Subgroups — #7622563

Order 512.

1465 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 342 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60058	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33428	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
3	#33427	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#33426	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	C₂×#2153	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#2115	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₂×#2110	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#568	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#3428	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×M₃₂	C₂²	1	4	yes	—
12	#2875	C₄	1	4	yes	—
13	#2875	C₂²	1	4	yes	—
14	C₄×#131	C₄	1	4	yes	—
15	C₄×#131	C₂²	1	4	yes	—
16	#2873	C₄	1	1	yes	characteristic
17	#2873	C₄	1	1	yes	characteristic
18	#2873	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#405	C₄	1	4	yes	—
20	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2166	C₂²	1	32	yes	complemented
23	#2165	C₂²	1	32	yes	complemented
24	#2153	C₂²	1	8	yes	—
25	#2153	C₂²	1	8	yes	complemented
26	C₂×#364	C₂²	1	8	yes	complemented
27	#2115	C₂²	1	8	yes	—
28	#2115	C₂²	1	8	yes	—
29	C₂×#349	C₂²	1	8	yes	—
30	#2110	C₂²	1	8	yes	—
31	#2110	C₂²	1	8	yes	complemented
32	C₂×#347	C₂²	1	8	yes	complemented
33	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	#568	—	2	8	no	—
35	C₂×#131	—	2	4	no	—
36	C₂×#131	—	2	4	no	—
37	C₂×#131	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂×#131	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×#131	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂×#131	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	#520	—	2	2	no	—
51	#520	—	2	2	no	—
52	#519	—	2	1	no	—
53	#518	—	2	1	no	—
54	#518	—	2	2	no	—
55	C₄×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₄×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
61	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
62	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
63	C₂×M₃₂	C₂³	1	8	yes	—
64	C₂×M₃₂	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂×M₃₂	C₂³	1	8	yes	—
66	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
67	#405	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	#405	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	#405	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	#405	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	#405	C₂×C₄	1	8	yes	—
72	#405	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	#405	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	#405	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#405	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	#405	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	#405	C₂×C₄	1	8	yes	—
78	#405	C₂³	1	2	yes	—
79	#405	C₂³	1	2	yes	—
80	#405	C₂³	1	8	yes	—
81	#405	C₂³	1	2	yes	—
82	#405	C₂³	1	2	yes	—
83	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
84	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
86	C₄×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
88	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
91	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
93	#364	C₂³	1	32	yes	—
94	#349	C₂³	1	32	yes	—
95	#347	C₂³	1	32	yes	—
96	C₂×#41	—	2	4	no	—
97	C₂×#41	—	2	4	no	—
98	C₂×#41	M₁₆	1	2	yes	—
99	C₂×#41	M₁₆	1	2	yes	—
100	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂²×Q₈	M₁₆	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×D₄	M₁₆	1	2	yes	—
104	C₂²×D₄	M₁₆	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	#131	—	2	16	no	—
108	#131	—	2	4	no	—
109	#131	—	2	8	no	—
110	#131	—	2	4	no	—
111	#131	—	2	16	no	—
112	#131	—	2	8	no	—
113	#131	—	2	4	no	—
114	#131	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
119	C₂×M₁₆	M₁₆	1	8	yes	—
120	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
123	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
126	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
129	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
141	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
145	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
146	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
147	C₄×D₄	—	2	8	no	—
148	C₄×D₄	—	2	4	no	—
149	C₄×D₄	—	2	8	no	—
150	C₄×D₄	—	2	4	no	—
151	#117	—	2	4	no	—
152	#117	—	2	1	no	—
153	#117	—	2	1	no	—
154	#117	—	2	4	no	—
155	#117	—	2	1	no	—
156	#117	—	2	1	no	—
157	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
159	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	#117	C₂²×C₄	1	8	yes	—
161	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
168	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
171	M₃₂	—	2	8	no	—
172	M₃₂	—	2	8	no	—
173	M₃₂	—	2	8	no	—
174	M₃₂	C₂⁴	1	16	yes	—
175	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
176	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
177	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
178	#97	C₂²×C₄	1	4	yes	—
179	#97	C₂²×C₄	1	4	yes	—
180	#97	C₂²×C₄	1	8	yes	—
181	#97	C₂²×C₄	1	4	yes	—
182	#97	C₂²×C₄	1	8	yes	—
183	#97	C₂⁴	1	4	yes	—
184	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
185	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
186	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
187	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
188	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
189	C₄×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
190	C₂⁴	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
191	C₂⁴	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
192	#41	—	2	4	no	—
193	#41	—	2	4	no	—
194	#41	—	2	4	no	—
195	#41	—	2	4	no	—
196	#41	—	2	8	no	—
197	#41	—	2	8	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
199	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
200	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
201	C₂×D₄	—	2	8	no	—
202	C₂×D₄	—	2	4	no	—
203	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
204	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
205	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
206	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
223	M₁₆	—	2	4	no	—
224	M₁₆	—	2	4	no	—
225	M₁₆	—	2	4	no	—
226	M₁₆	—	2	4	no	—
227	M₁₆	—	2	8	no	—
228	M₁₆	—	2	16	no	—
229	M₁₆	—	2	8	no	—
230	M₁₆	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
231	M₁₆	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
232	C₂×C₈	—	2	4	no	—
233	C₂×C₈	—	2	4	no	—
234	C₂×C₈	—	2	4	no	—
235	C₂×C₈	—	2	8	no	—
236	C₂×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	16	no	—
238	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
239	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
240	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
241	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
242	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
243	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
244	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
245	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
246	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
250	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
251	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
252	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
253	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
254	C₂×C₈	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
255	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
265	C₄²	—	2	8	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	—	2	2	no	—
268	C₄²	C₂³×C₄	1	4	yes	—
269	C₄²	C₂³×C₄	1	4	yes	—
270	C₁₆	—	2	16	no	—
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	8	1	no	—
273	C₂³	—	8	2	no	—
274	C₂³	#432	1	4	yes	—
275	C₂³	C₂²×M₁₆	1	4	yes	—
276	C₂³	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
277	C₂³	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
278	C₂³	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
279	Q₈	—	2	4	no	—
280	Q₈	—	2	4	no	—
281	D₄	—	2	8	no	—
282	D₄	—	2	8	no	—
283	D₄	—	2	4	no	—
284	D₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	8	2	no	—
292	C₂×C₄	—	8	2	no	—
293	C₂×C₄	—	8	8	no	—
294	C₂×C₄	#432	1	4	yes	—
295	C₂×C₄	#432	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	#432	1	4	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
308	C₈	—	2	4	no	—
309	C₈	—	2	4	no	—
310	C₈	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
311	C₈	C₂×#117	1	2	yes	—
312	C₈	C₂×#117	1	2	yes	—
313	C₈	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
314	C₈	C₂²×M₁₆	1	8	yes	—
315	C₈	C₂²×#41	1	2	yes	—
316	C₂²	—	2	4	no	—
317	C₂²	—	4	1	no	—
318	C₂²	—	4	1	no	—
319	C₂²	—	4	1	no	—
320	C₂²	—	4	4	no	—
321	C₂²	—	4	4	no	—
322	C₂²	—	8	4	no	—
323	C₂²	C₂×#432	1	2	yes	—
324	C₂²	C₂×#432	1	2	yes	—
325	C₂²	C₂×#432	1	2	yes	—
326	C₂²	C₂³×M₁₆	1	1	yes	characteristic
327	C₄	—	2	4	no	—
328	C₄	—	4	4	no	—
329	C₄	—	4	4	no	—
330	C₄	C₂×#432	1	2	yes	—
331	C₄	C₂×#432	1	2	yes	—
332	C₄	C₂×#432	1	2	yes	—
333	C₄	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
334	C₄	C₂³×M₁₆	1	1	yes	characteristic
335	C₂	—	2	1	no	—
336	C₂	—	2	2	no	—
337	C₂	—	2	2	no	—
338	C₂	—	2	2	no	—
339	C₂	—	4	4	no	—
340	C₂	C₂²×#432	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₈	C₂×#117
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₈	C₂⁵
socle	C₂	C₂²×#432
prime radical	C₂²×#41	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₈ ◁ C₂×#405 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33428	C₂	semidirect
3. #33427	C₂	semidirect
4. #33426	C₂	semidirect
5. C₂×#2153	C₂	semidirect
7. C₂×#2110	C₂	semidirect
22. #2166	C₂²	semidirect
23. #2165	C₂²	semidirect
25. #2153	C₂²	semidirect
26. C₂×#364	C₂²	semidirect
31. #2110	C₂²	semidirect
32. C₂×#347	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60058	2
#33428	2
#33427	2
#33426	2
C₂×#2153	2
C₂×#2115	2
C₂×#2110	2