Subgroups — #7622645

Order 512.

1348 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 318 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2960	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	Q₈×M₃₂	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
3	#33476	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#33475	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#33474	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#33397	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₂×#2150	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#33324	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂×C₄×M₃₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#533	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2960	C₄	1	2	yes	—
15	#2960	C₄	1	2	yes	—
16	#2960	C₄	1	4	yes	—
17	#2960	C₂²	1	2	yes	—
18	#2960	C₂²	1	2	yes	—
19	#2960	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#446	C₄	1	4	yes	—
21	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#424	C₄	1	2	yes	—
23	C₂×#423	C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2183	C₂²	1	16	yes	complemented
27	#2183	C₂²	1	32	yes	complemented
28	Q₈×C₁₆	C₂²	1	16	yes	complemented
29	#2151	C₂²	1	8	yes	—
30	#2151	C₂²	1	8	yes	—
31	#2150	C₂²	1	2	yes	—
32	#2150	C₂²	1	2	yes	—
33	#2150	C₂²	1	4	yes	—
34	#2150	C₂²	1	8	yes	—
35	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	4	yes	—
36	#2108	C₂²	1	8	yes	—
37	#2108	C₂²	1	8	yes	—
38	C₄×M₃₂	C₂²	1	4	yes	—
39	C₄×M₃₂	C₂²	1	4	yes	—
40	C₄×M₃₂	C₂²	1	8	yes	—
41	C₂×#346	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	#533	C₈	1	2	yes	—
47	#533	C₈	1	4	yes	—
48	#533	C₈	1	2	yes	—
49	#533	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	#533	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	#533	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₈	1	2	yes	—
53	C₂×#125	C₈	1	2	yes	—
54	C₂×C₂²⋊Q₈	C₈	1	4	yes	—
55	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
59	C₂×M₃₂	—	2	8	no	—
60	C₂×M₃₂	Q₈	1	8	yes	complemented
61	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×M₃₂	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×M₃₂	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
70	#446	C₂×C₄	1	8	yes	—
71	#446	C₂×C₄	1	8	yes	—
72	#446	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	#446	C₂×C₄	1	8	yes	—
74	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
75	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
76	C₈×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
77	C₈×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
78	#424	C₂×C₄	1	4	yes	—
79	#424	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	#424	C₂×C₄	1	8	yes	—
81	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#423	C₂×C₄	1	4	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
86	#405	C₂×C₄	1	4	yes	—
87	#405	C₂×C₄	1	4	yes	—
88	#405	C₂³	1	4	yes	—
89	#405	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
91	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
100	C₄⋊C₁₆	C₂³	1	8	yes	—
101	C₄⋊C₁₆	C₂³	1	8	yes	—
102	C₄⋊C₁₆	C₂³	1	32	yes	—
103	#346	C₂³	1	8	yes	—
104	#346	C₂³	1	16	yes	—
105	C₄×C₁₆	C₂³	1	8	yes	—
106	C₄×C₁₆	C₂³	1	16	yes	—
107	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
111	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
112	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
113	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
114	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
123	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	C₄⋊Q₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
128	C₄⋊Q₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
129	C₄⋊Q₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
130	C₄⋊Q₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
131	#125	C₂×C₈	1	4	yes	—
132	#125	C₂×C₈	1	4	yes	—
133	#125	C₂×C₈	1	8	yes	—
134	C₂²⋊Q₈	C₂×C₈	1	8	yes	—
135	C₂²⋊Q₈	C₂×C₈	1	8	yes	—
136	C₂²⋊Q₈	C₂×C₈	1	8	yes	—
137	C₂²⋊Q₈	C₂×C₈	1	8	yes	—
138	C₄×Q₈	C₂×C₈	1	8	yes	—
139	C₄×Q₈	C₂×C₈	1	8	yes	—
140	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
141	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
142	#117	C₂×C₈	1	4	yes	—
143	#117	C₂×C₈	1	4	yes	—
144	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
145	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
160	M₃₂	—	2	4	no	—
161	M₃₂	—	2	8	no	—
162	M₃₂	—	2	4	no	—
163	M₃₂	—	2	8	no	—
164	M₃₂	C₂×Q₈	1	8	yes	—
165	M₃₂	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
166	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
167	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
168	C₂×C₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
169	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
170	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
171	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
172	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
173	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
174	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
175	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
176	#97	C₂²×C₄	1	8	yes	—
177	#97	C₂²×C₄	1	8	yes	—
178	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
179	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
180	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
181	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
182	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
183	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
184	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
185	C₄×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
186	C₄×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
187	C₄×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
188	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
189	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
190	C₂×Q₈	C₂²×C₈	1	8	yes	—
191	C₂×Q₈	C₂²×C₈	1	8	yes	—
192	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
193	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	#131	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
208	M₁₆	—	2	8	no	—
209	M₁₆	—	2	8	no	—
210	C₂×C₈	—	2	4	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	4	no	—
214	C₂×C₈	—	2	8	no	—
215	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
216	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
217	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
218	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
219	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
220	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
221	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
225	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
226	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
227	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
228	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
229	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
230	C₂×C₈	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
231	C₄⋊C₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
232	C₄⋊C₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
233	C₄⋊C₄	C₂²×C₈	1	16	yes	—
234	C₄⋊C₄	C₂²×C₈	1	16	yes	—
235	C₄⋊C₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
236	C₄⋊C₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
237	C₂²⋊C₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
238	C₂²⋊C₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
239	C₄²	C₂²×C₈	1	2	yes	—
240	C₄²	C₂²×C₈	1	2	yes	—
241	C₄²	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
242	C₄²	C₂²×C₈	1	2	yes	—
243	C₄²	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
244	C₄²	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
245	C₄²	C₂²×C₈	1	2	yes	—
246	C₄²	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
247	C₄²	C₂²×C₈	1	8	yes	—
248	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
249	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
250	C₄²	C₂³×C₄	1	8	yes	—
251	C₁₆	—	2	8	no	—
252	C₁₆	—	2	4	no	—
253	C₁₆	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
254	C₂³	—	4	2	no	—
255	C₂³	C₈×Q₈	1	4	yes	—
256	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
257	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
258	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
259	Q₈	—	2	16	no	—
260	Q₈	—	4	8	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂×C₄	—	4	2	no	—
266	C₂×C₄	—	4	2	no	—
267	C₂×C₄	—	4	8	no	—
268	C₂×C₄	C₈×Q₈	1	4	yes	—
269	C₂×C₄	C₈×Q₈	1	4	yes	—
270	C₂×C₄	C₈×Q₈	1	4	yes	—
271	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	16	yes	—
278	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
286	C₈	—	2	2	no	—
287	C₈	—	2	2	no	—
288	C₈	—	2	8	no	—
289	C₈	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
290	C₈	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
291	C₈	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
292	C₈	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
293	C₈	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	—	2	2	no	—
295	C₂²	—	2	2	no	—
296	C₂²	—	2	2	no	—
297	C₂²	—	4	4	no	—
298	C₂²	C₂×C₈×Q₈	1	2	yes	—
299	C₂²	C₂×C₈×Q₈	1	2	yes	—
300	C₂²	C₂×C₈×Q₈	1	2	yes	—
301	C₂²	C₂⁴×C₈	1	1	yes	characteristic
302	C₄	—	2	2	no	—
303	C₄	—	2	2	no	—
304	C₄	—	2	2	no	—
305	C₄	—	2	16	no	—
306	C₄	C₂×C₈×Q₈	1	2	yes	—
307	C₄	C₂×C₈×Q₈	1	2	yes	—
308	C₄	C₂×C₈×Q₈	1	2	yes	—
309	C₄	#3407	1	4	yes	—
310	C₄	C₂²×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
311	C₄	C₂²×#131	1	1	yes	characteristic
312	C₂	—	2	2	no	—
313	C₂	—	2	2	no	—
314	C₂	—	2	2	no	—
315	C₂	C₂²×C₈×Q₈	1	1	yes	characteristic
316	C₂	C₂×#3407	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂×C₈	C₂⁵
commutator, socle	C₂²	C₂⁴×C₈
prime radical	C₂⁴	C₂²×C₈
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. Q₈×M₃₂	C₂	semidirect
3. #33476	C₂	semidirect
4. #33475	C₂	semidirect
5. #33474	C₂	semidirect
26. #2183	C₂²	semidirect
27. #2183	C₂²	semidirect
28. Q₈×C₁₆	C₂²	semidirect
60. C₂×M₃₂	Q₈	semidirect
165. M₃₂	C₂×Q₈	semidirect
168. C₂×C₁₆	C₂×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2960	2
Q₈×M₃₂	2
#33476	2
#33475	2
#33474	2
#33397	2
C₂×#2150	2
#33324	2
C₂×C₄×M₃₂	2