Subgroups — #7622975

Order 512.

1944 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 363 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3414	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#504	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#60450	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#33613	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#33612	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#33604	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#33600	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#33409	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#2138	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂²×#135	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3449	—	2	2	no	—
13	#3414	—	2	8	no	—
14	C₂×#510	C₂²	1	4	yes	complemented
15	C₂×#509	C₂²	1	4	yes	complemented
16	C₂×#508	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#504	—	2	8	no	—
18	C₂×#504	C₂²	1	8	yes	complemented
19	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	complemented
21	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
23	#3061	C₂²	1	8	yes	—
24	#3060	—	2	4	no	—
25	#3059	C₂²	1	4	yes	complemented
26	#3058	C₂²	1	4	yes	complemented
27	#3057	—	2	4	no	—
28	#3054	—	2	4	no	—
29	#3050	C₂²	1	8	yes	complemented
30	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
31	#2896	—	2	2	no	—
32	#2220	C₂²	1	16	yes	complemented
33	#2219	C₂²	1	8	yes	complemented
34	#2218	C₂²	1	8	yes	complemented
35	#2217	C₂²	1	16	yes	complemented
36	#2216	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#2215	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#2159	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#2158	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#2138	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#2138	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#2138	C₂²	1	8	yes	complemented
43	C₂×#358	C₂²	1	4	yes	complemented
44	C₂×#357	C₂²	1	4	yes	complemented
45	C₂²×#41	—	2	2	no	—
46	C₂²×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#135	—	2	2	no	—
48	C₂×#135	—	2	2	no	—
49	C₂×#135	—	2	8	no	—
50	C₂×#135	—	2	8	no	—
51	C₂×#135	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂×#135	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
55	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#131	—	2	4	no	—
57	C₂×#131	—	2	4	no	—
58	C₂×#131	D₄	1	4	yes	—
59	C₂×#131	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
62	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#537	—	2	8	no	—
65	#536	—	2	4	no	—
66	#536	—	4	2	no	—
67	#535	—	2	4	no	—
68	#535	—	4	2	no	—
69	#534	—	4	4	no	—
70	#532	—	4	4	no	—
71	#525	—	2	8	no	—
72	#525	—	4	4	no	—
73	C₂×#117	—	2	2	no	—
74	#510	—	2	16	no	—
75	#509	—	2	16	no	—
76	#508	—	2	16	no	—
77	C₂×Q₃₂	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂×SD₃₂	C₂³	1	8	yes	—
79	C₂×D₁₆	C₂³	1	4	yes	—
80	#504	—	2	32	no	—
81	C₂×M₃₂	—	2	8	no	—
82	C₂×M₃₂	D₄	1	8	yes	complemented
83	C₂×M₃₂	C₂³	1	8	yes	—
84	C₂×M₃₂	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
86	C₂²×C₁₆	—	2	8	no	—
87	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂²×C₁₆	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
92	#470	—	2	8	no	—
93	#469	—	2	8	no	—
94	#468	—	2	16	no	—
95	#467	C₂³	1	16	yes	—
96	#466	C₂³	1	16	yes	—
97	#465	—	2	16	no	—
98	#427	—	2	2	no	—
99	#427	—	2	2	no	—
100	#427	C₂³	1	4	yes	—
101	#427	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×#106	—	2	2	no	—
104	#419	—	2	4	no	—
105	#418	—	2	4	no	—
106	#417	—	2	8	no	—
107	#416	—	2	8	no	—
108	#367	C₂³	1	8	yes	—
109	#366	C₂³	1	8	yes	—
110	#358	C₂³	1	8	yes	—
111	#358	C₂³	1	8	yes	—
112	#357	C₂³	1	8	yes	—
113	#357	C₂³	1	8	yes	—
114	C₂×#41	—	2	4	no	—
115	C₂×#41	—	2	4	no	—
116	C₂×#41	—	2	4	no	—
117	C₂×#41	—	2	4	no	—
118	C₂×#41	—	4	2	no	—
119	C₂×#41	—	4	2	no	—
120	C₂×#41	—	4	8	no	—
121	C₂×#41	—	4	8	no	—
122	C₂×#41	D₈	1	4	yes	—
123	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
124	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×Q₈	D₈	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
128	C₂²×D₄	D₈	1	2	yes	—
129	C₂²×D₄	D₈	1	1	yes	characteristic
130	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	#135	—	2	8	no	—
134	#135	—	2	8	no	—
135	#135	—	2	8	no	—
136	#135	—	2	8	no	—
137	#135	—	4	8	no	—
138	#135	—	4	8	no	—
139	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×Q₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
143	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
144	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
145	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
146	C₂×D₈	—	2	4	no	—
147	C₂×D₈	—	2	2	no	—
148	C₂×D₈	—	2	4	no	—
149	C₂×D₈	C₂⁴	1	4	yes	—
150	#131	—	2	16	no	—
151	#131	—	2	8	no	—
152	#131	—	2	8	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
155	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
157	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
166	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
168	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
169	#127	—	4	4	no	—
170	#124	—	4	4	no	—
171	#124	—	4	4	no	—
172	#123	—	4	8	no	—
173	#123	—	4	8	no	—
174	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
175	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
176	#121	—	2	16	no	—
177	#121	—	4	8	no	—
178	#121	—	4	16	no	—
179	#120	—	4	8	no	—
180	#120	—	4	8	no	—
181	C₄×D₄	—	4	16	no	—
182	#117	—	2	4	no	—
183	#117	—	2	4	no	—
184	#117	—	4	2	no	—
185	#117	—	4	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
189	Q₃₂	—	2	8	no	—
190	SD₃₂	—	2	16	no	—
191	D₁₆	—	2	8	no	—
192	M₃₂	—	2	16	no	—
193	M₃₂	C₂×D₄	1	16	yes	—
194	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
195	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
196	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
197	C₂×C₁₆	—	2	16	no	—
198	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
199	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
200	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
201	C₂×C₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
202	#107	—	2	4	no	—
203	#107	C₂⁴	1	8	yes	—
204	#106	—	2	4	no	—
205	#106	—	2	4	no	—
206	#103	—	2	16	no	—
207	#102	—	2	16	no	—
208	C₂⁴	—	4	2	no	—
209	C₂⁴	C₂×D₈	1	2	yes	—
210	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
211	#41	—	2	8	no	—
212	#41	—	2	8	no	—
213	#41	—	2	16	no	—
214	#41	—	4	8	no	—
215	#41	—	4	8	no	—
216	#41	—	4	8	no	—
217	#41	—	4	8	no	—
218	#41	—	8	8	no	—
219	#41	—	8	8	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
225	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
226	C₂×D₄	—	2	8	no	—
227	C₂×D₄	—	2	4	no	—
228	C₂×D₄	—	2	4	no	—
229	C₂×D₄	—	4	4	no	—
230	C₂×D₄	—	4	4	no	—
231	C₂×D₄	—	4	16	no	—
232	C₂×D₄	—	4	4	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	4	no	—
235	C₂×D₄	—	8	8	no	—
236	C₂×D₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
237	C₂×D₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
245	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	Q₁₆	—	2	4	no	—
255	Q₁₆	—	2	4	no	—
256	Q₁₆	—	4	4	no	—
257	SD₁₆	—	4	8	no	—
258	SD₁₆	—	4	8	no	—
259	D₈	—	2	4	no	—
260	D₈	—	2	4	no	—
261	D₈	—	4	4	no	—
262	M₁₆	—	2	8	no	—
263	M₁₆	—	2	16	no	—
264	C₂×C₈	—	2	4	no	—
265	C₂×C₈	—	2	8	no	—
266	C₂×C₈	—	2	4	no	—
267	C₂×C₈	—	2	4	no	—
268	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
269	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
270	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
271	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
273	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
274	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
275	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
276	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
277	C₂×C₈	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
278	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
285	C₄²	—	4	4	no	—
286	C₄²	—	4	4	no	—
287	C₁₆	—	2	2	no	—
288	C₁₆	—	2	2	no	—
289	C₁₆	C₂²×D₄	1	8	yes	—
290	C₂³	—	2	4	no	—
291	C₂³	—	4	2	no	—
292	C₂³	—	4	4	no	—
293	C₂³	—	4	4	no	—
294	C₂³	—	8	4	no	—
295	C₂³	—	16	4	no	—
296	C₂³	#466	1	4	yes	—
297	C₂³	C₂²×D₈	1	4	yes	—
298	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	C₂²×D₈	1	2	yes	—
300	Q₈	—	2	8	no	—
301	Q₈	—	4	4	no	—
302	Q₈	—	4	4	no	—
303	Q₈	—	8	4	no	—
304	D₄	—	2	16	no	—
305	D₄	—	2	8	no	—
306	D₄	—	4	4	no	—
307	D₄	—	4	4	no	—
308	D₄	—	8	8	no	—
309	D₄	—	8	8	no	—
310	D₄	—	8	4	no	—
311	D₄	—	16	16	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	8	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	8	4	no	—
319	C₂×C₄	—	8	8	no	—
320	C₂×C₄	—	8	8	no	—
321	C₂×C₄	—	16	4	no	—
322	C₂×C₄	#466	1	8	yes	—
323	C₂×C₄	#466	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
332	C₈	—	2	4	no	—
333	C₈	C₂×#121	1	2	yes	—
334	C₈	C₂×#121	1	4	yes	—
335	C₈	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
336	C₈	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	—	2	4	no	—
338	C₂²	—	2	2	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	2	8	no	—
341	C₂²	—	4	4	no	—
342	C₂²	—	4	8	no	—
343	C₂²	—	8	4	no	—
344	C₂²	—	8	8	no	—
345	C₂²	—	16	8	no	—
346	C₂²	C₂×#466	1	2	yes	—
347	C₂²	C₂×#466	1	4	yes	—
348	C₂²	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
349	C₄	—	2	4	no	—
350	C₄	—	8	4	no	—
351	C₄	—	8	8	no	—
352	C₄	C₂×#466	1	2	yes	—
353	C₄	C₂×#466	1	4	yes	—
354	C₄	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
355	C₄	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
356	C₂	—	2	2	no	—
357	C₂	—	2	4	no	—
358	C₂	—	4	4	no	—
359	C₂	—	16	4	no	—
360	C₂	C₂²×#466	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#62635	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₈	C₂⁵
socle	C₂²	C₂³×D₈
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×#41 ◁ C₂²×#131 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3414	C₂	semidirect
2. C₂²×#504	C₂	semidirect
3. #60450	C₂	semidirect
4. #33613	C₂	semidirect
5. #33612	C₂	semidirect
6. #33604	C₂	semidirect
7. #33600	C₂	semidirect
8. #33409	C₂	semidirect
9. C₂×#2138	C₂	semidirect
14. C₂×#510	C₂²	semidirect
15. C₂×#509	C₂²	semidirect
18. C₂×#504	C₂²	semidirect
20. C₂²×M₃₂	C₂²	semidirect
22. C₂³×C₁₆	C₂²	semidirect
25. #3059	C₂²	semidirect
26. #3058	C₂²	semidirect
29. #3050	C₂²	semidirect
32. #2220	C₂²	semidirect
33. #2219	C₂²	semidirect
34. #2218	C₂²	semidirect
35. #2217	C₂²	semidirect
36. #2216	C₂²	semidirect
37. #2215	C₂²	semidirect
38. #2159	C₂²	semidirect
39. #2158	C₂²	semidirect
40. #2138	C₂²	semidirect
41. #2138	C₂²	semidirect
42. #2138	C₂²	semidirect
43. C₂×#358	C₂²	semidirect
44. C₂×#357	C₂²	semidirect
82. C₂×M₃₂	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3414	2
C₂²×#504	2
#60450	2
#33613	2
#33612	2
#33604	2
#33600	2
#33409	2
C₂×#2138	2