Subgroups — #7622684

Order 512.

1568 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 336 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2931	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33495	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
3	#33494	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#33493	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	D₄×M₃₂	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#33418	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#33333	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#532	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×M₃₂	C₂²	1	8	yes	—
11	#2931	C₄	1	2	yes	—
12	#2931	C₄	1	2	yes	—
13	#2931	C₄	1	4	yes	—
14	#2931	C₂²	1	2	yes	—
15	#2931	C₂²	1	2	yes	—
16	#2931	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#436	C₄	1	4	yes	—
18	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#423	C₄	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#408	C₄	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2169	C₂²	1	16	yes	complemented
23	#2168	C₂²	1	32	yes	complemented
24	D₄×C₁₆	C₂²	1	16	yes	complemented
25	#2163	C₂²	1	4	yes	complemented
26	#2163	C₂²	1	4	yes	complemented
27	#2162	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#2162	C₂²	1	4	yes	complemented
29	#2150	C₂²	1	4	yes	—
30	#2113	C₂²	1	16	yes	complemented
31	#2113	C₂²	1	16	yes	complemented
32	#2112	C₂²	1	4	yes	—
33	#2112	C₂²	1	8	yes	—
34	C₄×M₃₂	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂×#131	—	4	8	no	—
37	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂×#131	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂×#131	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
46	#532	C₈	1	2	yes	—
47	#532	C₈	1	4	yes	—
48	#532	C₈	1	2	yes	—
49	#532	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	#532	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	#532	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₈	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#127	C₈	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#124	C₈	1	2	yes	—
55	C₂×#121	C₈	1	4	yes	—
56	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×M₃₂	—	4	16	no	—
59	C₂×M₃₂	C₂³	1	8	yes	—
60	C₂×M₃₂	C₂³	1	16	yes	—
61	C₂²×C₁₆	C₂³	1	16	yes	—
62	#436	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	#436	C₂×C₄	1	8	yes	—
64	#436	C₂×C₄	1	8	yes	—
65	#436	C₂×C₄	1	8	yes	—
66	C₈×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	C₈×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
68	C₈×D₄	C₂³	1	8	yes	—
69	C₈×D₄	C₂³	1	8	yes	—
70	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	#423	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	#408	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	#408	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	#408	C₂×C₄	1	8	yes	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₄⋊C₁₆	C₂³	1	8	yes	—
87	C₄⋊C₁₆	C₂³	1	8	yes	—
88	C₂²⋊C₁₆	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂²⋊C₁₆	C₂³	1	8	yes	—
90	C₂²⋊C₁₆	C₂³	1	32	yes	—
91	#346	C₂³	1	8	yes	—
92	C₄×C₁₆	C₂³	1	8	yes	—
93	C₂×#41	—	4	4	no	—
94	C₂×#41	—	4	4	no	—
95	C₂×#41	C₂×C₈	1	4	yes	—
96	C₂×#41	C₂×C₈	1	4	yes	—
97	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
98	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
99	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
100	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
101	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
102	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	#131	—	4	8	no	—
107	#131	—	4	8	no	—
108	#131	—	4	4	no	—
109	#131	—	4	8	no	—
110	#131	—	4	4	no	—
111	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
112	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
113	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
114	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
115	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
116	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
117	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
119	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
120	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	C₄⋊Q₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
134	C₄⋊Q₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
135	C₄⋊Q₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
136	#127	C₂×C₈	1	2	yes	—
137	#127	C₂×C₈	1	4	yes	—
138	#127	C₂×C₈	1	2	yes	—
139	#124	C₂×C₈	1	4	yes	—
140	#124	C₂×C₈	1	4	yes	—
141	#124	C₂×C₈	1	8	yes	—
142	#121	C₂×C₈	1	8	yes	—
143	#121	C₂×C₈	1	8	yes	—
144	#121	C₂×C₈	1	8	yes	—
145	#121	C₂×C₈	1	8	yes	—
146	C₄×D₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
147	C₄×D₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
148	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
149	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
161	M₃₂	—	2	16	no	—
162	M₃₂	—	4	16	no	—
163	C₂×C₁₆	—	4	16	no	—
164	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	16	yes	—
165	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
166	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
167	C₂²⋊C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
168	C₂²⋊C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
169	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
170	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
171	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
172	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
173	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
174	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
175	C₄×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
176	C₄×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
177	C₂⁴	C₂²×C₈	1	4	yes	—
178	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
179	#41	—	4	4	no	—
180	#41	—	4	4	no	—
181	#41	—	4	8	no	—
182	#41	—	4	8	no	—
183	#41	—	4	4	no	—
184	#41	—	4	4	no	—
185	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
186	C₂×Q₈	C₂²×C₈	1	4	yes	—
187	C₂×Q₈	C₂²×C₈	1	4	yes	—
188	C₂×D₄	—	4	8	no	—
189	C₂×D₄	—	4	4	no	—
190	C₂×D₄	—	4	8	no	—
191	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
192	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
193	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
194	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
195	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
196	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
217	M₁₆	—	4	4	no	—
218	M₁₆	—	4	4	no	—
219	M₁₆	—	4	8	no	—
220	M₁₆	—	4	8	no	—
221	C₂×C₈	—	2	8	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	2	4	no	—
224	C₂×C₈	—	2	16	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	8	no	—
228	C₂×C₈	—	2	8	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	1	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	1	no	—
234	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
237	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
238	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
239	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
241	C₂×C₈	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
242	C₄⋊C₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
243	C₄⋊C₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
244	C₂²⋊C₄	C₂²×C₈	1	16	yes	—
245	C₂²⋊C₄	C₂²×C₈	1	16	yes	—
246	C₄²	C₂²×C₈	1	2	yes	—
247	C₄²	C₂²×C₈	1	2	yes	—
248	C₄²	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
249	C₄²	C₂²×C₈	1	2	yes	—
250	C₄²	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
251	C₄²	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
252	C₄²	C₂²×C₈	1	2	yes	—
253	C₄²	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
254	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
255	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
256	C₁₆	—	2	16	no	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	2	8	no	—
259	C₂³	—	4	2	no	—
260	C₂³	—	4	8	no	—
261	C₂³	C₂³×C₈	1	8	yes	—
262	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
263	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
264	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
265	Q₈	—	4	4	no	—
266	Q₈	—	4	4	no	—
267	D₄	—	2	16	no	—
268	D₄	—	4	8	no	—
269	D₄	—	4	4	no	—
270	D₄	—	4	4	no	—
271	D₄	—	4	8	no	—
272	D₄	—	4	8	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	8	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	8	no	—
281	C₂×C₄	—	2	16	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	8	no	—
287	C₂×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	8	yes	—
297	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
301	C₈	—	2	8	no	—
302	C₈	—	2	1	no	—
303	C₈	—	2	1	no	—
304	C₈	—	2	2	no	—
305	C₈	—	2	2	no	—
306	C₈	#518	1	2	yes	—
307	C₈	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
308	C₂²	—	2	2	no	—
309	C₂²	—	2	1	no	—
310	C₂²	—	2	1	no	—
311	C₂²	—	2	8	no	—
312	C₂²	—	2	2	no	—
313	C₂²	—	2	2	no	—
314	C₂²	—	2	16	no	—
315	C₂²	—	4	4	no	—
316	C₂²	—	8	8	no	—
317	C₂²	#2972	1	2	yes	—
318	C₂²	C₂⁴×C₈	1	1	yes	characteristic
319	C₄	—	2	1	no	—
320	C₄	—	2	1	no	—
321	C₄	—	2	8	no	—
322	C₄	—	2	2	no	—
323	C₄	—	2	2	no	—
324	C₄	—	2	2	no	—
325	C₄	#2972	1	2	yes	—
326	C₄	#3407	1	4	yes	—
327	C₄	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
328	C₄	C₂×#568	1	1	yes	characteristic
329	C₂	—	2	2	no	—
330	C₂	—	4	1	no	—
331	C₂	—	4	1	no	—
332	C₂	—	4	8	no	—
333	C₂	C₂×#2972	1	1	yes	characteristic
334	C₂	C₂×#3407	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂×C₈	C₂⁵
commutator, socle	C₂²	C₂⁴×C₈
prime radical	C₂×#532	C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33495	C₂	semidirect
3. #33494	C₂	semidirect
4. #33493	C₂	semidirect
5. D₄×M₃₂	C₂	semidirect
6. #33418	C₂	semidirect
7. #33333	C₂	semidirect
22. #2169	C₂²	semidirect
23. #2168	C₂²	semidirect
24. D₄×C₁₆	C₂²	semidirect
25. #2163	C₂²	semidirect
26. #2163	C₂²	semidirect
27. #2162	C₂²	semidirect
28. #2162	C₂²	semidirect
30. #2113	C₂²	semidirect
31. #2113	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2931	2
#33495	2
#33494	2
#33493	2
D₄×M₃₂	2
#33418	2
#33333	2