Subgroups — #7616353

Order 512.

1320 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 382 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#59871	C₂	1	2	yes	maximal
2	#32506	C₂	1	4	yes	maximal
3	#29290	C₂	1	2	yes	maximal
4	#28827	C₂	1	2	yes	maximal
5	#28676	C₂	1	2	yes	maximal
6	#27995	C₂	1	4	yes	maximal
7	#26512	C₂	1	4	yes	maximal
8	#26282	C₂	1	4	yes	maximal
9	#23158	C₂	1	2	yes	maximal
10	Q₈×#107	C₂	1	2	yes	maximal
11	C₄×#500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₄×#500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	C₈×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
14	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
17	#2806	—	2	4	no	—
18	#2584	—	2	4	no	—
19	#2582	—	2	4	no	—
20	#2567	C₂²	1	4	yes	—
21	#2552	—	2	2	no	—
22	#2552	C₂²	1	4	yes	—
23	#2507	C₂²	1	8	yes	—
24	#2369	C₂²	1	4	yes	—
25	#2365	—	2	2	no	—
26	Q₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
27	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#2100	C₂²	1	8	yes	—
31	#2087	C₂²	1	8	yes	—
32	#2087	C₂²	1	8	yes	—
33	#2083	C₂²	1	8	yes	—
34	#1990	C₂²	1	2	yes	—
35	#1990	C₂²	1	2	yes	—
36	#1987	C₂²	1	4	yes	—
37	#1987	C₂²	1	4	yes	—
38	#1984	C₂²	1	2	yes	—
39	#1947	C₂²	1	4	yes	—
40	#1947	C₂²	1	4	yes	—
41	#1947	C₂²	1	8	yes	—
42	#1942	C₂²	1	4	yes	—
43	#1942	C₂²	1	4	yes	—
44	#1942	C₂²	1	2	yes	—
45	#1942	C₂²	1	2	yes	—
46	#1942	C₂²	1	2	yes	—
47	#1942	C₂²	1	2	yes	—
48	#1939	C₂²	1	2	yes	—
49	#1939	C₂²	1	2	yes	—
50	#1921	C₂²	1	8	yes	—
51	#1921	C₂²	1	8	yes	—
52	#1845	C₂²	1	4	yes	—
53	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
54	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
55	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
56	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
57	C₄×#107	C₂²	1	4	yes	—
58	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
59	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
60	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
61	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
62	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
63	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#125	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
72	#500	—	2	4	no	—
73	#500	Q₈	1	8	yes	complemented
74	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
75	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	#398	—	2	8	no	—
96	#398	—	2	8	no	—
97	#398	—	2	8	no	—
98	#395	—	2	8	no	—
99	#391	—	2	4	no	—
100	#391	—	2	2	no	—
101	#391	—	2	2	no	—
102	#391	—	2	8	no	—
103	#391	D₄	1	2	yes	—
104	#389	—	2	4	no	—
105	#389	—	2	8	no	—
106	#389	—	2	4	no	—
107	#389	—	2	4	no	—
108	#389	—	2	2	no	—
109	#389	—	2	2	no	—
110	#389	—	2	8	no	—
111	#389	D₄	1	2	yes	—
112	#389	D₄	1	2	yes	—
113	#389	C₂³	1	4	yes	—
114	#389	C₂³	1	4	yes	—
115	#389	C₂³	1	8	yes	—
116	#389	C₂³	1	8	yes	—
117	#387	—	2	8	no	—
118	#384	—	2	4	no	—
119	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
120	#384	C₂³	1	2	yes	—
121	#384	C₂³	1	2	yes	—
122	#384	C₂³	1	8	yes	—
123	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
125	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
126	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
129	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
132	#340	C₂³	1	4	yes	—
133	#340	C₂³	1	8	yes	—
134	#340	C₂³	1	8	yes	—
135	#340	C₂³	1	4	yes	—
136	#340	C₂³	1	8	yes	—
137	#340	C₂³	1	4	yes	—
138	#340	C₂³	1	4	yes	—
139	#336	C₂³	1	4	yes	—
140	#336	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
152	C₄⋊Q₈	Q₁₆	1	8	yes	—
153	C₄⋊Q₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
154	#125	—	8	8	no	—
155	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
156	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
157	C₄×Q₈	—	8	4	no	—
158	C₄×Q₈	—	8	4	no	—
159	C₄×Q₈	—	8	8	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
182	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
193	#107	—	2	4	no	—
194	#107	—	2	4	no	—
195	#107	—	2	4	no	—
196	#107	—	2	4	no	—
197	#107	—	4	2	no	—
198	#107	—	4	2	no	—
199	#107	—	4	8	no	—
200	#107	C₂×Q₈	1	8	yes	—
201	#107	C₂×Q₈	1	8	yes	—
202	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
203	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
204	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
205	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
206	C₄×C₈	—	2	8	no	—
207	C₄×C₈	—	2	2	no	—
208	C₄×C₈	—	2	2	no	—
209	C₄×C₈	—	2	2	no	—
210	C₄×C₈	—	4	1	no	—
211	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
212	C₄×C₈	#41	1	4	yes	—
213	#95	—	2	4	no	—
214	#95	—	2	4	no	—
215	#95	—	2	8	no	—
216	#95	—	2	4	no	—
217	#95	—	2	8	no	—
218	#95	—	2	4	no	—
219	#95	—	2	8	no	—
220	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
221	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
222	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
226	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
230	C₂×Q₈	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
244	C₂×C₈	—	2	1	no	—
245	C₂×C₈	—	2	1	no	—
246	C₂×C₈	—	2	1	no	—
247	C₂×C₈	—	2	1	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	1	no	—
250	C₂×C₈	—	2	1	no	—
251	C₂×C₈	—	2	1	no	—
252	C₂×C₈	—	2	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
255	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
256	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
257	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
258	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
259	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
275	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
278	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
281	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
282	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
283	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
284	C₄⋊C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	—	2	2	no	—
287	C₄²	—	2	4	no	—
288	C₄²	—	2	1	no	—
289	C₄²	—	2	4	no	—
290	C₄²	—	2	1	no	—
291	C₄²	—	4	1	no	—
292	C₄²	—	4	8	no	—
293	C₄²	—	4	8	no	—
294	C₄²	—	8	8	no	—
295	C₄²	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
296	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
297	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
298	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
299	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
300	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
301	Q₈	—	2	16	no	—
302	Q₈	—	8	8	no	—
303	Q₈	—	8	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	1	no	—
317	C₂×C₄	—	2	1	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	8	yes	—
336	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
346	C₈	—	2	2	no	—
347	C₈	—	2	2	no	—
348	C₈	—	4	4	no	—
349	C₈	—	4	1	no	—
350	C₈	#557	1	4	yes	—
351	C₂²	C₂×#547	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂×D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#3497	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	C₂³×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#3584	1	1	yes	characteristic
358	C₄	—	2	8	no	—
359	C₄	—	2	2	no	—
360	C₄	—	2	2	no	—
361	C₄	—	2	2	no	—
362	C₄	—	4	4	no	—
363	C₄	—	4	1	no	—
364	C₄	—	4	8	no	—
365	C₄	—	8	4	no	—
366	C₄	—	8	4	no	—
367	C₄	—	8	4	no	—
368	C₄	#3338	1	4	yes	—
369	C₄	Q₈×Q₁₆	1	4	yes	—
370	C₄	C₂×#557	1	1	yes	characteristic
371	C₄	#3502	1	1	yes	characteristic
372	C₄	#3507	1	1	yes	characteristic
373	C₄	#3556	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#59828	1	1	yes	characteristic
375	C₂	C₂×#3338	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#61284	1	1	yes	characteristic
377	C₂	C₂×Q₈×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#61370	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#62360	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#62373	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
73. #500	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#59871	2
#32506	2
#29290	2
#28827	2
#28676	2
#27995	2
#26512	2
#26282	2
#23158	2
Q₈×#107	2
C₄×#500	2
C₈×C₄⋊Q₈	2