yes	—
46	#1942	C₂²	1	2	yes	—
47	#1942	C₂²	1	4	yes	—
48	#1942	C₂²	1	2	yes	—
49	#1939	C₂²	1	2	yes	—
50	#1939	C₂²	1	2	yes	—
51	#1878	C₂²	1	8	yes	—
52	#1863	C₂²	1	8	yes	—
53	#1845	C₂²	1	4	yes	—
54	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
55	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
56	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
57	#1803	C₂²	1	8	yes	—
58	#1803	C₂²	1	4	yes	—
59	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
60	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
61	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
62	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
63	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×#125	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
73	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
74	#500	—	2	4	no	—
75	#494	Q₈	1	8	yes	complemented
76	#477	—	4	8	no	—
77	C₈×Q₈	—	4	4	no	—
78	C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
79	C₄×Q₁₆	—	4	8	no	—
80	C₄×Q₁₆	—	4	4	no	—
81	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
86	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	#398	—	2	8	no	—
104	#398	—	2	8	no	—
105	#398	—	2	8	no	—
106	#395	—	2	8	no	—
107	#391	—	2	8	no	—
108	#391	—	2	2	no	—
109	#391	D₄	1	2	yes	—
110	#391	C₂³	1	4	yes	—
111	#391	C₂³	1	8	yes	—
112	#389	—	2	4	no	—
113	#389	—	2	4	no	—
114	#389	—	2	8	no	—
115	#389	—	2	4	no	—
116	#389	—	2	4	no	—
117	#389	—	2	2	no	—
118	#389	—	2	2	no	—
119	#389	—	2	2	no	—
120	#389	—	2	8	no	—
121	#389	D₄	1	2	yes	—
122	#389	D₄	1	2	yes	—
123	#389	C₂³	1	4	yes	—
124	#389	C₂³	1	8	yes	—
125	#387	—	2	8	no	—
126	#384	—	2	4	no	—
127	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
128	#384	C₂³	1	2	yes	—
129	#384	C₂³	1	2	yes	—
130	#384	C₂³	1	8	yes	—
131	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
137	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
139	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
140	#340	C₂³	1	4	yes	—
141	#340	C₂³	1	8	yes	—
142	#340	C₂³	1	4	yes	—
143	#336	C₂³	1	4	yes	—
144	#336	C₂³	1	4	yes	—
145	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
148	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
149	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
150	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
151	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
152	C₂×Q₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
153	C₂×Q₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
162	C₄⋊Q₈	Q₁₆	1	8	yes	complemented
163	C₄⋊Q₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
164	#125	—	8	8	no	—
165	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
166	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
167	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
168	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
169	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
170	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
171	C₄×Q₈	—	8	4	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
194	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
202	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
205	#107	—	2	4	no	—
206	#107	—	2	4	no	—
207	#107	—	2	4	no	—
208	#107	—	2	4	no	—
209	#107	—	4	2	no	—
210	#107	—	4	2	no	—
211	#107	—	4	8	no	—
212	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
213	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
214	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
215	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
216	#103	—	2	8	no	—
217	#103	—	4	8	no	—
218	#103	—	4	4	no	—
219	#103	—	4	8	no	—
220	C₄×C₈	—	2	8	no	—
221	C₄×C₈	—	2	2	no	—
222	C₄×C₈	—	2	2	no	—
223	C₄×C₈	—	2	2	no	—
224	C₄×C₈	—	4	1	no	—
225	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
226	C₄×C₈	#41	1	4	yes	—
227	#95	—	2	8	no	—
228	#95	—	2	4	no	—
229	#95	—	2	8	no	—
230	#95	—	2	4	no	—
231	#95	—	2	4	no	—
232	#95	—	2	4	no	—
233	#95	—	2	8	no	—
234	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
235	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
236	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
242	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
243	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
244	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
245	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
246	C₂×Q₈	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
247	C₂×Q₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
261	Q₁₆	—	2	16	no	—
262	Q₁₆	—	4	8	no	—
263	C₂×C₈	—	2	1	no	—
264	C₂×C₈	—	2	1	no	—
265	C₂×C₈	—	2	1	no	—
266	C₂×C₈	—	2	1	no	—
267	C₂×C₈	—	2	1	no	—
268	C₂×C₈	—	2	4	no	—
269	C₂×C₈	—	2	1	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	1	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
274	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
275	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
276	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
277	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
278	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
297	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
300	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
301	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
302	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
303	C₄²	—	2	2	no	—
304	C₄²	—	2	2	no	—
305	C₄²	—	2	1	no	—
306	C₄²	—	2	4	no	—
307	C₄²	—	2	1	no	—
308	C₄²	—	2	4	no	—
309	C₄²	—	4	1	no	—
310	C₄²	—	4	8	no	—
311	C₄²	—	4	8	no	—
312	C₄²	—	8	8	no	—
313	C₄²	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
314	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
315	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
316	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
317	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
318	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
319	Q₈	—	2	8	no	—
320	Q₈	—	2	8	no	—
321	Q₈	—	4	8	no	—
322	Q₈	—	4	4	no	—
323	Q₈	—	4	4	no	—
324	Q₈	—	8	8	no	—
325	C₂×C₄	—	2	1	no	—
326	C₂×C₄	—	2	1	no	—
327	C₂×C₄	—	2	1	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	1	no	—
331	C₂×C₄	—	2	1	no	—
332	C₂×C₄	—	2	1	no	—
333	C₂×C₄	—	2	8	no	—
334	C₂×C₄	—	2	1	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	1	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	1	no	—
339	C₂×C₄	—	2	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	8	yes	—
357	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
367	C₈	—	2	2	no	—
368	C₈	—	2	2	no	—
369	C₈	—	4	1	no	—
370	C₈	—	4	4	no	—
371	C₈	#554	1	4	yes	—
372	C₂²	C₂×D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	C₂×#550	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	#3496	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	C₂³×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	#3584	1	1	yes	characteristic
379	C₄	—	2	8	no	—
380	C₄	—	2	2	no	—
381	C₄	—	2	2	no	—
382	C₄	—	2	2	no	—
383	C₄	—	4	1	no	—
384	C₄	—	4	4	no	—
385	C₄	—	4	8	no	—
386	C₄	—	8	4	no	—
387	C₄	—	8	4	no	—
388	C₄	—	8	4	no	—
389	C₄	Q₈×Q₁₆	1	4	yes	—
390	C₄	#3395	1	4	yes	—
391	C₄	C₂×#554	1	1	yes	characteristic
392	C₄	#3501	1	1	yes	characteristic
393	C₄	#3507	1	1	yes	characteristic
394	C₄	#3548	1	1	yes	characteristic
395	C₂	#59823	1	1	yes	characteristic
396	C₂	C₂×Q₈×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
397	C₂	#61372	1	1	yes	characteristic
398	C₂	C₂×#3395	1	1	yes	characteristic
399	C₂	#61406	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#62246	1	1	yes	characteristic
401	C₂	#62332	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
75. #494	Q₈	semidirect
162. C₄⋊Q₈	Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#59871	2
#32650	2
#28827	2
#28531	2
#28284	2
#28265	2
#26532	2
#24817	2
#23184	2
C₄⋊C₄×Q₁₆	2
C₄×#500	2
C₈×C₄⋊Q₈	2
C₄×#494	2